从画图教学法谈小学生几何直观能力的培养

◎张夏娴

(福建厦门集美区三社小学 ，福建 厦门 361023)

一、引言

随着信息传递形式的多样化，信息的载体不再仅限于文字符号，图像图形作为重要的信息载体在学生的学习生活中扮演着越来越重要的角色.除了大量的几何图形，学生在数学学科的学习过程中还会遇到各种类型的函数图像、统计图表以及结构化图形.为了适应学习生活，学生必须具备一定的识图、读图、画图的能力，了解并熟悉常见图形的性质特点和结构特征，并能借助图形直观地表述问题、解释现象、呈现思路、探索结果.可以这样说，直观想象是学生必须具备的重要数学素养.

图形是数学学科的重要构成部分，也是数学常规教学的重要组成部分，把图形融入日常的教学，培养学生图形运用的能力是数学学科的基本要求，也是培养学生几何直观能力的一个重要方式.

二、画图教学法的内容界定

本文所提到的画图教学法是一种用于辅助教学的方法，旨在帮助学生直观地理解数学知识，快速地掌握数学技能，进而深刻明白数学原理，主要指以下四个方面：(1)用画图的方式引导学生对一些几何图形的性质进行初步的探究，并指导学生利用画图的方式来梳理几何图形之间的关系，比如通过添线割补的方式对梯形的面积公式进行探究；(2)用画图的方式来表示数量之间的关系，帮助学生解决相应的代数问题，让学生体会图形在解决数学问题时的直观作用；(3)引导学生用画图的方式探索变化的规律，并对变化的过程进行总结和反思，对变化的趋势进行合理的预测；(4)指导学生学会看思维导图，并能独立地画出思维导图，用以阐述要素之间的关系.

画图教学法实施的前提是学生要有一定的识图、看图的能力，对不同图形的性质要有一定的了解.比如规则图形(长方形、正方形、三角形、平行四边形)由哪些具体的要素构成，要素之间有什么特殊的关系；不同类型的统计图在描述数据方面的特点不同，读图时要注意有效信息捕获的关键点在哪；图形运动变化(对称、平移、旋转)的特点是什么，是否能正确找出对应元素；描述物体位置时，学生是否能从中顺利读出相应的数学量(方位角)；描述运动变化的图像时，学生是否能正确知晓里面的变量代表的实际含义，是否能清楚图像里蕴含的运动变化规律，等等.这些都是对学生识图和画图提出的具体要求，学生只有能较为熟练地识图、看图，才有可能正确地画图，从而把图形运用到解决数学问题中去.

三、从画图教学法谈小学生几何直观能力培养的具体策略

(一)注重画图示范，善用教学工具

小学阶段对学生几何直观能力的培养需要依托具体的实物或者具体的情境，因此教具的使用就显得尤为重要.比如在进行立体图形和平面图形的教学时，教师需要用大量的实物模型来增强学生对知识的理解，同时教师需要把抽象的几何图形呈现在黑板上，这一过程要求教师规范地使用作图工具，并且要注意画图的示范性和程序化.学生经常对作图工具的具体功能模糊不清，比如用圆规比较角的大小.所以画图教学法的第一步就是向学生介绍各个作图工具的用处，并教会学生正确使用它们，使学生能规范测量、正确读数，这些都是精确作图的前提，图形的准确度对学生早期几何直观能力的形成有重要的作用.画图教学法的第二步就是引导学生创造性地使用这些作图工具.比如可以把圆规和直尺组合使用，用来画“一条线段等于已知线段”，把三角板有规律地叠放使用，用来画一些特殊度数的角(15°，75°，105°等)，把直尺和量角器组合使用，用来画任意度数的角，等等.通过对这些作图工具的组合使用，学生会对工具的功能性有进一步的了解，同时也对“尺规作图”埋下种子.画图教学法的第三步就是要对画图过程进行科学、有步骤、有思维的示范，不能只重视图形的形似，更应该关注画图过程中蕴含的逻辑思维.比如，画等腰三角形和平行四边形时可以尝试以这样的方式进行示范(如图1)：

图1

画等腰三角形时，先画底边，再画出底边的对称轴，接着在对称轴上任取一点，从而画出等腰三角形，这样的画图示范不仅凸显了等腰三角形的轴对称性质，也让等腰三角形的各个要素之间产生了紧密的关联，学生的几何直观能力由此上升了一个层级.

画平行四边形时，从它的对角线互相平分这个性质入手，虽然小学生无法定性分析画图原理，但是这样的画法比较准确和规范，有利于学生更为深入地了解平行四边形的特性.

当然，手工画图远不如使用信息技术画图精确，所以教师在课上进行画图示范时，可以借用几何画板把图形呈现出来，并且动态演示图形的形成和变化的过程，让学生形成动态的几何观，这是黑板制图所无法比拟的.如果条件和课时允许，教师可以把数学课堂拓展到电脑机房，教给学生一些简单的用几何画板画图的方法，让学生在画图过程中体会几何的对称美、迭代美.

(二)注重图形关联，利用画图整合

小学阶段，学生学习的常用几何图形类型众多，样式齐全，但是因为缺乏定性分析，所以看起来各图形间稍显独立.长期割裂地学习各图形，不利于学生几何模块知识系统的形成，所以关联式的教学是几何教学中常用的教学方法，因此，利用画图进行图形之间的关联再合适不过.图形之间存在着诸多的联系，如四边形的问题要转化成三角形来解决，正方形里蕴含着等腰直角三角形，长方形其实是由两个直角三角形拼凑而成的，菱形是由两个大小形状一致的等腰三角形组成的，等等.因此教师在教学时要善用图形来直观地阐明这些关系，帮助学生厘清各图形之间的关联.比如，长方形和菱形的关系图以及圆和正方形的关系图(如图2).在这些关系图里，图形之间的联系不言而喻.常画这样的关系图，可以培养学生用联系的眼光去看待数学世界，培养学生的转化思想.再如，在探究梯形的面积公式的过程中，可以通过分割或者补全梯形，把梯形的面积问题转化为三角形或平行四边形的面积问题来解决，如图3(以等腰梯形为例).在这些示例图里，梯形的面积问题通过割补转化成三角形、长方形、平行四边形的面积来解决，这不仅大大提高了学生处理图形的能力，也为辅助线的出现奠定了基础.

图2

图3

另外，图形的运动变化也是画图教学的重点，义务教育阶段侧重全等形，大部分全等形都可以由一个原图形通过平移、翻折、旋转得到，所以把图形的位置变化融入画图教学，不仅可以强化关联式几何教学的效果，还可以培养学生动态的几何观.另外,学生多画立体图形与它的展开图，也有助于其动态几何观的形成.因此，教师在教学中，可以要求学生多画立体图形及其展开图，再一次强化图形之间的关联，这有利于学生空间观念的培养.

(三)巧借画图解题，善用数形结合

数学是研究数量关系和空间形式的学科，数与形的关系密不可分，数少形时少直观，所以可以借助画图来辅助解决一些代数问题.比如行程问题中的相遇与追及问题，可以通过画线段图进行呈现，从而帮助学生厘清题目中的数量关系.

例1甲、乙两人分别从A地和B地出发，相向而行.甲的速度为5 m/s，乙的速度为6 m/s，如果A,B两地相距2 km，经过多长时间甲、乙两人相遇？

画线段图(如图4)：

图4

利用线段图可以对题中的运动情境进行自由的切换和改造，例如在相遇的情境中增设往返情节(循环往复)，把线段变成一个圆周，在圆周上完成相遇和追及问题，增设几个线段上的点，赋予其运动过程一些干扰因素，等等.线段是直线的一部分，借助线段的和差性质可以计算数量的和差，完美地把图形和数量结合在一起.其实小学阶段的线段图和初中阶段的数轴密不可分，因此，教师在进行线段图教学时，要时刻注意对数轴特征的渗透，比如让学生潜移默化地感受相反数、绝对值、两点间距离等概念的几何意义.这样不仅可以为学生初中的学习打下基础，也可以让学生深刻体会数与形之间的紧密关系.

除了常见的行程问题，借助画图还能直观地呈现运算规律、式子的性质.比如借助温度计理解简单的负数运算，通过画图理解等式的性质，利用图形阐述乘法交换律，等等.另外，借助画图还可以锻炼学生的逆向思维.比如，计算下列图形(如图5)面积：

图5

如果从正面分割图形，会比较复杂，学生要经历多次的分块计算，计算的风险变大.另外，如果学生不能正确分割，很可能无法求出分割出的各部分图形面积.但是，如果学生利用逆向思维，选择先观察图形结构特征，然后画图补全图形，再用大正方形面积减去小正方形面积就能快速算出结果.

用画图来解决代数问题的案例还有很多，这种解题方法的关键点在于利用图形中各个要素之间的数量关系来解题，所以教师在利用画图教学法进行教学时，要多设置一些环节，引导学生仔细地观察图形，使其能通过画图或者对图形进行适当的标识，从而挖掘出图形中隐藏的数量关系，再利用这些数量关系解题.用画图的方法解题其实就是运用数形结合的思想来看待数学问题.数形结合是几何直观最高阶的能力层级，在小学阶段渗透数形结合思想，可以让学生形成比较稳固的几何直观思想.

(四)绘制统计图表，渗透函数思想

统计图表在描述数据的集中趋势和离散趋势方面有独到的用处，学生可以利用统计图表把一堆杂乱无章的数据进行有序的呈现.绘制统计图表可以帮助学生顺利地获取数据里面蕴含的规律，让学生真真切切地用数学知识来解决实际生活中的问题.比如扇形统计图的绘制过程，学生不仅对圆中占比这一概念有了更深刻的认识，也对圆的性质有了进一步的了解.再如，折线统计图其实就是函数图像的雏形.如果教师能在教学折线统计图时有意识地引导学生关注折线统计图中的函数特征，这对于学生学习函数知识有很大的帮助.函数图像的绘制和使用是几何直观能力培养里很重要的部分，这是因为函数既含有数的特征又蕴含形的特征.因此，在小学阶段，教师应该有意识地进行函数观念的渗透，比如在进行混合运算时，教师可以把运算过程绘制成程序框图，使学生初步感受对应关系和对应法则，

例2李爷爷说：“把我的年龄加上12再除以4，然后减去15，再乘以10，恰好是100岁.”李爷爷有________岁.

教师可以引导学生画出程序框图(如图6).

图6

对于“数对”这一节课，教师可以让学生通过班级里特殊位置的分布感受数与形之间的关系.比如第一排第一列(1，1)的同学，第二排第二列(2，2)的同学，第三排第三列(3，3)的同学，他们的位置在一条直线上.学生容易发现数对里的数字规律，也可以直观地看到数对所反馈出的图形特征.如果把班级里学生的位置用图形简化出来，让学生在纸上或平板上进行纸笔操作，更能帮助学生完成从数到形的直观过渡.学生用数对呈现出班级里学生的位置分布后，让他们把刚才眼睛所看到的这一条直线画出来，这样，学生就能更加深化从数到形的认识.最后问学生这样的问题：第十排第十列的同学会在这一条直线上吗？你还能找到其他的直线吗？这条直线上的数对有什么特点？通过这样一系列的画图过程，学生对于函数图像的直观感受已经初步形成，如果教师再在“折线统计图”的教学里，让学生预测折线走势，并从生活里加以印证，那么学生对函数图像的认同感就会剧增，几何直观能力也会因为函数图像的加入，在小学阶段显得更加多维.

(五)绘制思维导图，梳理从属关系

绘制思维导图或者关系图也是画图教学法的重要组成部分，利用图形的直观性把知识要点进行简明扼要的呈现，可以提高学生的复习效率.在绘制思维导图时，学生的几何直观能力也会进一步得到提升.学生可以先利用数学的方式来绘制思维导图，然后以数学的方式利用思维导图对知识模块进行描述和详细分析，这大大提高了学生的学习效率以及逻辑思维的品质.思维导图可以将知识点之间的联系清晰地呈现出来，它是一种重要的关系图，除了可以用来直观地梳理知识点之间的关系外，还可以用来解决一些数量关系问题和从属关系问题.

例3学校里有足球、篮球两个体育兴趣小组，六(5)班有32人参加了足球兴趣小组，有24人参加了篮球兴趣小组，六(5)班共有48名同学并且全部参加了这两个体育兴趣小组.有多少名同学同时参加了两个体育兴趣小组？

关系图(如图7)：

图7

参加足球兴趣小组32人 参加篮球兴趣小组24人

在上面的图形中，数量之间的关系被清晰地呈现出来，学生利用各个量之间的从属关系能快速地解决问题.

数学是一门注重逻辑推理的学科，思维导图是一种与逻辑关系有关的结构图，几何直观的本质就是借助图形有逻辑地理解数学.所以，这三者之间相互契合，相辅相成.