指向核心素养培养的数学学科隐形教育价值的挖掘与实现

吉智深

（南通师范高等专科学校，江苏 南通 226010）

学生数学核心素养的培养应该关注数学学科的教育价值，数学教育的价值不仅仅培养学生的理性精神，学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界［1］，它应该承载更多的必备品格的培养，如责任的担当、品格的塑造和精神的提升，这些必备品格的生成离不开数学隐形教育价值的挖掘这一路径。下面就以小学数学学科为例，谈谈如何在数学学科隐形教育价值的挖掘与实现中培养学生的数学学科核心素养。

一、问题背景与社会责任的培养

问题解决是数学学科重要的内容之一，问题的出现把“知识内容”转化成“学习任务”，激起学生的好奇心与求知欲，吸引学生主动学习过程，学会用数学的眼光观察、思考与表达世界。其实，问题背景的隐形教育价值也是问题解决教学有机组成部分。

偌丁斯在《学会关心：教育的另一种模式（第二版）》一书中的引言指出：“学生应该有机会在学校学会关心，关心自我，关心他人，关心自然与物质世界，关心知识。”［2］数学教育有责任教导学生学会关心，即使教材编写不当时，教师也要指出其中存在的问题，培养学生关心植物、动物和他人的责任。苏教版小学教材一年级下册有这样一幅插图：

这样的编写没有问题，但是问题背景中那么多树都被砍了，小猴的家园都没有了，它肯定不会像插图中那样高兴。在特别强调保护生态、维护生物多样性的今天，作为教师必须指出，不能破坏环境，因为那是猴子等动物的家园。

同样在这一册的第二幅插图，它与第一幅插图类似，问题的背景是让学生过独木桥，可插图中学生要走的是圆木桥，这样的背景对于一年级的小朋友来说，很显然是不合适的，是有危险的。教师可以在教学时指出，提醒小学生遇到这种情况，首先自己不能走过去，这是对自己的关心，同时自己也要提醒其他同学不能走这样的桥，这是对他人的关心。

当然，教材中此类不妥的问题背景不多，遇到以后这类情况也不用回避，而是通过简单的反问，提醒小学生什么事应该做、应该怎样做，什么事不能做，为什么不能做。当然也希望教材编写者关注学生社会责任的培养，把“生态保护”“节约用水”“沙漠治理”和“节能减排”等作为问题的背景，充分利用问题的背景培养学生的社会责任，这是教材的社会责任。教师在课堂教学中要用好问题的背景，并且能够根据社会发展中的热点事件设计一些好的问题背景，通过质疑、提问和追问等形式，让社会责任感的种子播撒在小学生幼小的心田。

二、学习过程与必备品格的塑造

学习过程不仅是解决问题、获取知识和掌握方法的过程，也是学生全面健康发展中必备品格的塑造过程。

1.知识学习要培养学生敢于怀疑、独立思考的思维习惯

敢于怀疑，就是不迷信课本，不迷信教师，不迷信权威，敢于怀疑一切可疑之事。事实上，数学学习过程常常让学生对教材里的知识和方法产生一些僵化的看法，如认为教材所给的方法最好和老师说的都是正确等。学生有这种认识源于教师对教材的认识与理解，我们习惯于日常所见，往往从来不怀疑教材编写的合理性与科学性，也不去问教材几个为什么。事实上，教材的编写有时也不是那样完美，就像本文前面所指出的那两幅插图，教师在这方面要做好示范作用，要勇于挑战教材的权威，引导学生对教材的编写、对知识的产生与关联和问题解决的策略多问几个为什么。如小数与分数有着紧密的联系，为什么他们的乘除法法则又不同？教材在推导梯形面积公式时，所给的梯形的上底、下底和高都是整数，如果它们都是小数行不行？在教学解决问题的策略“从条件想起”，是不是说明“问题”就可以不考虑？……

要学生敢于怀疑，就必须首先让他们做到独立思考，不盲从于教材与教师，对任何事情都要有主见、不人云亦云。富兰克林曾指出“读书可以充实，但唯有思考，才能深邃。”学生发现问题需要独立思考，解决问题需要独立思考，悟出数学的基本思想与思维方式更需要独立思考。数学教学中的概念学习、技能掌握、数学思考和问题解决等为学生独立思考提供一个很好的机会与舞台，教师应该利用好这些机会，可事实上，我们有时在这方面做得不够好，在遇到问题后，教师就直接让学生小组合作交流，学生想都没有想好，哪有什么想法可以交流啊！即使有，学生探讨的深度也不高。所以建议在小组合作交流前，让每一位学生的心都静下来，留点时间与机会，让学生仔细想一想，这样才能保证小组合作交流的深度与质量。

教师要从学生长远发展和社会需求这一高度看待敢于怀疑，独立思考的这一思维习惯，当今社会飞速发展，社会需要学校培养创造性人才，而敢于质疑与独立思考是培养创造性人才的基本条件。教师要把培养学生质疑能力与独立思考的习惯贯穿于教育教学的始终，多留时间和空间给学生，不要过早给问题下结论，而是鼓励学生提出问题、发表自己不同的见解；对学生那些稀奇古怪的想法不要一棍子打死，而是认真听取想法后，再下结论；对那些自己一时都解决不了的问题，教师不要搪塞、不要不懂装懂，以质疑与研究的精神与学生一起探讨，以身作则，做好表率。

2.问题解决能培养学生坚持不懈、解决问题的意志品格

“一直以来，学生认知能力的培养都是教育界关注的重点，而随着实践和研究的逐渐深入，人们开始认识到非认知因素，特别是意志力，将会对教育的成败起到至关重要的作用。”［3］鉴于此，我国的数学课程标准在“问题解决”目标提出“……，锻炼克服苦难的意志，建立自信心”［4］。美国州际数学课程标准则把“理解问题并能坚持不懈地解决问题”［5］作为数学实践标准的第一位。为什么中美两国的数学课程标准都把锻炼与培养意志力作为课程目标之一，而且都提出通过问题解决来培养学生的意志力呢？这是因为问题解决不仅要求学生学会分析问题的已知条件、隐藏条件、数量关系和目标等，而且可能不能一下子找到问题解决的途径，要不断评估与调整，问题有了解答后，还要使用不同的方法对结果进行检验，并不断追问自己“这一解答合理吗？有没有更好的、一般性的方法解决此类问题……”。在解决问题的过程中，学生会面对不少困难与挑战，如果能够克服这些困难解决了问题，那么就会促进学生意志力的发展。如何在问题解决过程中培养与锻炼学生的意志力：一方面，教师应该让每一位学生感受到较强的归属感，看到自己受到集体每一位成员公平对待与尊重；另一方面，教师提出挑战性的问题，鼓励学生在坚持不懈地解决问题中促进意志力的发展。

如有这样一个问题（如图1 所示）：一个正方形ABCD 的边长为100 米，甲从A 点出发，以每分钟55 米的速度逆时针行走，乙从A 点出发，以每分钟45 米的速度顺时针行走，问多长时间后，他们在A点相遇？

图1

我们如何找到问题的突破口呢？甲乙相遇点有没有什么规律？我们不妨画出示意图，把第一次相遇点、第二次相遇点、第三次相遇点……在正方形的边上标出（如图2），这样的方法比较烦，要鼓励学生不怕麻烦，找到相遇点的变换规律就能解决该问题。

图2

能不能有简单的方法呢？在找相遇点的过程中，我们可以发现第一次相遇，需要4 分钟，乙走了180米，相遇点在CD 边上；第二次相遇，还需要4分钟，乙走了180×2 米，相遇点在AB 边上，由此推断出，相遇点在A，乙走的路程应该是400的倍数，180的几倍是400 的倍数呢？尝试得到180 的20 倍是3600，是400的倍数，就是第20次相遇在A 点，这个结果合理吗？再检验一下甲的情况，甲20 次相遇，花了80分钟，甲80分钟走了4400米，也是400的倍数，也就是说此时甲也在A 点，合理。

当然，学生在解决问题过程中可能面临的困难，教师在必要时给予适当的帮助与指点，鼓励他们树立克服困难的决心和信心，进而促进学生意志力的发展

3.合作交流可促进学生学会共处，培养良好的社会情绪

1996年《德洛尔报告》提出了具有影响力的学习的四大支柱，即学会求知、学会做事、学会做人和学会共处，“由于当前的社会挑战，学习的四大支柱正面临严重的威胁，特别是‘学会做人’和‘学会共处’这两大支柱”［6］。著名教育学家顾明远也指出：“人类学习是一种集体的社会活动，儿童学习也需要在集体中进行。”［7］在学习共同体中，学生可以通过合作交流等活动，培养自己积极的心态，对自己有一个清醒的认识，能正确认识自己的价值；同时尊重他人，学会共处，在交流中学习他人的优点，提高学习的效能，也意识到在集体中学习能够互相启发，促进思考，共同受益。世界各国都非常重视培养学生的社会情绪，联合国教科文组织把它作为学生应有的核心素养，良好的社会情绪能力要从小培养。

合作交流中如何培养学生的社会情绪能力？第一在合作交流要学会倾听。倾听是尊重他人表现之一，倾听不仅包括教师要学会倾听，倾听学生的思想、认识以及一个探究过程，而且包括学生的倾听，倾听老师的意见与指导，倾听其他同学的想法，发展自己解决问题的能力，由此，教师和同学们组成一个“学习共同体”，倾听让这个学习共同体的每一位成员都成为如饥似渴的学习者，并且彼此欣赏、彼此促进、彼此成就。第二在合作交流要学会自重。自重，就是一种自知之明，对自己有正确的认识，遇人遇事不卑不亢，在合作交流过程中坦诚发表自己的想法，不自负，不高估自己，也不低估自己。第三在合作交流要学会自畏。自畏，就是对自己的言行要有敬畏之心，在合作交流过程中，逐渐培养学生评估自己的行为和决定之后果的能力。第四在合作交流要学会谦虚。虚心的人，心胸开阔，待人和蔼，不仅自己善于听取他人的意见，也知道尊重别人，这样的人不仅知道何时该向他人求助，而且总会得到他人的全力帮助。

三、学科文化与数学精神的熏陶

数学教育隐形价值的挖掘不是对知识本身的深度挖掘，把数学讲得很难，而是要挖掘学科文化蕴含的育人要素或思想，用数学学科文化中的数学精神滋养学生、熏陶学生。那么，数学精神是如何浸润着人的思想和心灵，影响着人的言行、思维方式、处事方式和价值观念呢？

1.引导学生确立对真理的信仰

数学学科以“求真”作为指导思想，数学从来都没有停止过对真理的追求。《几何原本》是数学追求真理的开端，欧几里得从大量现实中提炼出了若干个被称为公理、公设的真理，由这些真理出发演绎出约500个定理。一些看似不言而喻的结论，《几何原本》都从公理出发给予严格的证明，如命题15“对顶角相等”的证明。从几何公理系统到自然数公理系统，再到集合论公理系统，我们看到了数学对真理的追求，看到了这些真理及其延拓培育了人类的科学精神。

数学猜想在没有被证明之前只能称作“猜想”，被证明正确以后才能称为“定理”，数学这种求真精神将引导学生公正而客观评价与看待一切人与事，不迷信经验，不轻信他人，坚持“实践是检验真理的标准”的行动准则，在数学中实践就是数学证明。

小学数学中的结论或规律大多数是由不完全归纳推理得到的，但是我们知道有不完全归纳法得到的结论不一定正确，只能称为“猜想”，教材和教师在教学中强调用验证的方法与检验结论的正确性，从“求真”的角度看，这是不够的，还要引导学生通过不同方式来说明或验证规律的正确性，也就是强调“说理”，就像乘法分配律的教学，得到猜想以后，应该引导学生从面积以及乘法的意义的角度来检验乘法分配律的正确性。

课程改革强调要充分发挥归纳推理在数学教学中的作用，这无可厚非，但有时过分强调归纳推理而忽视逻辑推理，也会让学生对真理的评判标准产生误解。“在未来的数学课程中增加代数逻辑和增加几何直观的内容是非常必要的。”［8］史宁中教授《小学数学中的度量》一文中强调在代数部分增加两个基本事实。（1）关系的传递性：a ≥b,b ≥c ⇒a ≥c。（2）运算的传递性：a ≥b ⇒a+c ≥b+c。在几何直观增加一个基本事实：两点之间，线段最短。基本事实的存在为代数推理和几何证明打开了一扇窗，透过这扇窗，学生看到数学为追求真理所做的努力与贡献。有了这些基本事实，我们不要再用不同长度的小棒去验证三角形两边之和大于第三边这一规律，也可以证明两个整数相除等于一个整数乘以另一个整数的倒数，分数除法如此，小数除法也如此。

2.引导学生养成良好规则意识

规则意识是指发自内心的，以规则作为自己行动准绳的意识。无论何时、何地，规则都是人类社会可持续发展的重要保障。有时候，矛盾、误会乃至风险的发生常常因为良好的规则意识的缺失，数学的学习可以帮助学生养成良好规则意识，这是因为数学的公式、法则和规定是规则，包括数学推理也要遵循一定的规则。

（1）为什么要有规则？第一是由数学的确定性决定的，1就是1，2就是2，2×4 就应该等于8，无可争议，人在计算2×4 就应该按照规则算出结果8。第二为了简单与统一，为什么数的运算常常用竖式，这是因为竖式计算简单与统一，算理清晰明了。第三是为了没有异议，0 作为除数是，商有时有无数个，有时没有，怎么办？那就规定除数不能为0。第四是因为实践需要，两个数相加以后乘以第三个数，为了确保先算加法，再算乘法，就必须引入小括号，并规定有小括号时，先算小括号，以后遇到中括号，大括号呢，运算顺序如何确定？数学再制定一套与原有规则不矛盾的新规则。总之，规则让数学成为一个无限丰富，而又层次分明、井然有序的世界，人类社会亦是如此。

（2）如何遵守规则？数学规则一旦确定下来，在没有特殊情况下，我们都要一直敬畏这些规则，遵守这些规则。分数的基本性质中一定强调所乘以（除以）的数不能为0，a0中也一定要强调a ≠0等，这些都是“除数不能为0”这一规则的遵守；分数、小数的四则混合运算也遵循整数的四则运算的顺序。当然，要遵守规则必须要理解规则，不能盲目套用规则，必要时还要打破已有规则，创造适应新条件、新环境的新规则。

（3）不遵守规则的后果？不遵守数学规则的后果，大家可想而知，作业被打错，考试被扣分，不及格要补考，当然，学生在运用规则时出现错误，教师也不要生气，因为数学直觉可能对数学学习起促进作用，有时可能对学习起着阻碍作用，我们要分析与反思学生没有遵守规则的原因，是因为没有认真观察而忽视了规则的存在，还是因为对规则的不理解从而忽视了规则的约束条件等。数学中不守规则发生的错误可以纠正，也可以重新证明自己守规则，但人类社会中，有些不守规则带来的后果是非常严重的且不可逆转，所以说，要让学生对规则有敬畏之心，这也将促进学生良好规则意识的养成。

3.引导学生摒弃急功近利心态

虽然许多数学及其分支产生于现实生活，为人类社会服务，如几何在测量土地中产生，但随着数学的研究与发展，基础数学研究的目的往往不再为了功利，而是致力于自然界真理的演绎。从数学本身内部产生的最抽象的数学体系，甚至也有极高的价值，如虚数在很长时间因为没有实在意义而不被理解，从它的名称就看出人们对它的不理解，但是以后，虚数有几何解释，建立了复变函数理论，虚数不但不“虚”了，而且成为解决许多技术问题的有力工具。数学中有些结论对大多数人来说是不可想象和荒诞的，如罗巴切夫斯基的非欧几何，但这些荒诞的思想却成为广义相对论的基础之一。

像欧几里得几何、非欧几何和虚数一样，这些纯数学成果与理论一开始没有被人认可或理解，但随着时间的推移最后却意外获得重要的应用。这样的例子在近代还有很多，从这些例子中我们不难看出数学不急功近利，而是在追求真理的过程中发展自己，突破自己，从数学内部不断生长出新的理论，而这些新理论不经意间将对人类社会发展发挥巨大作用。

当前的小学数学教材在每一章、每一节都强调数学有用，数学问题来源于生活实际，数学规律服务社会生活，而忽视了学习数学知识之间的逻辑性，忽视揭示数学发展的内在规律。现在的数学教学提倡学有用的数学，讲究立竿见影，喜欢抛弃本质，而在非本质的形式上做文章，而不去思考知识的价值以及知识产生的数学思想与发展路线，在这种急功近利的思想指导下，即使是学生学得再好，也容易被“实利”所累。

急功近利的做法会严重影响教学质量，损害学生的长远利益，所以我们必须做出改变，从数学教育的长远目标考虑，挖掘小学数学知识的思想价值，让数学思想成为一种追求、一种精神。如数学知识形成过程中对精确性的追求，精准性是数学学科的主要特征之一，而这种特征也是未来社会中学生发展所必须具备的素养之一。圆面积公式的推导，不能只要求学生记住公式、使用公式解决问题，更要体现数学对精确性的追求，从圆和它的内接正方形与外切正方形的比较中，确定半径为r 的圆的面积大约等于几个边长为r 的正方形的面积，再到引导学生用数方格的方法来估计圆的面积，最后用分割的方法推导出公式计算圆的面积，而推导过程中极限思想的渗透也体现数学对精确性的追求。

总之，数学学科核心素养的培养不能仅仅停留在比较与描述层面，更要在实践中不断探索，找到数学学科素养的生成路径与培养策略，数学学科素养与数学学科隐形价值的研究给了我们很好的启示，那就是，数学学科核心素养的载体与路径讨论得越明晰、越具体，那么它的培养就越容易操作与落实，立德树人的根本任务才能完成。▲