基于动态RBF代理模型与NSGA-Ⅱ算法的离心泵叶轮优化设计

张人会，刘锋，陈学炳，李仁年,2

(1. 兰州理工大学能源与动力工程学院，甘肃 兰州730050；2. 甘肃省流体机械及系统重点实验室，甘肃 兰州 730050)

离心泵广泛应用于石油、化工、电力、舰船以及航空航天等领域.由于离心泵流道几何形状与水力性能间的复杂的隐式关系，其扬程、效率及功率等互相联系，相互影响[1]，因此离心泵的优化设计属于多目标优化问题.目前常用的多目标进化算法主要有多目标遗传算法[2]、多目标粒子群算法[3]、非支配排序遗传算法[4]以及快速非支配解排序遗传算法[5],在多目标优化中均利用支配关系对个体进行排序，由不同的方法保持种群多样性，以达到对Pareto前沿的有效逼近，同时具有较强的全局搜索能力，已经被大量应用于流体机械的优化设计[6-8].在多目标优化过程中需要不断地预估各样本的目标函数值，而在流体机械的多目标优化中如采用CFD方法计算样本目标函数，则计算量太大，因此多采用代理模型方法.多目标优化中常用的代理模型有RBF神经网络代理模型[9]、多项式响应面代理模型、Kriging代理模型及BP神经网络代理模型等.朱国俊等[10]采用RBF神经网络代理模型与NSGA-Ⅱ算法对海流能水轮机叶片翼型进行了优化研究.王春林等[11]采用类似的算法分别对渣浆泵和高比转速混流泵叶轮进行了优化设计.KHALFALLAH等[12]分别采用RBF代理模型与NSGA-Ⅱ算法对离心式压缩机和螺旋轴流式油气混输泵叶轮进行了优化研究.ZHANG等[13]利用Kriging代理模型与NSGA-Ⅱ算法完成了对双吸离心泵的叶轮优化设计.

在传统多目标优化设计中，由于预测的子代样本逐渐远离初始训练样本集，因此代理模型的预测精度随着Pareto前沿不断向前推进将逐渐降低.为提升代理模型对前沿解的预测精度，文中提出将在每次产生的Pareto前沿非支配排序中较优的样本添加到RBF样本集中，并进行RBF动态模型训练，从而达到提升多目标优化目的.

1 数值计算

1.1 RBF神经网络及NSGA-Ⅱ基本原理

RBF神经网络具有3层前馈网络，包括输入层、隐含层和输出层，通过各样本的输入及输出参数拟合各隐含层系数，从而实现对输入/输出关系的构建，其表达式为

(1)

式中：F(X)为输出向量；X为输入向量；ωp为输出权矩阵；φ(‖X-Cp‖)为任一隐节点的激活函数，称为基函数；Cp为隐含层节点中心；P为隐含层节点数.

NSGA-Ⅱ算法具有计算简便、优化结果精度高等优点，其基本思想：随机产生规模为N的初始种群，在进行快速非支配排序后通过遗传算法的选择、交叉、变异3个基本操作得到第一代子代种群；从第二代开始，将父代种群与子代种群合并，进行快速非支配排序，同时对每个非支配层中的个体进行拥挤度计算，根据非支配关系以及个体的拥挤度选取合适的个体组成新的父代种群；再次通过遗传算法的基本操作产生新的子代种群；依此类推，直至收敛.

1.2 动态RBF优化策略

在利用RBF神经网络拟合离心泵流道几何参数与其性能参数之间的关系时，通常需要较多的样本进行训练，获得全局近似精度较高的RBF神经网络模型往往需要更大量的样本.

针对传统多目标优化方法中代理模型的预测精度随前沿解向前推进而逐渐降低的问题，提出了动态RBF代理模型优化方法，其流程图如图1所示.

图1 动态代理模型优化流程图

该优化策略的主要思想是先利用初始样本值构建RBF神经网络模型，将其作为NSGA-Ⅱ遗传算法第一代父代的评价函数，从第二次迭代产生的父代个体中选取最优的2个个体，将其添加到RBF训练样本中，更新RBF神经网络模型，提升其预测精度.然后利用更新后的RBF神经网络继续作为NSGA-Ⅱ新的评价函数，直至达到收敛条件.

1.3 计算模型

文中选取MH48-12.5型低比转数离心泵为研究对象，其设计性能参数分别为流量Qd=12.5 m3/h，扬程H=30.7 m，效率η=53%，转速n=2 900 r/min；几何参数分别为叶轮叶片包角θ=143°，进口安放角βb1=30°，出口安放角βb2=17°，叶轮出口宽度b2=6 mm，叶轮外径D2=165 mm.采用3次Bezier曲线对叶片型线进行参数化控制，在叶轮轴面不变的条件下，由Bezier曲线控制多边形的边AB及CD的斜率分别控制叶型进口安放角βb1及出口安放角βb2，由控制点D在其外径圆上的移动以控制叶片包角，如图2所示.

图2 叶片型线参数化控制

选择叶片进口安放角βb1、叶片出口安放角βb2及叶片包角θ为优化变量，优化目标为扬程和水力效率.在初始设计的基础上进行叶型优化分析，设计参数在原始设计的基础上扰动，得到各优化变量取值分别为24°≤βb1≤36°，10°≤βb2≤24°，122°≤θ≤164°.

训练样本的设计采用拉丁超立方抽样(LHS)，在控制参数的设计域内抽取40个样本点并进行CFD数值计算.文中所选模型流体计算域包括进口延伸段、叶轮、蜗壳和出口延伸段，样本采用RNGk-ε湍流模型、SIMPLEC耦合算法进行内流场分析.边界条件为速度进口、压力出口，壁面上满足无滑移条件.

1.4 网格无关性验证

为提高计算精度，对所有计算域采用六面体结构化网格进行划分，计算域及叶轮部分网格如图3所示.

图3 计算域及单个叶轮流道网格

对网格进行无关性验证，如图4所示.可以看出，在网格数N超过130万后，扬程及效率随网格数变化不明显，最终确定整个流体计算域网格总数为130万.

图4 网格无关性验证

1.5 数值模拟方法正确性验证

计算MH48-12.5型模型泵在0.6Qd，0.8Qd，1.0Qd，1.2Qd和1.4Qd等5个流量工况下的扬程和效率，并对其进行外特性试验，将试验结果与数值计算进行对比，如图5所示.

图5 泵外特性数值模拟与试验结果对比

由图5可以看出，在不同工况下，数值计算所得结果与试验结果变化趋势基本一致，且扬程误差最大为5.9%，效率误差最大为1.9%，满足数值计算的要求，这表明文中所采用的数值计算方法是正确的.

2 结果分析

2.1 Pareto前沿解

文中选取初始规模为100的种群，交叉概率和变异概率分别为0.9和0.1，经过300次遗传迭代进行寻优，使用初始40个抽样样本的CFD计算结果进行RBF训练.图6为动态与静态代理模型下对MH48-12.5型离心泵NSGA-Ⅱ算法多目标优化得到的Pareto最优前沿对比，其中设计A，C为动态代理模型优化后所得的Pareto前沿，设计A扬程最高，设计C水力效率最高；设计E，D为静态代理模型优化后所得的Pareto前沿，设计E扬程最高，设计D水力效率最高；设计B代表原始模型.

图6 动态、静态代理模型下的优化结果对比

由图6可以看出：动态、静态2种代理模型下都可以得到Pareto最优前沿，且2个Pareto前沿都光滑且连续地分布在一条整体呈凸形的曲线上，表明在2种代理模型下，NSGA-Ⅱ算法在样本空间内都有很强的逼近Pareto解的能力；动态代理模型与NSGA-Ⅱ算法所得到的Pareto前沿中Pareto解都优于静态代理模型方法所获得的Pareto解，静态代理模型方法获得Pareto前沿基本都被动态代理模型方法获得的前沿所支配，基于动态代理模型结果优于静态代理模型，动态代理模型与静态代理模型相比拥有更高的全局近似精度.

对比2种代理模型多目标优化结果，可以看出，静态优化策略水力效率最大值为78.79%，扬程最大值为33.28 m，而动态优化策略下的水力效率最大值为79.94%，扬程最大值为33.48 m.动态代理模型下得到扬程最大点比原始设计高2.98%，比静态代理模型高0.60%.动态代理模型优化得到的最高效率比原始设计的高5.28%，比静态模型优化得到的最高效率高1.46%.

根据优化结束时的Pareto解集文件，可以得到设计 A，C，E和D的进口安放角βb1，出口安放角βb2和叶轮叶片包角θ，如表1所示.

表1 优化设计A，C，E，D和原始设计B的设计参数

2.2 优化叶轮型线对比

根据上述4个设计对应的叶轮几何参数，由三次Bezier曲线型线控制方法可生成其对应的叶片型线，将Pareto前沿上各点与原始设计B的叶轮型线进行对比如图7所示.

图7 初始模型与优化模型的叶轮型线对比

由图7可以看出：水力效率最优设计C，D与原始设计B相比，叶片进口安放角βb1都有所增大，而叶片出口安放角βb2和叶片包角θ都有所减小；扬程最优设计A，E与B相比，叶片包角θ均减小，设计A进口安放角增大，而设计E安放角略有减小.

2.3 优化叶轮数值模拟结果对比

对设计A，C，D和E进行CFD数值计算，并与原型泵B进行对比，分析动态代理模型及静态代理模型的预测误差，结果如表2所示.表中εd，εs分别为动态代理模型及静态代理模型的预测误差.

表2 动态代理模型与静态模型预测精度对比

由表2可以看出：静态代理模型预测前沿解扬程最大误差为4.32%，水力效率最大误差为2.20%；动态代理模型预测各点相应扬程最大误差为0.88%，水力效率最大误差为2.11%，动态代理模型的预测精度整体优于静态代理模型.

动态代理模型扬程最高设计A的扬程比原始设计B高2.86%，比静态代理模型下的扬程最高设计E高1.03%；动态代理模型下得到水力效率最高设计C比原始设计B高4.36%，比静态模型方法效率最高设计D高1.32%.这与图6 Pareto前沿中趋势一致，进一步验证了动态代理模型多目标优化方法的可行性.根据图6所有的样本及Pareto前沿的分布，叶片型线变化对扬程的影响相对较小，约在1 m 的范围内扰动，但效率变化从75.2%到79.2%，提升约4%，因此叶片型线的扰动对离心泵效率的影响显著高于对扬程影响.

从优化结果看，相比原始设计B，设计A，C，D，E的叶片包角均减小，且扬程及效率均高于原始设计B.效率最高设计C与D相比，型线的变化主要体现在进口安放角增大，且均大于原始设计B，因此原始设计B进口安放角偏小；高扬程设计A与E的包角均较小，但设计A的进口角大于设计E的，因此设计A的效率高于设计E.

图8为2种优化模型下的效率最优设计C，D和扬程最优设计A，E与原始设计B的外特性曲线对比.

图8 2种优化模型下效率和扬程最优设计与原始模型外特性曲线对比

由图8a可以看出，效率最优设计C，D的曲线整体优于原始设计B，且设计C从小流量到大流量点各工况效率均高于设计D，设计C从小流量到设计流量的扬程均高于设计D.

由图8b可以看出，扬程最优设计A，E的曲线整体优于原始设计B，且设计A从小流量到大流量各工况点的扬程均高于设计E，设计A从小流量到设计流量各工况点的效率均高于设计E.

整体上，动态代理模型多目标优化方法得到的最优设计A，C分别优于静态代理模型方法得到的最优设计E，D.

3 结 论

1) 提出了一种基于动态RBF代理模型的离心泵叶轮多目标优化方法，优化算例结果表明提出的动态代理模型对Pareto前沿解的预测精度整体高于静态代理模型，基于动态代理模型的多目标优化方法可以获得比静态代理模型更优的Pareto前沿解.

2) 对MH48-12.5型离心泵进行多目标优化设计，动态代理模型下得到泵的扬程最大点比原始设计高2.86%，比静态模型高1.03%.动态代理模型下得到泵水力效率最高点比原始设计效率高4.36%，比静态模型高1.32%.动态代理模型多目标优化方法得到的扬程最优设计及效率最优设计的特性曲线整体上优于静态代理模型.

3) 由算例优化结果分析可知，原始设计叶片包角偏大，进口安放角偏小，叶片型线扰动对效率影响的显著性高于对扬程的影响.

4) 随着Pareto前沿逐渐向前推进，静态代理模型对其预测精度逐渐下降，提出的动态代理能够提高对其在前沿附近解的预测精度，从而能够提升其对前沿逼近的稳定性.