次可加函数序列纤维压的变分原理

王 威， 吴晶晶， 李 谦

(1.南通理工学院,江苏 南通 226002； 2.南京师范大学 数学科学学院,江苏 南京 210023)

熵和拓扑压是动力系统中的基本概念,遍历论经典教材[1]总结了Kolomogorov、Ruelle、Bowen等人的一系列成果,并证明了对应的变分原理.Downarowicz等[2]解决了紧致非度量空间中纤维熵3个条件变分原理,并验证了在一些紧致度量空间中也成立的结果.熵的研究一直是动力学的热点问题,对相关的熵的推广也是动力学研究的热点方向,文献[3—4]分别给出了条件熵和条件压及其应用,文献[5]给出了条件熵公式及公式的两个应用.文献[6]对给定的两个可容许群作用之间的因子映射引入了拓扑条件熵和纤维熵的概念，并证明了条件熵和纤维熵的3个变分原理.文献[7]利用紧致化方法建立了任意拓扑空间上的拓扑压，并证明了相关性质.文献[8—9]讨论了次可加函数拓扑压的变分原理并给出了双序列的次可加遍历定理.文献[10—11]对熵的局部化和熵对作了分析.文献[12—15]在熵的局部化方面作了一系列研究.本文主要在文献[12,13,16]的基础上对相关的熵进行推广.

1 基本概念

假设(X,T),(Y,S)是两个TDS.T:X→X,S:Y→Y是连续映射,若存在连续满射π:X→Y,使得π∘T=S∘π,则称π为因子映射.

对γ∈CX,设C是由γ生成的 Borel 分割,令P*(γ)={β∈PX:γ≼β且β的每个元素都是C的一些元素的并}，易知P*(γ)是有限集.

再令

称之为对给定因子系统(Y,S)的G的拓扑条件压.

其中:U′是由X的开子集组成的有限集族, 且满足π-1(y)⊂∪U′和Un≼U′.定义对给定y的相对于U的G的拓扑纤维压:

取μ∈M(X,T)，记G*(μ)为下列极限：

对υ∈M(Y,S),定义对任意给定的υ相对于U的G的拓扑纤维压为

2 主要结论及其证明

max{hμ(T,U|Y)+G*(μ):

μ∈M(X,T)}=P(T,G,U|υ),

其中hμ(T,U|Y)为测度条件熵，具体的定义和性质见文献[12].

hμ(T,γ|Y)+G*(μ)≤P(T,G,γ|υ).

则γ≼ϑ.对∀i=1,2,…,s，若y∈Bi，则Hμy(ϑ)=

Hμy(αi)=Hμy(γ).因此

Hμy(γ|Y)≤Hμ(ϑ|π-1B(Y))=

断言1得证

对∀n∈N,y∈Y，由文献[13]引理2.1知,存在βy∈P*(γn)使得

由断言1可得

hn(T,γ|Y)+G*(μ)=

对任意B∈βy,y∈Y，满足B∩π-1(y)≠∅，令K(B,y)=sup{gn(x):x∈B∩π-1(y)}，则

由文献[1]引理9.9以及γn≼βy得

因此

至此命题1得证.

证明设U={U1,U2,…,Us}, 定义

U*={α∈PX:α={A1,A2,…,As},Ai⊂Ui,i=1,2,…,s}.

因为X是零维空间, 此时X的既开又闭的子集的全体为可数集且它们构成了X的一组可数基.这样U*中由既开又闭的子集构成的分割的全体是一个可数集, 用{αl:l≥1}表示该可数集的一个枚举.

设n∈N，由文献[13]引理4.4知,存在有限子集Bn⊂π-1(y), 使得

(1)

并且对1≤l≤n,(αl)n的每个原子至多包含了Bn中的一个点.

其中Sj={0,1,2,…,j-1,j+S(j)q,j+S(j)q+1,…,n-1}且cardSj≤2q.所以

对j从0到q=1求和, 得

q[logPn(T,G,U|y)-logn]≤

qμn(gn)+2q2logS.

因为H{·}((αl)q|π-1B(Y))在M(X)上是凹函数，所以

Hμn((αl)q|π-1B(Y)).

因此

(2)

因为αl是既开又闭的分割,所以由文献[12]引理3.3知H{·}((αl)q|π-1B(Y))在M(X)上是上半连续的. 在(2)式中,用nj代替n,再令j→∞,可得

qP(T,G,U|υ)≤

qG*(μ)+Hμ((αl)n|π-1B(Y)).

(3)

给(3)式的两边同除以q且令q→∞, 得

P(T,G,U|υ)=G*(μ)+Hμ(T,αl|Y).

再由文献[15]引理2可知

从而可得

P(T,G,U|y)≤G*(μ)+hμ(T,U|Y).

G*(μ)+hμ(T,U|Y)≥P(T,G,U|y).

证明假设υ∈Me(Y,S),则υ-a.e.是υ的生成点. 因此, 可找到υ的生成点y0∈Y使得

P(T,G,U|y0)≥

由命题2知,存在μ∈M(X,T)满足π∘μ=υ,使得

hμ(T,U|Y)+G*(μ)≥

P(T,G,U|y0)≥P(T,G,U|υ).

F(λ)=sup{hζ(T,U|Y)+G*(ζ):

ζ∈M(X,T),π∘ζ=λ,∀λ∈M(Y,S)}，

则

P(T,G,U|υ).

(4)

断言2F(·)在M(Y,S)上是上半连续的有界凹函数.

因为αl是X的既开又闭的分割,由文献[12]引理3.3知∀l≥1,h{g}(T,αl|Y)在M(X,T)上是上半连续的, 从而h{g}(T,U|Y)在M(X,T)上也是上半连续的. 由文献[1]引理9.9易知h{g}(T,U|Y)是仿射的.由此证得F是上半连续的有界凹函数.

由断言2及(4)式得

因为h{g}(T,U|Y)在M(X,T)上也是上半连续的，所以存在μ∈M(X,T) 满足π∘μ=υ,使得

G*(μ)+hμ(T,U|Y)≥P(T,G,U|υ).

定理1的证明假设G*(μ)>-∞.由命题1知, ∀μ∈M(X,T)满足π∘μ=υ,有

hμ(T,U|Y)+G*(μ)≤P(T,G,U|υ).

根据文献[11]和文献[13]的方法, 构造一可逆的零维动力系统(Z,R)和因子映射χ:(Z,R)→(X,T),进而由文献[12]引理3.1和命题2.3知, 存在ω∈M(Z,R),满足ω∘(π∘χ)=υ使得

hω(R,x-1(U)|Y)+G∘χ(ω)≥

P(R,G∘χ,χ-1(U)|υ)=

因此, 对β∈PZ满足x-1(U)≼β，有

hω(R,β|Y)+G∘χ(ω)≥P(T,G,U|υ).

设μ=χ∘ω,则μ∈M(X,T)满足π∘μ=υ,对α∈PX,U≼α,有χ-1α∈PXχ-1(U)≼χ-1(α).再由文献[12]引理3.1得

hμ(T,α|Y)+G*(μ)=

hω(R,x-1(α)|Y)+G∘x(ω)≥

P(R,G,U|υ)，

从而

hμ(T,U|Y)+G*(μ)≥P(T,G,U|υ).

若G*(μ)=-∞, 则由命题1得P(R,G,U|υ)≥-∞，而由命题3得P(R,G,U|υ)≤-∞.

至此, 完成了定理1的证明.

证明由文献[16] 和定理1 可以证明.

hμ(T,U|Y)+G*(μ)=P(T,G,U|Y).

因此, 存在θ∈M(X,T), 使得

hθ(T,U|Y)+G*(θ)≥P(T,G,U|Y).

从而由命题1得

P(T,G,U|Y)=

P(T,G,X|υ)=

sup{hμ(T,X|Y)+G*(μ):