转化思想在初中数学解题中的应用

曹可欣

【摘要】为更好地突破初中数学习题常运用转化思想，采取一定的措施对要求解的问题进行适当的转化，以达到化难为易、化陌生为熟悉、顺利解题的目的.为给学生带来良好的解题指引，提高运用转化思想解题的意识与能力，应针对不同的转化方法，做好相关的应用示范.

【关键字】转化思想;解题指引;初中数学

1 换元转化在解题中的应用

换元转化又称换元法指解题中遇到较为复杂的式子或者参数较多时，往往将其替换为一个参数，更好地揭示出参数之间的规律，降低解题难度.为使学生掌握换元转化在解题中的应用技巧，课堂上应注重为学生认真地分析相关的习题，更好的拓展学生的视野，提高其运用换元转化解题的灵活性.

例如 已知若x满足（30-x）（x-10）=160，求（30-x）2+（x-10）2的值.

解题过程 设30-x=a，x-10=b，所以ab=160，a+b=30-x+x-10=20，所以（30-x）2+（x-10）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=202-2×160=80.据上述过程解答以下问题

如图1在长方形ABCD中，AB=10，BC=6，点E、F是BC、CD上的点且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为80平方单位，则图中阴影部分的面积为多少平方单位？

根据题意可知FC=10-x，CE=6-x，因为长方形CEPF的面积为80平方单位，所以（10-x）（6-x）=80，（10-x）（x-6）=-80，阴影部分的面积为（10-x）2+（x-6）2.

设10-x=a，x-6=b，所以ab=-80，a+b=4，所以（10-x）2+（x-6）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-2×（-80）=16+160=176，即图中阴影部分的面积为176平方单位.

应用点评 该题使用双换元进行转化，难度较大，好在题干中给出了相关的解题过程，可给学生带来良好的解题启发.为更好的提高解题的正确性，需认真阅读题干中给出的示范，把握换元前相关参数之间的关系，明确换元后处理方法.

2 直接转化在解题中的应用

直接转化是指结合习题创设的情境，根据所学知识将要求解的问题转化为基本定理、基本公式或基本图形.运用直接转化解答突出数学习题时应深入的理解题意，尤其需要深入的挖掘隐含条件，结合解题经验，通过转化、严谨的推理寻找解题的蛛丝马迹.

例如 如图2所示，△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于点D，AD=4，P为半径为2的圆A上一动点，连接PC，若点E是PC的中点，连接DE，则DE长的最大值为（）

A.3 B.3.5 C.4 D.4.5

点P运动的过程中点E的轨迹是一个圆，如图3中的圆O.延长BA和圆A交于点P，此时BP最长，因为AB=AC，AD⊥BC于点D，所以点D是BC的中点，又因为点E是PC的中点，所以DE∥BP，DE=12BP.接下来只要求出BP的長即可.因为AD=4，BD=12BC=3.在Rt△ABD中由勾股定理易得，AB=5，所以BP=AB+AP，因为圆A的半径为2，所以AP=2，BP=5+2=7，则DE=3.5，选择B项.

应用点评 运用直接转换法解答初中数学习题，应结合题干中的已知条件迅速的联想到相关的定义、图形的性质等，并结合题干情境作出相关的辅助线，以更加直观的展示线段、参数之间的关系.

3 数形结合转化在解题中的应用

数形结合思想指通过数与形的灵活转化，以达到化抽象为具体，顺利解题的目的.为使学生更好地掌握运用数形结合转化解题的相关细节，促进其解题能力的进一步提升，应注重为学生灌输画相关图形的相关技巧，尤其在画一些陌生函数的图象时可通过所学联想，对较为熟悉的函数图象进行适当的变换，以确保画图的正确性.

例如 如图4，在平面直角坐标系中，若折线y=-|x-2|+1与直线y=kx+2k（k>0）有且只有一个交点，则k的取值范围是（）

A.0

B.k>1或k=14

C.0

D.k>2或k=14

因为y=kx+2k，所以其恒过点（-2，0），因为k>0，当其刚好过折线的顶点时有一个交点，折线的顶点坐标为（2，1），代入得到4k=1，此时k=14.将该直线绕着点（-2，0）逆时针方向转动，当其和折线左侧部分平行时无交点，此时k=1，继续转动刚好有一个交点，此时k>1，综上分析k的取值范围为k>1或k=14，选择B项.

应用点评 该题已经给出了函数.但是为更好的求解k的取值范围，需要明白直线y=kx+2k恒过定点（-2，0），而后结合图形以及直线的旋转变化，找到最终的解题突破口.

4 总结

转化思想是一种重要的解题思想.为提高学生运用该思想解题的能力，应做好转化相关方法的讲解，使学生扎实掌握相关理论，尤其在讲解相关例题时与学生积极互动，给学生留下深刻的印象，使其掌握不同转化方法的应用技巧，积累相关转化经验.

参考文献：

[1]杨程翔. 转化思想和类比思维在高中数学解题中的应用[J].数学学习与研究.2019（22）

[2]吴建忠.初中数学解题中转化思想的有效应用[J].数学大世界（中旬）.2020（09）

[3]林霞.转化思想在初中数学解题教学中的运用[J].数理化解题研究.2020（20）

[4]顾欣华.初中数学解题中转化思想的应用[J].第二课堂（D）.2021（10）