高中数学竞赛中的最值问题

王俏敏 林梦雷

最值问题一直是高中数学的重要内容之一，也是近年高考和高中竞赛的热点难点问题，它技巧性、综合性强，本文探究并总结2020年全国高中数学竞赛中的最值问题类型以及相应的求解方法，以飨读者.

2不等式中的最值问题

2.1基本不等式中的最值问题

基本不等式中的最值问题是高中数学经常出现的题型，主要包括单变量、多变量的最值问题.对于基本不等式求最值问题的解题方法比较灵活，拼凑法、代换法、还原法等是常用的解题方法.

2.2 柯西不等式中的最值问题

柯西不等式在数学高考或竞赛中常常出现，若是在有限制条件的多元最值问题中求“和式”的最值问题，可以联想到柯西不等式法求解最值或拉格朗日乘数法求条件极值，再验证极值是否为最值.

3 数列的最值问题

3.1 数列中的恒成立问题

数列中的恒成立问题是高考或竞赛考题中经常涉及到的考点之一，通常可以利用放缩法证明不等式恒成立.由于数列是一类特殊的函数，具有自身的特性，也具有函数的性质和特点，因此，对于数列中的恒成立问题，可以将数列看作为函数，再根据函数的不等式恒成立的方法证明.

4 解析几何中的最值问题

4.1 利用代数法求解最值

代数法，即由题目的已知条件挖掘并构造关于变量的等式或不等式来解决问题.该方法的关键是建立不等式或目标函数求解最值，

分析求解三角形面积的最值一般是弦长为三角形的底边，点到直线的距离为高，再运用三角形的面积公式建立目标函数或建立不等式求解最值.

5 复数中的最值问题

复数中的最值型问题主要是复数模的最值，解决这类问题往往是利用复数模的性质、共轭复数的性质以及复数的几何意义等来解题，下面介绍高中竞赛题中求解此类问题的典型常用方法.

5.4 借助数形结合求最值

分析复数乘除运算的几何意义是数形结合的点之一，利用复数的几何意义解题是数形结合思想的重要体现.本题借助复数除法的几何意义以及复数模的幾何意义，运用数形结合的思想进行求解.

综上，本文主要介绍了高中数学竞赛中几大类型的最值问题，说明了高中数学竞赛最值问题是“有法可依”的，绝大多数最值问题能够找到解题通法，掌握这些解题通法，方可解决最值问题.

参考文献

[1]穆武净彤，高考数学中的最值问题[J].中学生理科应试，2019：6-9

[2]陈文明，复数中有关最值问题若干解题途径[J].中学数学教学，1994（5）：15 -17