双机自同步驱动三质体振动机械系统的稳定性

孟 玮，胡文超，李 超，张学良

（1.北矿机电科技有限责任公司市场部，北京 100160；2.东北大学机械工程与自动化学院，辽宁沈阳 110819）

振动现象在生活中随处可见，对人类生活以及社会生产活动影响很大。振动在一些方面给生产及生活带来很多危害，如振动会加剧机械零件的疲劳损耗，影响设备的使用寿命及工作效率；共振会造成桥梁和高楼坍塌破坏，对人类生命安全财产造成损害等。但振动也给人们生活带来很多益处，如利用振动理论研制出的多种振动设备改善了工作质量，极大地提高了设备生产效率，增加了生产收益。

振动同步作为振动的一个重要研究方向，一直吸引着众多科研人员对其进行深入研究。Blekhman 等［1-2］首次提出了双机驱动振动机同步理论，并对自同步物理机制做出了详细解释。Inoue 等［3］研究了双电机驱动的激振器的2 倍频和3 倍频同步运动。Balthazar 等［4-5］对柔性刚体上非理想双机及四机同步运动进行了研究。随后，我国学者闻邦椿等［6-7］开始研究振动同步利用，发明了大量振动同步设备，成功地将振动同步理论应用于工程实践中；赵春雨等［8］提出了改进小参数平均法，并通过此方法得到含有扰动参数的频率捕获方程，进一步完善了振动同步理论；张学良等［9］研究了双机驱动圆柱滚子振动同步传动理论以及多机驱动多质体同步理论，根据工作频率对固有频率的比值大小将共振区域划分为多个区间，得到各个共振区域的动力学特性。

本文建立了双机自同步驱动系统的动力学模型和运动微分方程，从理论上详细研究了系统的同步性和稳定性，对系统的稳定性做出数值分析，给出了振动系统在不同共振区域的仿真结果。

1 振动机械系统动力学模型和运动微分方程

双机自同步驱动三质体振动机械系统的动力学模型如图1 所示，隔振质体通过隔振弹簧与地基连接，2个工作质体分别由导向板-弹簧组件与隔振质体连接，其中2 组主振弹簧与水平方向的夹角分别为β、π-β。2 个激振器分别由各自的感应电机驱动，绕各自旋转中心旋转，且旋向相反，旋转相位角分别为φ1、φ2。系统的运动为2 个工作质体分别在x、y方向的振动以及隔振质体在y方向的振动。

图1 双机自同步驱动三质体系统动力学模型Fig.1 Dynamic model of a vibrating system with three rigid frames driven by self- synchronization of two exciters

根据Lagrange方程得系统的运动微分方程为

式中：M1=m1；M2=m2；M3=m3+m01+m02；J0i为激振器i的转动惯量，J0i=m0ir2；m0i、r分别为激振器i的偏心块质量和偏心半径；kiy为弹簧i在y方向的刚度；fiy为弹簧i在y方向的阻尼系数；Tei为电机i的电磁输出转矩。

2 2个激振器的同步及同步状态下的稳定性分析

根据模型，可以假定2 个工作质体的质量相等，即M1=M2=M0，不平衡转子质量设定为m02=ηm01。同时假定2 个激振器的平均相位为φ，相位差为2α，则2个激振器的相位为

式中：

2.1 2个激振器实现同步运转的条件

由式（1）的前5 个方程可得系统的质量矩阵M，刚度矩阵K以及特征方程为

假定两组主振弹簧的弹簧刚度相同，即k1y=k2y=k0，由于系统阻尼对系统影响很小，可以忽略不计［6-7］。当Δ(ω2)=0时，求得系统的固有频率为

式（3）中第3个方程对时间t求2阶导后，将其代入式（1）的后2个方程中，并两边同时在0 ～2π上对φ求积分，整理后，两电机的平均力矩平衡方程为

即任意两电机无量纲电磁输出转矩之差的绝对值小于或等于其无量纲耦合转矩的最大值。

2.2 2个激振器同步状态下的稳定性判据

系统的动能和势能为

系统在单个周期内的平均动能和势能为

系统在单个周期内的哈密顿平均作用幅值I为

根据哈密顿原理［6］，两激振器同步状态下的稳定相位差2αˉ对应于哈密顿最小作用幅值，则系统稳定同步运转时，I应该满足如下条件：

式（12）是2 个激振器同步状态下的稳定性判据。满足式（8）和式（12）的稳定相位差解记为2αˉ*。H是系统的稳定能力系数，H越大，系统稳定能力越强。

3 系统稳定特性的数值分析

根据上述理论结果，本章对系统同步状态下的稳定相位差和稳定能力进行数值上的讨论，进一步揭示系统的运动特性。

设定2个电机型号一致，其对应参数为三相鼠笼式，50 Hz，380 V，6级，0.75 kW，额定转速980 r/min。电机内部参数为转子电阻Rr=3.40 Ω，定子电阻Rs=3.35 Ω，互感Lm=164 mH，转子电感Lr=170 mH，定子电感Ls=170 mH，电机轴阻尼系数f01=f02=0.05。振动系统参数为m1=m2=1 500 kg，m3=2 000 kg，m01=m02=10 kg，M3=m3+m01+m02=2 020 kg，k1y=k2y=20 000 kN/m，k3y=10 kN/m，r=0.15 m。将参数代入式（5）中，计算得到系统固有频率ω1=116 rad/s，ω2=182 rad/s，ω3很小不予考虑。

3.1 2个激振器间的稳定相位差

根据系统的运转频率与固有频率的比值大小z1和z2，可将整个频域划分为3 个共振区域，其中z1=ωm0/ω1，z2=ωm0/ω2。3 个共振区域：①ω1和ω2的亚共振区（Ⅰ区），对应于z1＜1，z2＜1；②ω1的过共振区和ω2的亚共振区（Ⅱ区），其中z1＞1，z2＜1；③ω1和ω2的过共振区（Ⅲ区），此时z1＞1，z2＞1。

不同共振区域内两个激振器间的稳定相位差如图2 所示。Ⅰ区的2αˉ*为180°，随着运转频率的增加，在接近共振频率ω1处，2αˉ*由180°变化为0°。运转频率继续增加，进入Ⅱ区，2αˉ*一直稳定在0°。在Ⅲ区中，经过共振频率ω2后，2αˉ*由0° 变化为180°。

图2 2个激振器之间的稳定相位差Fig.2 Stable phase difference between two exciters

当2αˉ*=0°时对应的系统运动形式：2 个工作质体在x方向和y方向都有振动，隔振质体仅在y方向有振动。当2αˉ*=180°时，3 个质体在x方向和y方向均没有振动，系统保持静止状态，这是由于2个激振器的激振力相互抵消产生的情况。

3.2 系统的稳定能力

系统的稳定能力系数如图3 所示。图中可见，系统在3 个共振区域的稳定能力系数H都大于0，表明系统在整个共振区间都能保持一定的稳定状态。稳定能力系数越大，系统稳定能力越强。在共振点ω2处，稳定能力系数达到最大值，表明系统在这一共振点处稳定能力最强。

图3 系统的稳定能力系数Fig.3 Coefficient of stability ability of the system

4 仿真分析

为了进一步验证理论结果的正确性，本章将基于运动微分方程，使用Runge-Kutta 程序对振动系统进行仿真分析。在上一章特性分析中，整个共振区域被划分成3 部分，本章将通过改变k1y和k2y的值，讨论3个区域的仿真结果。除了k1y和k2y以外，系统参数和电机参数与第3 章相一致，每个区域对应的仿真结果如图4所示。

首先设置k1y=k2y=60 000 kN/m，得到Ⅰ区仿真结果。由图4（a）可知，Ⅰ区仿真点处的电机转速为983 r/min，计算得频率比z1=0.51，对应于图2中的l1。由图4（b）可知稳态时两激振器的相位差2α为180°。在图4（c）中，电机运行约25 s 后，系统实现同步稳定运行，3 个质体在x和y方向均没有位移，保持静止状态。

图4 Ⅰ区、Ⅱ区和Ⅲ区的仿真结果Fig.4 Simulation results in regions Ⅰ，Ⅱand Ⅲ

然后减小弹簧刚度，使k1y=k2y=10 000 kN/m，得到Ⅱ区仿真结果。图4（a）和（b）中所示，电机通电大约6 s后，Ⅱ区仿真点处电机转速稳定在800 r/min附近，对应频率比z2=0.66，与图2中l2相对应，该点处两激振器的相位差稳定在0°。由图4（d）和（e）可知，稳态时两个工作质体在x方向上都产生振动，且振动方向相反，其位移约为4.0 mm，在y方向上同向振动，其位移约为4.0 mm。隔振质体在x方向没有振动，在y方向的位移约为5.2 mm。

最后调整弹簧刚度为k1y=k2y=4 000 kN/m，通电大约7 s 后，电机转速稳定在983 r/min，对应频率比z2=1.26，与图2 中Ⅲ区内l3相对应。从图4 中可以看出，两激振器间稳态相位差为180°，3个质体在x和y方向均没有振动，系统呈静止状态。

Ⅰ区仿真在40 s 处给电机2 施加π/4 干扰，Ⅱ区和Ⅲ区仿真在30 s 处施加同样的干扰。施加干扰后，振动系统会出现短暂的波动，最终恢复到施加干扰前的稳态，这表明系统抗干扰能力强，稳定性高。

综合以上结果，系统在Ⅱ区有较强的稳定能力和较大的振动幅值，满足工程实际需求。

5 结论

通过理论、数值和仿真分析，得出以下结论：

（1）为保证系统的同步稳定运行，首先必须满足2 个激振器实现同步运转的理论条件和同步状态下的稳定判据。

（2）系统的共振区域被2 个固有频率划分为3部分。在ω1和ω2的亚共振区（Ⅰ区）以及ω1和ω2的过共振区（Ⅲ区）内，2 个激振器间稳态相位差为180°，这时激振力相互抵消，系统呈静止状态。在ω1的过共振区和ω2的亚共振区（Ⅱ区）内，两激振器间相位差稳定在0°，2 个工作质体和隔振质体在y方向上为相对直线运动，在x方向上2 个工作质体互为反向直线运动，隔振质体无振动。

（3）在类似模型的振动机械设计中，系统的工作点应选择在图2中的Ⅱ区，这种情况下工作质体的振幅才能满足实际工程需求，且有较强的稳定性。