例析平面几何中的平行问题

袁名扬

【摘要】初中阶段有关平行的问题一般都涉及到证明两直线的平行以及平行线的判定与性质，尤其是对于较复杂的题目，通常是将平行的知识点与中位线定理等其他知识点综合考察.基于此，文中将相关题目归纳分类并根据题目的命题特点总结了解决初中平面几何平行题型的思路与方法.

【关键词】平面几何;归纳分类;解题思路

在初中各种考试命题中，有关平行的题型灵活多变，应用的知识点也是灵活多样，下面笔者对初中平面几何中涉及到的平行题型进行了分类探究，将题型按照一定标准进行分类，在应用的基础上进行难度提升，加强学生的数形结合思想，使学生在处理平行问题时，建立起一定的体系框架，能将平行题型进行分类，准确定位考查的知识点与技能，并在这一过程中，不断提高逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.

1 平行线的判定

例1 如图1，过点P作射线PM和PN分别与⊙O相切于M、N两点，作直径MA且延长MA交射线PN于点B，连接OP、AN，试证明OP∥AN.

分析 由题意可连接ON，欲证OP∥AN，即证∠POM=∠MAN.因为△MPO≌△NPO，可得∠POM=∠PON.最后又因为∠MAN=12∠MON，进而可以得到∠POM=∠MAN.

证明 如图1，连接ON由题意PM、PN分别与⊙O相切于M、N两点，可得PM=PN，∠MPO=∠NPO.因为△MPO≌△NPO，所以∠POM=∠PON.又因为∠MAN=12∠MON，所以∠POM=∠MAN，所以OP∥AN.

本题添加了一条辅助线以便于更简单的证明结论，探究了角之间的关系，利用了“同位角相等，两直线平行”的判定定理得出OP∥AN的结论.

例2 如图2，在△ABC中，点E、M在AB上，点N、F在AC上，且BF∥EN，CE∥FM，试判断MN与BC的位置关系，并说明理由.

分析 利用两个平行的条件，根据对应线段成比例，可以得到两个关系式AB·AN=AE·AF和AC·AM=AE·AF.进而可以得到比例式ABAM=ACAN，因此MN∥BC.

证明 MN∥BC.因为BF∥EN，所以AB·AN=AE·AF.又因为CE∥FM，即AC·AM=AE·AF，所以AB·AN=AC·AM，

进而ABAM=ACAN，所以MN∥BC.

这道例题典型地运用了定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，使得解题变得简单明了.在这里要注意一点，上述定理要求的不是任意对应线段成比例，这是万万不能够推出来两直线平行的.不能对定理断章取义，要理解并记忆清楚.

2 与中位线定理相结合

在同一前提下，梯形或三角形的中位线定理含有两个确定的结论：一个是位置关系：即中位线平行于两底（或第三边）;另一个是数量关系：即中位线等于两底和（或第三边）的一半.由于中位线可以平移、倍分转化，因此这两个结果在试题中的应用可谓非常广泛.如果题目中直接给出条件或者是可以间接的得出中位线定理，那么中位线与第三边（或两底）平行的位置关系是显而易见的，不需要过多的证明.但通常与中位线定理相关的题目不单单是为了证明两直线平行，更多的是间接利用了中位线定理的位置关系得出平行，再利用平行的性质来解决其他问题.所以当遇到线段中点或三角形中位线时，常常考虑是否可以利用中位线来解决问题，在解题过程中往往会运用到有关平行的知识.

例3 如图3，E、F分别是梯形ABCD的两边AD、BC的中点，MF∥EB交CD于点M，连接EM，求证：EM=BF.

分析 依题意AD、BC的中点分别是E、F，可知BF=12BC.因此，欲证EM=BF，只需证明EM=12BC.根据三角形中位线定理，考虑延长BE交CD的延长线于点P，构造出一个带有中位线的三角形，就可以利用三角形中位线定理使问题得到解决.

证明 延长BE交CD的延长线于点P.由四边形ABCD是梯形，可知AB∥CD，所以∠ABP=∠CPB.又因为∠AEB=∠DEP且AE=ED，所以△AEB≌△DEP（AAS）.又因为FB=FC且MF∥BP，所以PM=MC.所以EM=12BC=BF.

上述例题虽然没有直接要求证明两直线平行，但是我们在证明过程中运用到了平行线的性质定理，然后再进一步地解决问题.这说明在涉及到四边形中边、角相等的证明问题时，把四边形中的边、角转化或构造成三角形的边、角更容易解决问题.当题设中含有中点的数量或位置条件时，比如线段的一半或两倍关系或线段平行，则可考虑中位线;而当题设中有中点条件但不完备时，若想使用中位线定理，我们可以通过添加适当的辅助线構造出中位线，从而为使用中位线定理创造条件.

3 与平行四边形相结合

平行四边形是我们熟知的一种特殊的四边形，其独特性表现在对边平行且相等、对角相等、邻角互补等.所以我们能够利用平行四边形的性质，也就是平行四边形的两组对边平行来解决我们的平行问题.

例4 如图4，点E是ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F，若CD=6，求BF的长.

分析 求BF的长其实就是让我们去求未知线段AF的长.这里要结合图形特征考虑，四边形ABCD是平行四边形，根据观察，我们可以利用平行四边形的性质得到两个三角形△EAF与△EDC全等，进而得到FA=CD=6，自然可求出BF的长.

解 已知四边形ABCD是平行四边形，且E是ABCD的边AD的中点，所以BA∥CD且BA=CD，AE=ED.又因为在△EAF和△EDC中∠AEF=∠DEC、∠BFC=∠DCF、AE=ED，所以△EAF≌△EDC.故FA=CD=BA=6.所以BF=BA+AF=6+6=12.

上述两道例题说明平行四边形是个特别的图形，有着独特的性质，利用它我们可以得到对边平行的位置关系，进而可以解决很多问题.由此可见，平行关系在各类平面几何题目中都会借助一些常见的基本图形为载体而频繁出现，需要经常练习相关题目才能熟能生巧，利用图形的性质特点解决问题.

4 平行线的性质与判定在试题中的综合应用

初中涉及到的平行题型除了证明两直线平行以外，还有很多题型是利用平行线的性质来解决其他相关问题的.如果更复杂一点的题目，会对平行线的性质与判定综合起来考察学生，也可能与中位线或者其他知识点整合起来考察.

要想灵活地运用平行线的性质与判定来解决问题还要先分得清性质与判定之间的区别与联系，我们先来看两个简单的推理：

如图5，因为∠1=∠2（已知），所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.相反地，因为AB∥CD（已知），所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.

乍一看，这两个推理形式一样，只是顺序不一样，但却有着本质的区别：那就是因与果的颠倒.第一个推理是由“因为∠1=∠2”为前提，这是因，得到的“所以AB∥CD”这一结论是果;而第二个推理恰恰相反，即“因为AB∥CD”是前提为因，得到“所以∠1=∠2”的结论为果.因此，在做题中要尤其注意分辨判定与性质的区别.

接下来我们来探讨一道有关平行线判定与性质的综合试题，从而对此知识点加深理解.

例5 如图6，点E在BC上，点G、F分别在CB、AB的延长线上，BD平分∠CBA交AE于点H，交AC于点D，且∠DHE+∠HAG=180°，∠G=∠F.求证：EF∥DB.

分析 例5的综合性较强，以一道复杂的几何图形为载体，着重考查了三线八角的知识以及平行线的判定与性质.本题思路广泛，方法多样.解决这道题的关键在于先证明DB∥AG，再分析角之间的关系，最后根据平行线的判定定理使之得证.具体思路证法如下：

根据题设给出的条件这是由于∠DHE=∠AHB且∠DHE+∠HAG=180°，所以∠AHB+∠HAG=180°，故DB∥AG.

证法1 （利用“同位角相等，证明两直线平行”）由已知DB∥AG，可得∠DBE=∠G.又因为BD平分∠CBA，所以∠DBE=∠DBA，即∠DBA=∠G.又依题意∠G=∠F，所以∠DBA=∠F，所以DB∥EF.

证法2 （利用平行线的性质——传递性）根据已知DB∥AG，可得∠BAG=∠DBA，∠DBE=∠G.又因为∠DBE=∠DBA，所以∠BAG=∠G.又∠G=∠F，所以∠BAG=∠F，所以EF∥ AG.又DB∥AG，所以EF∥DB.

证法3 （先作辅助线再利用判定定理）如图7，延长DB至I，因为∠ABC=∠GBF，线段BD平分∠ABC，所以线段BI平分∠GBF，即∠IBG=∠IBF.由于DB∥AG，可得∠IBG=∠IBF=∠G.又因为∠G=∠F，所以∠IBF=∠F，由此得证DB∥EF.可以延长FE交CA于点K进行证明.

综上所述，例5，本题共有3个主要证法使得问题得到解决.本题的难点是找到合适的角与角之间的关系进而證明两直线的平行.证法1是结合本题图形特点直接探索角与角之间的关系——再分别利用“同位角相等”、“内错角相等”、“同旁内角互补”证明EF∥DB平行;证法2逻辑简单明了，只需证明DB和EF都平行于AG，再利用平行线的性质——传递性证明即可;证法3是适当地添加一条不同的辅助线进行证明，众所周知添加辅助线的题目往往比较难，因为需要考虑图形特征，故需具备一定的解题技巧和灵活度，对学生的解题思维有一定挑战.[3]以上证法思维难度层层递进，对于初中的学生来说是个锻炼深度思维，灵活多变的好题，学生们可以在思考具体问题的同时加深对三线八角和平行线性质与判定的认识.

总之，平行题型是平面几何题型中的重要组成部分，一道复杂的几何题目往往需要用到平行的知识，为此初中学生要对三线八角、平行线的性质与定理等相关知识点做到烂熟于心，并加强对相关题型的训练，对不同的题目学会归纳总结，提高逻辑思维和推理能力，为今后的平面和立体几何的学习打下夯实的基础.遇到一些复杂的尤其是需要添加辅助线的题目，有时会让人摸不着头脑不知道如何下手，实际上在日常的做题中通常需要一些基础图形作为载体，这些基础图形大部分都是从教材中大量的例题和习题中抽离出来的，很多复杂题目中的图形都是在这些常见基础图形上加工、引申、拓展而来的.在平面几何的学习中，同学们要熟练掌握常见的基本图形的主要结构，善于从复杂的几何图形中分离出基本图形，再结合相关基本定理即可得解.

参考文献：

[1]张巍.说明平行的四种常用方法[J].初中生必读，2014（11）：25-26.

[2]陈永.中位线定理的应用技巧[J]. 数理化学习（初中版），2014（09）：18.

[3]赵毅，刘刚.浅谈平行线的判定与性质在一道试题中的应用[J]. 中学数学杂志，2016（06）：57-59.