混联式柔性踝关节康复机构设计及运动性能分析

王海芳，李广宇，李鸣飞，崔阳阳，陈晓波

（1.东北大学秦皇岛分校控制工程学院，河北秦皇岛 066004；2.西南技术物理研究所制量与控制系统研究部，四川成都 610041）

踝关节是人体的主要承重关节，在人行走、奔跑、跳跃过程中起到稳定平衡的重要作用，也是人体下肢关节中比较容易损伤的部位［1］。患者如果不能得到及时治疗和康复训练，将会造成二次损伤，严重时更会造成功能缺陷。随着机器人技术在康复领域的应用与研究，踝关节康复机构将会把机器人技术应用到患者康复治疗中。

国外，Rutgers 大学设计了一种具有6 个转动自由度的踝关节康复机器人，由于自由度过多的问题所以不能精确控制［2］。意大利的Saglia 等［3-4］研发了一种只有2 个自由度的3-UPS/U 踝关节康复机器人，该机构受自由度限制不能完成踝关节的所有运动。土耳其萨班哲大学Satici等［5］设计了一种基于力反馈的穿戴式可重构外骨骼机器人。国内，王从哲等［6］设计了一种3-RUS/RRR 型冗余踝关节康复机器人，并分析了机构的运动学。禹润田等［7］提出了一种适用于踝关节康复的3-DOF 绳驱动并联机构，设计了等效球面副，但是采取冗余驱动，给控制带来了难度。李剑峰等［8］提出一种并联2-UPS/RRR 的踝关节康复机构，虽然没有冗余自由度，但设备采用刚性驱动，刚性杆件作为主动支链产生的惯性冲击可能给患者造成二次伤害［9］，不如柔性结构对人体更友好。

综上所述，对于康复器械采用刚性连杆传递动力容易产生刚性冲击的问题，以及采用冗余增加了控制难度和成本的问题，本文设计了一种机构旋转中心与踝关节转动中心相重合、满足3 自由度的以闭环同步带驱动的混联式踝关节康复训练机构平台。

1 机构简述及自由度分析

本文提出一种混联式柔性踝关节康复机构，如图1所示，康复装置实物如图2所示，机构组成主要包括底座、动平台、约束支链、驱动电机、编码器、带轮支撑块、连接块、万向球头轴承、同步带、同步带轮。约束支链包括支撑轴、左支撑连杆、右支撑连杆、弧形连杆等结构。其中，承重平台在支撑轴的带动下相对底座旋转，以完成内外旋运动；驱动电机通过同步带带动动平台完成内外翻和背跖屈运动。

图1 康复机构总体结构模型Fig.1 Overall structural model of rehabilitation institutions

图2 康复装置实物Fig.2 Physical map of the rehabilitation device

机构的组成结构决定机构的自由度，本文研究的踝关节康复机构的同步带在张紧后具有刚性，因此，可以把同步带驱动侧等效为两端为球副、中间为移动副的支链［13］，另一侧可以等效为两端为球副、中间为弹簧（弹簧可等效为移动副）的支链。对机构进行自由度计算，采用修正的Kutzabach-Grubler公式：

式中：M为自由度数；d为机构阶数；n为构件数目；g为运动副数目；fi为第i个运动副的自由度数；v为虚约束；ζ为局部自由度。

对于本康复机构，机构的阶数为6，等效后的机构共有12个构件、15个运动副、31个自由度、4个局部自由度。将上述数据代入式（1）可得

因此，本文研究的混联式柔性踝关节康复机构有3 个自由度，在两条驱动同步带和第一电机的协调控制下，可实现动平台的单一康复运动或复合运动，实现踝关节康复训练的要求。

2 运动学分析

2.1 位置反解

机构位置反解可描述为：当给定动平台的位姿(θ1，θ2，θ3)，求解两根驱动端同步带的长度li(i=1，2)和第1 电机的转角ϕ。对于机构内外旋角度θ3由第1 电机唯一决定，第1 电机通过锥齿轮组把运动传递给约束支链，由于锥齿轮组的传动比为1，忽略传动过程中的误差，所以有ϕ=θ3。在求解机构的位置反解时，只需考虑在上动平台下侧的万向球头轴承和同步带轮之间的同步带长度变化、动平台位姿的关系即可。

建立如图3所示的坐标系，参考坐标系O0x0y0z0在承重平台的中心，坐标系O1x1y1z1和O2x2y2z2分别设定在两个转轴上，坐标系O3x3y3z3在上动平台的中心。

图3 并联机构坐标系变化Fig.3 Parallel mechanism coordinate system change diagram

利用D-H 连杆坐标描述法求解坐标系之间的连杆变换矩阵，从固定坐标系O0x0y0z0到运动坐标系O3x3y3z3的连杆变换矩阵为

从连杆变换矩阵式（3）可以得到动平台位置和姿态，点P在固定坐标系O0x0y0z0中的位置坐标为

旋转矩阵为

根据封闭矢量法原理，建立封闭矢量环OPBi Ai，其中，O为承重平台中心，P为上动平台中心，Ai为同步带与同步带轮的连接点，Bi为同步带与万向球头轴承的连接点，Ai Bi为同步带长度，i=1，2。

由封闭矢量图及机器人学的坐标变换关系，同步带矢量可表示为

在竖直左右方向上，各矢量分别为

则同步带矢量l1为

在竖直前后方向上，各矢量分别为

代入求解得

2.2 位置正解

图4 牛顿迭代法求解机构位置正解的流程Fig.4 Flow chart of Newton iterative method to solve the forward solution of mechanism position

为了验证建立模型的正确性，首先给定动平台的特定姿态，其次根据位置反解模型求得驱动同步带的长度；然后利用牛顿迭代法，先选取3 组通过位置反解所得的结果作为初值，在Matlab 中编程得到机构在该情况下动平台的姿态；最后位置正反解计算结果见表1、表2。

表1 位置反解计算结果Tab.1 The calculation result of the inverse displacement

表2 位置正解计算结果Tab.2 The calculation result of the forward displacement

通过机构位置正反解模型计算结果对比可以看出，当设定误差限为δ=10-6时，姿态角的最大误差为0.001 4°，表明通过封闭矢量法求得的位置反解模型和通过牛顿迭代法求得的位置正解模型的正确性。

2.3 雅可比矩阵的建立

对于同步带驱动的柔性并联机构，其速度雅可比矩阵可定义为：动平台转动角速度与驱动同步带长度变化速度的变换关系。下面用求导法得到速度反解雅可比矩阵，位置反解方程对时间求导得

写成矩阵形式为

其中，

式（13）可以简写为

则并联机构的速度反解雅可比矩阵J为

3 运动性能分析

3.1 工作空间分析

本文研究的踝关节康复机构，关注其姿态工作空间，即表3 中动平台沿3 个方向转动所能够达到的角度范围。研究混联式柔性踝关节康复机构的工作空间，从内外旋单元和并联机构两方面入手，其中内外旋单元在执行机构运动时没有结构限制，满足踝关节实现内外旋运动的极限范围，需要对并联机构进行工作空间分析。

表3 踝关节最大允许角度Tab.3 Maximum allowable ankle angle

影响并联机构工作空间的因素有驱动端同步带长度约束、连杆干涉约束以及转动副转角约束，即需满足如下约束条件：

选取上动平台中心点为参考点，当给定并联机构的运动参数及约束范围，通过基于运动学位置反解方程的数值离散搜索法，可得到参考点所有可能达到的点的集合。求解过程如图5所示。

图5 基于数值离散搜索法的工作空间求解过程Fig.5 Solution process of workspace based on the numerical discrete search method

设定驱动端同步带长度li(i=1，2)约束范围为30～300 mm，转角θ1和转角θ2约束范围为-45°～45°。利用此搜索法可以把转动副转角范围内的所有转角进行验证，满足驱动端同步带长度约束条件的所有转角组成了并联机构的工作空间。通过Matlab 对上述求解过程进行编程，可得到θ1、θ2的运动范围如图6所示。

图6 并联机构工作空间求解结果Fig.6 Solving results of parallel manipulator workspace

由图可知，θ1、θ2的工作范围能够满足踝关节在实现背跖屈、内外翻运动的极限范围，表明本文所设计的机构能够满足对踝关节进行康复治疗的要求。

3.2 可操作度分析

可操作度可以表达对于动平台的位置和姿态控制的灵敏度［11］。本文研究的并联机构只具有绕固定中心转动的2转动自由度，其可操作度的表达式为

式中：w为机构的可操作度；J为机构的雅可比矩阵。

对并联机构在可达姿态工作空间上的每一个独立点进行可操作性分析，根据并联机构的工作空间分析可知θ1、θ2的工作范围在（-45°～45°），需要在该运动范围内确定可操作度的取值是否存在突变或者不连续情况。因此，通过Matlab 将可操作度w与θ1、θ2的关系表示出来，得到可操作度w的变化情况如图7所示。

图7 可操作度w的变化情况Fig.7 Changes in operability w

由图7可知，并联机构的可操作度在1～5之间变化缓慢，无零值点，表明机构具有良好的可操作性能。

4 结语

本文提出一种混联式柔性踝关节康复机构，该机构具有3 个转动自由度，能实现踝关节的单一转动运动（背跖屈运动、内外旋运动、内外翻运动）及复合运动。通过机构性能分析，结果表明所设计的机构在各个方向上的运动可以达到踝关节康复运动所需的运动范围，并联机构在工作空间内具有良好的可操作性和灵活性，混联式踝关节康复机构能够满足踝关节康复运动治疗的要求。