利用电磁场动量互易定理导出惠更斯原理*

刘国强 刘婧

1) (中国科学院电工研究所,北京 100190)

2) (中国科学院大学电子电气与通信工程学院,北京 100049)

经典电磁场互易定理(即洛伦兹互易定理)作为电磁学重要的理论之一,被广泛应用于通信、天线信号传输和电磁成像等诸多领域,它是一种“能量型”互易定理.已有研究用微分形式扩展“Rumsey 反应”的概念,使其同时包含了洛伦兹力密度反应和功率密度反应项.进一步有研究从麦克斯韦方程组导出了动量互易定理.动量互易定理与洛伦兹互易定理一样,既可以用于理论分析,也可以解决实际应用问题.因此利用洛伦兹互易定理可导出惠更斯原理,本文利用动量互易定理导出惠更斯原理.

1 引言

1896 年,洛伦兹[1]提出的经典电磁互易定理是电磁学重要理论之一,它将两个独立的电磁场联系起来,反映了两组场源之间的能量相互作用.洛伦兹互易定理在电磁场理论分析和实际应用中发挥了重要作用,如可为论证波导元件和天线的互易性提供基础[2],可用于确定波导和空腔谐振器中波型间的正交性[3],也常用于电磁成像等图像重建问题的求解[4,5].

此后百余年间,人们陆续被发展了一些新的电磁互易定理,包括频率域和时间域的互易定理,如Feld-Tai 互易定理[6,7]和互能定理[8,9]等.

上述定理均为“能量型”互易定理.事实上,电磁场除了具有能量还具有动量,因此从两组场源的相互作用关系来看,除了能量作用关系,还应当有动量作用关系.2020 年,Lindell 等[10]采用微分形式对“Rumsey 反应”的概念进行了拓展,导出了时空统一形式的广义反应密度.它对应的吉普斯矢量形式为

广义反应密度同时包含了洛伦兹力密度反应和功率密度反应,其中洛伦兹力密度反应为空间项,功率密度反应为时间项,(1)式中 e4为时间基.

同年,Liu 等[11,12]从麦克斯韦方程组导出了两组反映电磁场源之间动量相互作用关系的定理,分别为

式中,I 为单位并矢,ρ,J,B,E,H 和 D 分别为电荷密度、电流密度、磁通密度、电场强度、磁场强度和电通密度,下角标1 和2 代表两组电磁场.

这两组动量互易定理是对洛伦兹互易定理和Feld-Tai 互易定理的扩展,与能量型互易定理一样,可在工程实际应用中发挥重要作用,例如,在医学磁声电成像中利用动量互易定理进行图像重建[12],亦可成为电磁场理论分析的重要工具,例如,通过动量互易定理导出惠更斯原理.

惠更斯原理是一个比较特殊的电磁原理,它深刻揭示了波的形成和波的本质.惠更斯原理是将波前上的每一点作为一个新的波源,根据这些源在波传播方向上所产生场的叠加找出传播规律.惠更斯原理提供了一种电磁场简化分析方法,可以不用考虑实际源分布,只需在闭合面上设置与实际源等效的惠更斯源来简化分析.前人用洛伦兹互易定理可以导出惠更斯原理[13],本文利用动量互易定理导出惠更斯原理,说明了一些经典电磁理论相互之间存在内在联系.

2 理论模型

设实际电流源和磁流源分别为 Je1和 Jm1,电荷源和磁荷源分别为ρe1和ρm1.做闭合面Sh,该闭合面围成的区域为Vh.

设P为Sh外 一点,在P点放 入IΔl的电 流元,可看作电流I分布在体积为 ΔV的小导体圆柱电流段V2,eP为圆柱上表面A的单位法向方向矢量,也是电流密度的方向.当圆柱体积趋于零时,电流段的电流密度为

式中δ(r-rP) 是三维δ函数,其量纲是 m-3.

电流段等效为圆柱V2的上表面A和下表面B分布等量异种面电荷的电偶极子.当IΔl为1 A·m时,该电流段即为单位电偶极子点源,可表示为

根据电流连续性定理可知,圆柱V2的上下表面满足

于是,圆柱V2的上下表面的面电荷为

式中ω为角频率,矢径 rP在圆柱的上下表面分别化为 rA和 rB.做一个包围P点和Sh面的闭合面S,体积为V,如图1 所示.

图1 实际的电流源、磁流源、电荷源和磁荷源产生的场Fig.1.Fields generated by the actual current,magnetic current,charge sources and magnetic charge sources.

由于ρ2只分布在V2范围,故ρ2E1在区域V中的积分等于它在区域V2中的积分,即

面电荷可看作载荷层厚度h趋于零而载荷体密度趋于无限时二者乘积的极限值,即有:

将(7)式和(9)式代入(8)式,有

在区域V中,应用动量互易定理,并利用δ函数性质,有

式中 E1(rP) 和 B1(rP) 分别为实际源产生的电场强度和磁通密度.

为确定Sh面上惠更斯源密度,将实际源拿走,在Sh面上放置等效的源 Jes,Jms,ρes和ρms,如图2所示.

图2 惠更斯面电流源、面磁流源、面电荷源和磁荷源产生的场Fig.2.Fields generated by the Huygens surface current,magnetic current,charge sources and magnetic charge sources.

等效的面流(或)源可看作载流层厚度h趋于零而载流(或荷)体密度趋于无限时二者乘积的极限值,即有

在区域V中,有

应用动量互易定理,有

式中 Eh1(rP) 和 Bh1(rP) 是惠更斯面上的等效源产生的电场强度和磁通密度.

由于 Jes,Jms,ρes和ρms是实际源的等效源,必有

考虑到 eP方向的任意性,有

在Vh区域使用动量互易定理,有

(11)式和(16)式的体积分相等,有

利用(15)式,可知(14)式和(17)式的面积分相等,即

利用恒等式

有

将(19)式代入(18)式有

比较 (20)式两端,可知惠更斯源密度为

(21)式和(15)式表示,对惠更斯面Sh外的场点P,要产生相同的磁通密度,Sh面上应放置惠更斯面电流源 Jes、面磁流源 Jms、面电荷源ρes和面磁荷源ρms.对比洛伦兹互易定理导出的等效源,动量互易定理导出的等效源增加了面电荷源ρes和面磁荷源ρms,但在惠更斯面上,流源与荷源之间并非独立,Jes和ρes以及 Jms和ρms分别可以通过电流连续性定理和磁流连续性定理联系起来.

同理,若在点P放置单位磁偶极子,亦可以导出(21)式,类似于(15)式,可以导出:

联合(21)式和(22)式可知,对惠更斯面Sh外的场点P,要产生相同的电通密度,Sh面上应放置惠更斯面电流源 Jes、面磁流源 Jms、面电荷ρes和面磁荷ρms.

3 结论

本文利用动量互易定理导出了惠更斯原理,丰富了电磁场基础理论,为惠更斯原理及其应用提供了新的研究思路.