二维线性谐振子在不同坐标下的研究

2022-07-18郑兴荣高晓红

宁夏大学学报（自然科学版） 2022年2期

杨伟，张杰，郑兴荣，高晓红，张郃

(陇东学院电气工程学院，甘肃庆阳 745000)

量子力学作为现代物理学的基础和核心理论课程，是研究微观粒子运动规律的物理学分支学科[1—2].它阐述了物质的波粒二象性，以及能量与物质的相互作用，是现代学科领域的基础，如大数据、生物科学、通信工程、电力电子、自动化和量子通信等[3—7].谐振子作为量子力学中最重要的模型之一，它的研究对于量子理论，乃至微观世界的探索至关重要.谐振子运动及其相关特性的研究, 无论在理论上还是应用上都具有重要意义.近些年，许多研究者对谐振子及其特性的大量研究趋于活跃[8—17]，并且取得了一些成果，尤其是一维线性谐振子.而二维各向同性谐振子是谐振子模型中较具代表性的模型之一, 也是量子力学中的重要模型之一, 因此，谐振子及其模型的研究具有重要意义.要正确深入研究此模型, 必须分析其基态能量和波函数.

本文从两种不同的角度对此问题进行了探讨与研究, 即选用不同的坐标系(直角坐标系和极坐标系), 采用两种不同的方法(理论推导法和仿真模拟法)计算了二维各向同性谐振子的基态能量、波函数和概率密度,并对其特性做了可视化的研究与分析，包括二维谐振子的三维图形、等高线、伪真彩图.这种不同角度、不同思路的研究更有助于对抽象概念的理解与掌握.

1 研究方法及推导过程

1.1 量子力学中的二维线性谐振子

根据一维线性谐振子的原理[7—12]，结合二维线性谐振子理论[16,18—19]，分别在直角坐标和极坐标下进行讨论.

1.1.1直角坐标系下的二维线性谐振子二维线性谐振子的势能函数为U=ω2(x2+y2)/2时，体系中定态薛定谔方程为

(1)

根据分离变量法ψ(x,y)=φ(x)φ(y)[15]，得到二维谐振子的波函数为

(2)

式中:体系的能量E=(nx+ny+1)hω;Nnx,Nny为归一化系数，选择自然单位h=μ=ω=1(则有α=1)，其表述为

(3)

Hnx(x)，Hny(y)为Hermitian多项式，表达式为

(4)

因此，根据归一化条件，可得粒子在dτ中出现的概率

Pdτ=|Ψ|2dτ,

(5)

式中：|Ψ|2=Ψ*Ψ称为粒子空间分布的概率密度；Ψ*表示Ψ的共轭复数.

1.1.2极坐标系下的二维线性谐振子在极坐标系下，体系的定态薛定谔方程为

(6)

在自然单位(h=μ=ω=1)的情况下，利用分离变量法求解.通过对r→0和r→∞两种特殊情况进行研究[16—17]，结合归一性，得到径向波函数

(7)

式中：Nnr,m为归一化系数，其表达式为

(8)

F(-nr,|m|+1,r2)为合流超几何函数，即

(9)

则波函数的表达式为

[sin(mφ)+cos(mφ)].

(10)

同理，根据归一化性质，得到粒子在dτ中出现的概率

Pdτ=|Ψ|2dτ.

(11)

2 仿真结果与讨论

2.1 直角坐标系下的数值仿真

根据(2)～(4)式，采用MATLAB软件，绘制直角坐标系下不同粒子数，不同能级下二维线性谐振子的波函数仿真图，得到了9种直角坐标系下的波函数网格图(图1).同时，结合二维谐振子的理论推导，得到了9种波函数图对应的9个波函数概率密度分布图(图2).

图1 直角坐标系下波函数的仿真

图2 直角坐标系下的波函数概率密度分布

结合理论推导，由图1和图2可以得到：在直角坐标系中，二维线性谐振子的简并度为nx+ny+1，对应的能量本征值为hω(nx+ny+1)；但在nx+ny=0时，其对应的基态波函数无简并，如图1a的nx=0,ny=0；波函数与Ψ=0平面的交线数为nx+ny.一般情况下，二维线性谐振子的概率密度分布的极大值个数为(nx+1)(ny+1).图1和图2的结果和理论结果完全符合[13,18—20]，很好地反映了直角坐标系下波函数及其概率密度的特性.

2.2 极坐标系下的数值仿真

根据二维线性谐振子在极坐标系下的理论推导，结合MATLAB软件，得到了极坐标系下二维线性谐振子波函数和概率密度的仿真图(图3和图4).

由图3和图4可以得到：极坐标系下，除特殊情况nr=0, |m|=0外，二维线性谐振子的简并度为2nr+|m|+1，对应的能量本征值为hω(2nr+|m|+1)；波函数与平面Ψ=0的交线数为2nr+|m|.在nr=0的情况下，概率密度分布的极大值个数为2|m|.图3和图4的结果和理论结果完全符合[16,21]，很好地反映了极坐标系下波函数及其概率密度的特性.