用定解问题思想理解刚体“无滑滚动条件”

肖世发，张道清，全 军

（岭南师范学院物理科学与技术学院，广东 湛江 524048）

刚体力学是力学教学的重要内容之一，刚体力学理论是质点系力学理论的一种特殊情况。刚体力学内容包括刚体运动学和刚体动力学[1-2]。刚体运动学将刚体平动和定轴转动作为刚体的基本运动，刚体平面运动可视为刚体上某一点的运动和绕通过该点的轴的定轴转动合成，刚体的一般运动可视为点的运动和定点转动[3-4]的合成。刚体平面运动的动力学方程为质心运动定理和绕质心轴的定轴转动定理，其意义是刚体受力为主动力及主动力力矩（此时可将刚体看成孤立物体）时刚体运动遵循的动力学方程，求解刚体任意时刻的运动状态需附加刚体质心的初始位置和初始速度、刚体定轴转动的初始角位置和初始角速度（刚体运动的初始条件），比求解质点运动方程多了定轴转动的初始条件。但是，当刚体在支撑物上运动时，支撑物对刚体的影响不但体现为施加于刚体上的力或力矩（出现在刚体动力学方程中），而且限制刚体的运动，这种限制一般教材采用“约束条件”表示。比如刚体平面运动中的无滑滚动，一般教材直接运用科尼希定理+“无滑滚动条件”建立方程，无滑滚动条件是支撑物对刚体运动限制的数学表述。文献[1]中直接给出无滑滚动条件，对“无滑滚动条件”没有更多的物理解释，十多年的教学发现，学生对无滑滚动条件理解较难。主要有三种表现：（1）对“无滑滚动条件”的本质不清楚；（2）求解问题不根据实际情况滥用“无滑滚动条件”；（3）不利于培养学生从系统角度研究物理问题的思维方式。从而造成教学和学习的一个难点。

文中黑粗体符号表示矢量。

1 定解问题方法

刚体是有大小的系统，必有边界，根据定界问题思想，系统的演化需要范定方程、边界条件、初始条件共同确定。对于典型的无滑滚动问题，约束方程的本质是系统的边界条件。对于其他情况，约束方程本质也是边界条件。本文从教学的角度，深入研究无滑滚动问题，揭示“无滑滚动条件”的物理本质。

刚体平面运动时如果与其他物体接触发生无滑滚动，刚体平面运动的动力学方程为刚体质心运动定理和刚体对质心轴的转动定理：

其中F，Mz是刚体所受合外力及相对于质心的合外力矩在z轴的投影。将刚体作为一个系统，动力学方程式理解为系统运动的泛定方程[5]，“无滑滚动条件”作为刚体系统的边界条件，即为刚体边界与支撑物之间的运动约束条件，初始条件为质心运动的初始条件和定轴转动的初始条件。通过建立定解问题，求解定解问题的思路讲解无滑滚动，可以帮助学生理清思路，明确无滑滚动条件的物理本质是边界条件，为后期学习数学物理方法课程中的定解问题奠定物理基础。

定解问题思想处理刚体无滑滚动问题一般步骤如下：（1）受力分析；（2）描述系统的运动；（3）建立范定方程（动力学方程）；（4）给出刚体运动的边界条件及系统的其初始条件；（5）求解定解问题；（6）结果讨论。下面通过两个例题说明定解问题思想解题的思路。

2 无滑滚动例题

【例题一】

图1 刚体沿斜面无滑滚动

解：

（2）刚体平面运动：质心做直线运动，同时绕质心轴定轴转动。

（3）建立泛定方程：圆柱体平面运动满足科尼希定理（基本定律）：

（4）给出刚体运动的边界条件及其初始条件：系统的边界条件：圆柱体只有点（通过的线）与斜面相接触，无滑滚动表明圆柱体与斜面接触的点与斜面上的点对速度（线速度）和加速度（线加速度）相等，即，，斜面固定点的加速度，所以：

式是圆柱体运动的边界条件。圆柱体上点的线加速度与角加速度之间的关系为：，所以式表示的标量形式为：

即教材[1]中直接陈述的“无滑滚动条件”。式可看成边界条件。这是刚体“无滑滚动条件”的本质。

（5）定界问题求解：构成的圆柱体无滑滚动的定解问题，唯一解为：

（6）结果讨论：圆柱体质心匀加速下滑，并绕质心匀角加速度转动。

【例题二】

图2 圆柱体在滑板上的运动

解：

（1）受力分析：此系统包含圆柱体和滑板，对于圆柱体，受力分析见图2，受重力，支持力和摩擦；对于滑板，受重力，地面的支持力，压力和摩擦力，拉力，见图2。

（3）建立圆柱体运动的泛定方程：

所以圆柱体运动的边界条件为：

根据平面运动的圆柱体上任一点的线加速度与角加速度的关系，式可表示为式：

系统的初始条件为：

（5）求解定界问题：将式、式投影到坐标轴，解方程得圆柱体的质心加速度、角加速度，滑板的加速度为：

考虑式，运用匀加速直线运动及匀角加速度转动的运动公式，可求解圆柱体及其滑板的运动方程。

（6）结果讨论：式表明滑板和圆柱体质心都做匀加速直线运动，圆柱体角加速度恒定。

3 结语

研究对象视为质点时不考虑物体大小，所以不需要边界条件，将研究对象近似为刚体时，考虑了物体的大小，研究时需要考虑边界条件。学生求解刚体问题时乱用“无滑滚动条件”，其根本原因是不理解其本质所造成的。在教学中运用定解问题思想求解刚体运动的问题，一方面有利于学生对“无滑滚动条件”本质的理解，另一方面能避免“无滑滚动条件”的乱用，同时能为大一新生初步建立用定解问题思想研究物理问题的方法，为后续课程的学习奠定基础。