素养导向指引下例谈平面向量参数线性运算问题的解题策略

江智如 应丽珍 周海娟

向量是沟通代数、几何与三角的重要工具，兼具代数的严谨抽象、几何的直观理性，是许多知识的交汇点，有着丰富的应用范围[1]，是高中数学知识的重难点之一，是高考与各类模拟竞赛的必考内容，整理近年全国高考与模拟卷，向量主要以选填题形式出现，考查数量积性质与坐标运算，求解此类问题，考生一要准确记忆公式，二要准确运算，方能直捣黄龙，一举破题.在复习备考时，教师可以基于课程标准（2017年版2020年修订）[2]和《中国高考评价体系》[3]的理念与要求，适当提高训练难度，系统讲授奔驰定理、等和线、極化恒等式等进阶知识，帮助考生加强对向量知识的理解与掌握，提高考生的“四基”、“四能”，促进数学学科素养的提升.

1 试题呈现

2020年全国高中数学联赛（四川预赛）第1题：设AABC的外接圆的圆心为O，且30A +40B+50C=0，则∠C的大小是____.

2试题分析

本试题以平面向量线性运算为载体，考查三角形外接圆、平面向量加法性质等相关知识，考生从几何与代数两个角度入手，通过数学阅读，解读试题的图形信息，理解与掌握平面向量数量积与圆的知识结论，建立形与数的联系，把问题转化为圆心角与圆周角关系求出∠C.考查数形结合思想与运算求解能力.本文对条件30A+ 40B+ 50C=0进行推广，在素养导向指引下，探究xOA+ yOB+ zOC：0这一类平面向量参数线性运算问题的解题策略.

3概念界定

4.1.1方法归纳：初识定理本质——从数学抽象到直观想象

“奔驰定理”的本质是三角形的相似比关系，主要出现在与三角形面积相关的题型中，应用的关键是根据平面向量的三角形运算法则，把已知向量关系式化简为向量OA， OB， OC的线性表达式，其中OA， OB， OC的系数就是对应三角形的面积，再根据问题进一步探寻解题之道.考生可根据“奔驰定理”公式的对称性特点熟记定理，依据“一拆二化三对应”思路，灵活运用公式，得到对应三角形的面积，最终顺利解决问题.

评价“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”.解析1从三角形重心入手，通过系数的配平，利用平面向量运算法则，确定点P，Q位置，然后运用相似比关系得到面积比结果.需要考生理解平面向量平行四边形法则和共线定理的几何性质，把代数问题几何化，考查考生数形结合思想、运算求解能力.解析2直接根据奔驰定理得到APAB的面积比值，体现奔驰定理的技巧性，为学有余力的考生提供进一步学习的平台，践行新课标“学生发展为本，提升素养”基本理念[2].

4.2三角形“四心”问题

三角形的“四心”是指重心、内心、外心、垂心.虽然具有不同的几何性质，但它们有相似的平面向量表达式[4]，是“奔驰定理”的推广，体现数学的和谐统一之美：

4.2.1方法归纳：感知四心概念——从直观想象到数学抽象

三角形“四心”的平面向量表达式区别在于系数的几何意义不同，考生应从系数的对称性及几何性质熟记公式，把已知条件转化为表达式的标准形式，再根据对应公式确定点O的位置，画出图象，探寻解题的思路与方向，依据“一化二定三画图”步骤，运用数形结合思想求解问题.

4.3.1方法归纳感悟数形结合——从直观想象到数学运算

等和线问题是平面向量基本定理和共线定理的推广，可以根据3个共起点向量的系数x，y之间量的关系，把系数x，y转化为x/k+y/k =1，确定过点P与AB平行或重合的直线，运用共线定理探寻解题的思路与方法，即“一化二比三共线”，利用向量运算法则得出结果.

4.3.2方法应用

题4著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O，H分别是AABC的外心、垂心，且M为BC中点，则（

）.

评价“千磨万击还坚韧，任尔东西南北风”.欧拉线定理揭示了三角形外心、重心、垂心之间的几何关系，体现数学和谐统一美，由数学家欧拉在1765年提出，可从相似比关系和向量共线两方向证明.本试题依托欧拉线定理背景材料，考查平面向量运算法则、三角形重心性质及等和线性质等知识内容，对考生的向量基础知识水平要求较高，同时在求解的过程中让考生感受数学文化的熏陶，体验数学美，在“润物细无声”[5]中提升数学学科素养.

4.4极化恒等式问题

4.4.1方法归纳形成理性思考——从逻辑推理到数学运算

极化恒等式是向量数量积的推广应用，通过平行四边形法则和三角形法则，利用坐标法、三角换元法等方法转化为函数问题，借助向量模求解，考查化归与转化思想、运算求解能力.考生通过加强数量积运算及坐标运算的理解与掌握，牢记模长问题中开方思路，细心计算方可迎刃而解，在思考的过程渗透对考生逻辑推理、数学运算素养的培养.的意义，然后结合垂直关系，建立坐标系，把数量积最值问题转化为坐标运算求解，考查数学阅读能力和推理论证能力.由于考生对向量的坐标运算容易理解掌握，因此教师可加强对向量坐标法与单位化等知识的训练，提高考生化归转化思想，培养考生创新意识和创新思维，提升数学学科综合素养.

5探究总结

波利亚（Polya）认为，中学数学教育的根本目的是“教会学生思考”.“教会学生思考”意味着数学教师不只是传授知识，还应努力发展学生运用所学知识的能力，应该强调技能、技巧、有益的思考方式和理想的思维习惯.教师在教学时，要遵循学习过程的三个原则：主动学习，最佳动机，循序渐进[6].本文从四个问题角度探寻xOA +yOB+ zOC=o的解题策略，核心是探究系数x，y，z之间的代数性质与几何意义的联系，引导考生通过有效的数学阅读，利用直观思维抓住问题的本质，在剖析向量参数问题本质的基础上，根据系数的性质意义追求简洁的解题方法，力求解法来源于教材和已学知识，又高于已有知识，体现考生数学功底及继续学习的潜能.在日常的教学实践中，教师应加强逻辑推理能力和数形结合思想的训练，设置有效的“精致练习”[7]，培养学生独立思考的习惯，注重学科能力和素养的提升，促进教、学、考的有机统一，助力学生的全面发展[3]，让学生在“润物细无声”中学会应用数学思想与方法解决实际问题[5].

参考文献

[1]扛智如，基于ACT-R理论的高中向量教学实验研究[D].福州：福建师范大学，2017

[2]中华人民共和国教育部制定，普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018

[3]教育部考试中心，中国高考评价体系说明[M].北京：人民教育出版社，2019

[4]周亚军，平面向量表示下的三角形”四心”[J].高中数学教与学， 2018 （8）：16-17

[5]江智如.利用图象法刍议函数整数解问题的解题策略[J].中学数学研究（华南师范大学版）， 2019 （4）：10-13

[6]张奠宙，宋乃庆，数学教育概论（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009

[7]江智如，高中平面向量教学中的“精致练习”[J]，福建中学数学， 2016 （1）：16-19