一类圆锥曲线定点定值问题的解法赏析

汤鑫嵘

【摘 要】 直线与圆锥曲线的位置关系是高考数学的考察重点， 其中定点与定值问题不仅是高频考点， 同时也是难点. 解决此类问题对学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养要求较高. 本文将对一类与斜率之和或积有关的定点定值问题的解法进行赏析， 通过一题多解，开拓学生解题思路， 提高学生解题效率.

【关键词】 圆锥曲线;定值问题;解法赏析

3 反思归纳

3.1 适用范围

特点是两条直线有公共点，且与圆锥曲线都相交，已知两直线的斜率之和或积为常数， 求证经过两个交点的直线l斜率为定值或直线l恒过定点的这类问题不仅可以用常规联立法还可以用平移齐次化法.

3.2 相较于常规解法， 平移齐次化的优势在于

（1）大大减少了计算量，减少学生计算出错的概率，提高学生得分率;（2）避免了讨论直线斜率是否存在的情况， 充分反映了高考命题的方向“多思少算”，完美体现了逻辑推理的数学素养. （3）是一种通法， 具有模式化的特点，易于操作的同时缓解了学生的计算焦虑情绪，提高学习解析几何的兴趣.

3.3 具体步骤

（1）平移坐标系使原点与两直线的公共点重合; （2）设平移后的直线为l：mx+ny=1; （3）将“1”代入椭圆方程构造出齐次方程; （4=4＼*roman） 转化成Ak2+Bk+C=0（A，B，C为常数）的形式;（5）根据韦达定理并结合已知写出直线l的方程; （6）将直线l恒过定点还原回原直线恒过定点.

解析几何定点定值问题思维难度大，计算量大，重点考察的是学生的逻辑思维能力，运算求解能力和数形结合思想.要想解决这一类问题应该“多思精算”，注重归纳适合一类问题的通性通法.平移齐次化这种方法针对文中"斜率的积或和"的题型适用，除2020年山东新高考数学卷第22题以外，2017年全国新高考数学Ⅰ卷理科第20题也是十分适用.通过文中的这则实例，我们可以感受到常规方法虽然容易想到，但计算量大.学生操作起来难度很大，即便有思路，得分率也很低.而平移齐次化这种方法就可以大大地简化计算也可避免讨论，只需要同学能识别这类题型，便可迎刃而解。这对教师的教学有一定的启示，提醒我们要注意总结题型以及解题方法.与此同时，也提示我们数学学习需要创新，学生应该养成勇于突破，打破陈规的精神.有关斜率的圆锥曲线定点、定值问题还存在许多推论，感兴趣的读者可进行进一步的推导.

参考文献：

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