双轨道Hubbard 模型的动力学平均场理论研究*

2022-07-28倪煜孙健全亚民罗东奇宋筠

物理学报 2022年14期

倪煜孙健全亚民罗东奇宋筠†

1) (北京师范大学物理系,北京 100875)

2) (上海科技大学物质科学与技术学院,上海 201210)

3) (中国科学院合肥物质科学研究院固体物理研究所,材料物理重点实验室,合肥 230031)

基于以Lanczos 方法为杂质求解器的动力学平均场理论,研究了非局域轨道间跃迁对于双轨道强关联体系中轨道选择Mott 相变的影响.计算了轨道间跃迁系数不同的双轨道Hubbard 模型的准粒子权重和态密度,并构建了它们在相互作用强度U 和轨道带宽比t2/t1 影响下的相图.通过正则变换引入两个有效的退耦和轨道,在一定条件下轨道间跃迁会有利于轨道选择Mott 相变的发生.还比较了Bethe 晶格和正方晶格的相图,虽然基于两种不同晶格能带结构得到的轨道选择Mott 相变的相变点存在一定的差异,但其中关于轨道选择Mott 相变的基本物理图像具有一致性.并将方法拓展到半满的Ba2CuO4–δ 材料的研究中,与根据密度泛函理论得到的能带对比,我们发现各向同性的轨道间跃迁对能带结构影响较大,进一步采用动量空间各向异性的非局域轨道间跃迁项,得到了材料的相图,在半满条件下Ba2CuO4–δ 应为轨道选择Mott 材料.

1 引言

轨道选择Mott 相变(orbital-selective Mott transition,OSMT)是过渡金属材料中的一种新奇物理现象:多轨道体系中部分轨道上的电子进入局域化状态,而其他轨道的电子仍然具有巡游特性.实验上在Ca2-xSrxRuO4[1],过渡金属硫化物[2]以及铁基超导材料[3]中均观测到了OSMT,其对了解强关联系统的本质很有帮助.双轨道Hubbard模型是研究OSMT 最简单的模型[4−7].动力学平均场理论(dynamical mean-field theory,DMFT)在处理单轨道Hubbard 模型的相关问题中成效显著[8−11],并且它拓展到双轨道Hubbard 模型中也十分有效[5,12,13].

DMFT 中处理Anderson 杂质模型所用的杂质求解器对于最终的计算结果有很大的影响,多种多样的理论以及数值方法都能用作动力学平均场的杂质求解器,如量子蒙特卡罗方法(quantum Monte Carlo simulations,QMC)[14−17],重整化群理论(renormalization-group theory)[18−20]以及隶算符表示方法 (slave-variable representations)[21−23]等.当DMFT 用于多轨道体系的求解时,不同的杂质求解器会面临不同的困难:在处理掺杂的费米体系时,QMC 方法会出现负几率问题;重整化群理论能很好地处理单带问题,但却难以拓展到多带体系;隶算符表示方法无法精确处理多轨道体系中的电子关联相互作用.除了上述杂质求解器外,还有以Lanczos 方法为代表的精确对角化方法,它能精确地处理多轨道体系中包括轨道内相互作用U、轨道间相互作用U′以及洪特耦合JH在内的电子关联作用,但是对于含有非局域轨道间跃迁的系统,轨道间跃迁所引入的非对角格林函数将会使自洽参数求解过程的复杂程度显著增加,并需要耗费巨大的计算资源.

轨道间跃迁会诱发轨道杂化,其在具有多轨道关联效应的过渡金属中至关重要[24−26],但同时它所带来的非对角格林函数为处理多轨道Hubbard模型带来了巨大挑战.本文引入正则变换将双轨道Hubbard 模型中的紧束缚部分对角化[27,28],得到了没有轨道间跃迁的有效杂化轨道.同时为了更精确地计算轨道间相互作用对体系的影响,选取Lanczos 精确对角化方法作为杂质求解器,比起早先的工作[27,28],该方法能更加精确地描述库仑相互作用以及洪特耦合效应对体系量子相变的影响,因此所得相图的相变点也更加准确.除了DMFT 理论中常用的Bethe 晶格外,本文还基于正方晶格能带结构计算了双轨道体系的相图,并发现DMFT中选用的晶格能带结构不同时,虽然所得相变点存在差异,但相图展现出来的轨道选择Mott 相变的物理图像基本一致.最后应用文中的方法研究了最近发现的新型铜氧化物超导材料Ba2CuO4-δ[29].Ba2CuO4-δ是高空穴掺杂浓度下的铜氧化物超导材料,其超导转变温度约为73 K.由于其具有极其扁平的CuO6八面体结构,铜原子的轨道和轨道均对费米面附近的电子态有贡献[29−32],这种特殊的双轨道特性是其区别于传统铜氧化物超导材料的地方,同时密度泛函理论(density functional theory,DFT) 的计算结果也对双带特性进行了印证[33−35].有理论研究表明这种特殊的多轨道关联特征极有可能是Ba2CuO4-δ的超导转变温度高于大部分高温超导材料的原因[34,36].对于半满的Ba2CuO4-δ体系,我们考虑非局域轨道间跃迁的动量空间各向异性,通过Ba2CuO4-δ的完整能带,得到了材料在半满条件下的相图.

本文主要结构如下:第2 部分对含轨道间跃迁的双带Hubbard 模型中的正则变换进行介绍;第3 部分对研究所用的理论方法—以Lanczos 为求解器的DMFT 进行详细的说明;第4 部分介绍基于上述方法得到的双轨道Hubbard 模型中轨道选择Mott 相变的物理图像以及轨道间跃迁对其的影响,并对比用正方晶格能带代入DMFT 中计算与Bethe 晶格的差异;第5 部分将方法应用于双轨道超导材料Ba2CuO3.5中,并介绍了所得的结果;第6 部分为文章的主要结论.

2 双轨道模型中的正则变换

双轨道体系的哈密顿量可以分为两部分:紧束缚部分Ht和相互作用部分HI,紧束缚部分Ht的形式为

相互作用部分HI的形式为[4,6]

通过正则变换消除轨道间跃迁,进而引入两个退耦合的有效轨道α 和β[27,28],正则变换的形式如下:

(3)式中,αiσ和βiσ分别表示i格点上的有效轨道α 和β 中自旋为σ 的电子湮灭算符,由(4)式决定的u值和v值代入哈密顿量(1)中将会使轨道间跃迁项消失.通过正则变换,(1)式和(2)式描述的原双轨道的哈密顿量会转换为有效轨道的双轨道哈密顿量,其同样包含紧束缚部分和相互作用部分紧束缚部分为

结合(4)式可以看出,正则变换后的跃迁积分tα和tβ与t12的取值正负无关.因为本文研究的系统具有自旋旋转对称性U=U′+2JH,相互作用部分的系数在正则变换后保持不变.

3 动力学平均场理论

正则变换之后去除轨道杂化的双轨道模型,可以通过DMFT 有效地处理.

在DMFT 的基本框架中[8],我们将多体问题中格点数量巨大的格点哈密顿量(5)和(6) 映射成格点数目有限的Anderson 杂质哈密顿量Himp,

正则变换之后的哈密顿量去除了轨道间的杂化,因此格林函数和自能都不含关于轨道的非对角项,各轨道的格林函数可以独立地计算.杂质模型的Weiss 场格林函数(无相互作用格林函数)可以由杂质模型的系数直接计算:

其中

DMFT 通过自洽方程来使Weiss 场格林函数和无相互作用的格点格林函数相等,进而可以用杂质模型来表征格点模型的物理性质.如果考虑具有半圆形态密度的Bethe 晶格,DMFT 中的无相互作用的格点格林函数可以化简为非常简洁且便于计算的形式[8]:

其中g0(iωn)为无相互作用的格点模型格林函数.(13)式中g0(iωn)以及由(9)式计算的Weiss 场格林函数 G0(iωn)做差即为DMFT 的自洽方程:

其中nmax为截断系数,计算中取nmax=2048.利用共轭梯度算法调整自洽参数使(14)式中的d趋于0,我们工作中体系自洽完成的判断标准为d值小于10-5.

如果计算中选用其他晶格的能带结构,则在计算局域的格点格林函数Glat(iωn)的过程中需要在动量空间对动量k 求和,以正方晶格为例,

其中εk=2t(coskx+cosky)代表正方晶格的色散关系,Σ(iωn,k)为体系自能(因为各轨道独立,所以这里略去了轨道指标γ).在DMFT 中,当体系的维度d趋于无穷大时空间的涨落将会被冻结,此时系统自能将不再依赖动量k 而局域化[8]:

通过Dyson 方程可以计算杂质模型的自能:

利用体系的格林函数虚部来计算各轨道的态密度:

其中η为能量展宽因子,γ 为轨道指标.各轨道的准粒子权重可以通过自能计算[41]:

4 计算结果与讨论

首先研究相互作用U和轨道间跃迁t12对Bethe 晶格双带Hubbard 模型相变的影响.研究中选取轨道间跃迁t12＞0,因为正则变换后的跃迁积分tα和tβ与t12的取值正负无关,所以之后的研究结果能够自然地拓展到t12＜0的情况中.在本文研究的半满体系中,化学势保持µ=U/2+U′-JH/2以满足粒子空穴对称性.图1 比较了当两轨道带宽比t2/t1=0.4,相互作用U以及轨道间跃迁t12不同时体系准粒子权重的变化.当t12=0 时,从准粒子权重曲线可以看出,宽有效轨道α 金属绝缘体相变 (metal-insulator transition,MIT)的相变点Ucα=3.7,而窄有效轨道β 在相互作用强度Ucβ=2.3时发生金属绝缘体相变,因此体系在相互作用强度2.3 ≤U ＜3.7时处于轨道选择Mott 相(orbital-selective Mott phase,OSMP).当轨道间跃迁系数t12=0.4时,轨道选择Mott 相对应的相互作用区间扩大为2.1 ≤U ＜4.1,轨道间跃迁的引入使窄有效轨道β 发生MIT 所需的相互作用强度减弱,而使宽有效轨道α 的临界相互作用Ucα增强.由(7)式可知,轨道间相互作用通过调整两个有效轨道的跃迁系数来促进OSMT 的发生,如当t12=0.4时,两个有效轨道的跃迁系数比值为tβ/tα=0.32,因此体系更容易发生轨道选择Mott 相变.

图1 不同轨道间跃迁系数下两个有效轨道的准粒子权重Z 随相互作用U 的变化曲线.轨道α 和轨道β 分别用黑色圆圈和红色三角标识,实心标志和空心标志分别代表t12=0和 t12=0.4的情况.体系中的洪特耦合作用JH=0.25U,两轨道带宽比t2/t1=0.4,所选用的能量单位为宽带跃迁系数t1Fig.1.The interaction dependencies of the quasiparticle weight Z of the effective orbital α (black circles) and β (red triangles) with interorbital hopping t12=0.4 (hollow symbols) and without interorbital hopping t12=0 (solid symbols) when JH=0.25U and t2/t1=0.4.The energy is in unit t1.

图2 给出了当轨道间跃迁t12=0.4、带宽比t2/t1=0.4以及洪特耦合JH=0.25U时双轨道体系的态密度随相互作用强度U变化的细节.当相互作用强度U=1.5时,有效轨道α (图2(a))和β(图2(b)) 在费米面附近都存在明显的准粒子峰,这意味着两个轨道都处于金属态,因此整个体系表现出金属相的特征.当相互作用强度增加至U=3.0时,轨道α 在费米面附近仍存在明显的准粒子峰(图2(c)),但此时轨道β 的费米面附近打开了Mott能隙(图2(d)),这是OSMP 的典型特征.继续增加相互作用强度至U=4.5,图2(e)和图2(f)中两个有效轨道均在费米面附近打开了Mott 能隙,这也意味着体系进入了Mott 绝缘相.图2 给出的物理图像与图1 中t12=0.4的曲线相符合,这二者也是本文判定体系物态以及绘制相图的依据.

图2 两个有效轨道的态密度随相互作用U 增加的演化图像,体系中的轨道间跃迁t12=0.4,带宽比t2/t1=0.4 以及相互作用强度JH=0.25U.左边的图像为α轨道的结果,右边图像为β 轨道的结果,计算中选取的能量展宽因子为η=0.05Fig.2.Evolution of the orbital-resolved spectral densityA(ω) with the increasing Coulomb interaction U when t12=0.4,t2/t1=0.4 and JH=0.25U.Left panels show the results of effective orbital α and right panels are for effective orbital β.The energy broadening factor in our calculation takes η=0.05.

图3(a)所示为轨道间跃迁系数t12不同时,两轨道带宽比t2/t1和相互作用强度U影响下的体系相图.在没有轨道间跃迁的双轨道体系中,除了t2/t1=1的情况外体系中均存在OSMP,这主要是由于洪特耦合的作用[42],相图中OSMP 区域的范围随着带宽比t2/t1的增加而收缩,说明两轨道差异越大体系越容易发生轨道选择Mott 相变,这与早先对OSMP 的研究结果相符合[43−45].在双轨道体系中引入轨道间跃迁之后,两个有效轨道之间的差异会增大,这将导致相图中轨道选择Mott 相的区域扩大,图3(b) 直观地反映了当t12=0.4时相图中OSMP 区域的扩大,和图3(a)对比可以看出,所有的t2/t1情况下轨道选择Mott 相的区域都扩大了,并且两轨道差异越小轨道间跃迁对OSMP的促进作用越明显.

根据(15)式及正方晶格的能带结构,研究了正方晶格双轨道Hubbard 模型中的OSMT.图4给出了正方晶格t2/t1=0.4时轨道间跃迁t12及相互作用U影响的准粒子权重变化,以及t12=0.4时相互作用U和带宽比t2/t1决定的相图,可与Bethe晶格的结果(图1 和图3(b))做对比.如图4(a)所示,当t12=0时体系在相互作用强度3.9 ≤U ＜6.6时处于轨道选择Mott 相;引入轨道间跃迁t12=0.4,OSMP 存在范围扩大至3.5 ≤U ＜6.9,尽管相变点的具体数值与Bethe 晶格的结果存在差异,但是t12=0.4对OSMP 影响的物理图像是一致的.图4(b)进一步印证了这一点,t12=0.4时体系相图中的OSMT 的相变点与图3(b)中的存在差异,但二者的OSMP 的变化趋势基本一致,都反映出两轨道带宽差异越小轨道间相互作用对OSMP 的促进作用越明显.综上,Bethe 晶格是一种理想的晶格,其态密度作为一种近似手段来定性研究实际晶格中关联效应驱动的相变是可行的,这也正是Bethe 晶格被广泛应用于DMFT 的原因.

图3 轨道间跃迁系数不同时,相互作用U 和带宽比t2/t1影响下的双轨道体系相图 (a) 轨道间跃迁t12=0;(b) 轨道间跃迁t12=0.4.体系的洪特耦合JH=0.25U.黑色圆圈和红色三角分别代表轨道α 和β 的MIT 相变点Fig.3.Phase diagrams in the plane of interaction U and hopping integral t2/t1 of the effective two-orbital Hubbard model with different interorbital hopping,when JH=0.25U:(a) t12=0;(b) t12=0.4.The black circles (red triangles) denote the critical points of MIT for effective orbital α(β).

图4 DMFT 结合正方晶格能带结构所得到的结果 (a)轨道间跃迁系数不同时,准粒子权重Z 随相互作用U 的变化曲线,体系的洪特耦合JH=0.25U,带宽比t2/t1=0.4;(b) t12=0.4以及JH=0.25U时,相互作用U 和带宽比t2/t1影响下的有效轨道模型相图Fig.4.DMFT results of the square lattice:(a) The interaction dependencies of the quasiparticle weight Z with different interorbital hoppings when JH=0.25U and t2/t1=0.4;(b) phase diagrams in the plane of interaction U and hopping integral t2/t1 of the effective two-orbital Hubbard model when t12=0.4 and JH=0.25U.

5 应用

把结合了正则变换的扩展DMFT 运用到最近发现的铜氧化物超导材料Ba2CuO4-δ中[29],由于Ba2CuO4-δ晶格中具有极其扁平的CuO6八面体结构,所以可以用双轨道Hubbard 模型描述其电子结构与性质.根据DFT 计算半满情况下Ba2CuO3.5所得到的电子能带结构可知,费米面附近的电子态主要由Cu 的轨道和轨道贡献[33−35].将DFT 所得的能带结果近似处理,只考虑最近邻跃迁而忽略较小的次近邻跃迁,并忽略非局域轨道间跃迁的动量空间各向异性.之后采用适用于动量空间的各向异性的扩展DMFT 研究了Ba2CuO4-δ半满情况下的相图.

选取如下的跃迁模型系数代入(1)式:t1=0.504 eV,t2=0.196 eV,及t12=-0.302 eV,轨道和轨道的能量分别为µ1=-0.222 eV和µ2=0.661 eV[33].第2 部分中采用正则变换后所得的跃迁积分tα和tβ与t12的取值正负无关,因此可以将第4 部分的结果拓展至t12＜0的情况.结合本文的Ba2CuO4-δ紧束缚模型,体系中轨道间跃迁t12将促进体系的有效轨道的OSMP,同时由于Ba2CuO4-δ材料中具有晶体场劈裂εd=µ1-µ2,不同轨道化学势的差异会导致有效轨道的格林函数矩阵形式非对角元中出现常数项,其中常数项的处理采用与之前工作中同样的方法[28].

图5(a)给出了JH=0.25U时各轨道的准粒子权重随相互作用U的变化曲线.根据准粒子权重的变化曲线可知,当相互作用U ＜2.1 eV 时,双轨道体系为金属态;当相互作用强度U≥2.3 eV 时,体系转变为绝缘态;在这两个态之间存在一个狭窄的OSMP 区域,即作用强度2.1 eV≤U ＜2.3 eV时,宽有效轨道α 处于金属态而窄有效轨道β 呈现出绝缘态的特征.图5(b)—(d)进一步展现了JH=0.25U时相互作用强度U对两个有效轨道α 和β 电子态密度的影响.当相互作用强度U较弱,如图5(b)所示,U=1.0 eV 时两个轨道在费米能级附近的电子态密度都不为零,说明体系为金属态;随着相互作用强度U增加到2.5 eV,如图5(d)所示,两个轨道的态密度图像中均有Mott 能隙打开,此时体系为绝缘态;而当相互作用强度U=2.2 eV时,如图5(c)所示,宽轨道费米能级附近的态密度仍为有限值的同时窄轨道打开了Mott 能隙,说明此时体系处于轨道选择Mott 相[44−46].

图5 (a) JH=0.25U时有效轨道的准粒子权重随相互作用强度的变化曲线.不同相互作用强度U 下体系各有效轨道的态密度图像 (b) U=1.0 eV;(c) U=2.2 eV;(d) U=2.5 eV.当相互作用2.1 eV ≤U ＜ 2.3 eV 时体系处于OSMPFig.5.(a) Quasiparticle weight Z as a function of interaction U when JH=0.25U.The orbital-resolved spectral density A(ω)with different intraorbital interaction:(b) U=1.0 eV;(c) U=2.2 eV;(d) U=2.5 eV for the two effective orbitals.An OSMP occurs in a narrow interaction region with 2.1 eV ≤U ＜ 2.3 eV.

图6 给出了在相互作用U和洪特耦合JH作用下的相图,在强电子关联作用导致的Mott 绝缘相和相互作用强度较弱时体系的金属相之间存在着一定范围的OSMP 区域,随着洪特耦合JH的减小以及相互作用U的增加OSMP 区域逐渐缩小,并在JH=0.34 eV 以及U=2.7 eV 时在相图上消失.根据之前对电子关联效应的研究,洪特耦合作用有利于OSMP 的形成[12,42,47],这也解释了相图中当JH＞0.34 eV 时OSMP 区域随洪特耦合增加而扩大的原因.而当洪特耦合JH＜0.34 eV 时,晶体场劈裂对体系的影响压制住了库仑相互作用以及洪特耦合的影响,因此OSMP 从相图上消失[12,42,47].

图6 相互作用U 和洪特耦合 JH影响下体系的相图.随着相互作用U 的增加以及洪特耦合JH的减小,OSMP 区域逐渐缩小,大约在JH=0.34 eV 以及 U=2.7 eV 时体系中的OSMT 消失Fig.6.The phase diagram of the effective two-orbital Hubbard model with interaction U and Hund's rule coupling JH.The region of OSMP becomes narrower with the decreasing JH and increasing U,and OSMT vanishes around JH=0.34 eV and U=2.7 eV.

图7(a)给出了本文研究的紧束缚模型的能带图像,并将其与根据DFT 模拟Ba2CuO4-δ的双带模型能带图像(图7(b))进行了对比.

模拟DFT 计算结果所得的半满情况下Ba2CuO4-δ的能带结构如下[33]:

其中

式中tab(a,b=1,2)表示由轨道a跃迁至b的跃迁系数,下标1 和2 分别表示轨道和轨道,t,t′和t′′分别表示最近邻跃迁、次近邻跃迁以及第三近邻跃迁系数,具体的数值见表1.由于本文选取的紧束缚模型忽略了非局域轨道间跃迁的动量空间各向异性,因此其能带结构和根据DFT 模拟的双带模型能带结构存在明显差异,各向同性的紧束缚模型中两个能带存在分离的特征,因此需要采用和材料能带相符合的双带模型开展研究.本文基于图7(b)的能带结构,研究了电子关联效应对Ba2CuO4-δ中量子相变的影响,并在附录中对如何用DMFT 处理图7(b)的能带结构进行了详细的介绍.

表1 半满Ba2CuO4–δ 紧束缚哈密顿量中的参数(单位为eV)[33]Table 1.Model parameters of the TB Hamiltonian of Ba2CuO4–δ at half-filling (unit:eV)[33].

考虑非局域轨道间跃迁项的动量空间的各向异性,将DFT 模拟所得完整能带结构代入DMFT中,计算半满Ba2CuO4-δ体系[36]的相图.考虑完整能带结构的相图如图8 所示,相图中的相变点与相图6 中存在差异,主要是因为本文选用的紧束缚模型的能带结构与Ba2CuO4-δ的能带结构差异比较大,图8 给出的相图能更加精确地描述半满Ba2CuO4-δ体系的量子相变.同时能带结构及相图的对比也说明了利用正则变换处理轨道间跃迁的局限性.

图8 在DMFT 中考虑DFT 得到的Ba2CuO3.5 完整能带结构得到的相图.此相图与图6 中的相图定性一致Fig.8.Phase diagram of Ba2CuO3.5 obtained by the DMFT investigation using the DFT calculated band structure.The phase diagram is qualitatively consistent with Fig.6.

6 结论

运用以Lanczos 方法为求解器的DMFT 对相互作用U及非局域轨道间跃迁t12在双轨道Hubbard 模型中轨道选择Mott 相变的影响进行了研究,结果表明轨道间跃迁通过调整两有效轨道的带宽比来促进双轨道体系中轨道选择Mott 相的发生.对比了动力学平均场中使用不同晶格能带结构得到的相图,尽管相变点存在差异但其描述的轨道选择Mott 相变的物理图像具有一致性,进一步说明了Bethe 晶格作为近似的理论工具在研究关联效应驱动的量子相变中的泛用性.最后将拓展的DMFT 应用于双轨道铜氧化物超导材料Ba2CuO4-δ,并采用动量空间各向异性的非局域轨道间跃迁的双带模型绘制了体系的相图,发现半满的Ba2CuO4-δ为轨道选择Mott 材料.

感谢中国科学院固体物理研究所邹良剑教授在本工作中的讨论.

附录考虑完整能带结构的动力学平均场理论

在DMFT 中考虑(20)式的紧束缚哈密顿量,则映射之后的杂质模型为