浅议平面向量思想方法的落实设计

摘 要：向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁。本文结合实际教学案例，阐述在教学中如何落实平面向量的基本思想和方法，突出几何直观与代数运算之间的融合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。

关键词：平面向量;代数法;几何法;坐标法;数形结合

2018年，高中数学进入了“新课程”教学。《新课程标准》（以下简称《标准》）提出：数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力和情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。基于高中数学课程性质和教育价值，数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立又相互交融，是一个有机的整体。

我们发现，新修订的课程方案和标准聚焦学生核心素养，其中课程目标与内容、实施与评价等都发生了深刻的变化。新修订的标准中，学科核心素养的凝练与水平的划分、学业质量标准功能的定位，使高中课程与新高考的要求实现了内在的一致。这就要求教学既要凸显核心素养的培养，又要符合高考改革的关键变化。面对新修订的课程和新高考即将大范围推进的挑战，“新教学、新学习”的探索变得尤其迫切和重要。

《标准》中核心素养的提出指向了一件事情，即关于培养人的问题的研究。作为教师，思考探索教育教学的新路径、新形式、新方法成了迫在眉睫和势在必行的事。面对瞬息万变的信息化时代，教育教学不仅从真实中来，还要回到真实中去，要打通学校教育和真实世界的路径，真真正正做到为了学生的发展，不仅要考虑今天学生在学校所学的知识，更要考虑他们未来解决问题的能力，也就是“超越学校价值”的知识成果。正因为如此，学生的学习，不应该是被动地去接纳外在知识的灌输，也不是从实践开始的盲目试误，而是通过主动的、有目的的活动，对人类已有认识成果及其过程的学习与体验。它需要学生全身心地投入，真正成为教学活动的主体。因此，教学中，教师需要改变以讲授知识点为立场的教学设计范式，应该以培养学生学科核心素养为纲，尊重学科逻辑体系，基于《标准》的目标要求，充分考虑大观念和关键能力，在规定的时间内，设计组织教学内容和活动，强调教学过程的关键环节，明确评价目标和方法，从而实现以素养为本的教学设计。本文通过对学生课堂活动的设计，来实现向量思想方法的落实。

“几何与代数”是高中数学课程的主线之一。无论在必修课程还是选择性必修课程中，均突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。向量是近代数学的基本概念之一，是一种重要的数学工具。向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。向量既有代数形式，又有几何形式，还有坐标形式，是沟通几何和代数的桥梁。向量是描述直线、曲线、平面、曲面，以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在实际生活与学习中发挥重要作用。

在教学中，学生对向量的多重“身份”——代数形式、几何形式与坐标形式的理解和认识有个逐步建立的过程。在向量基本概念和基本运算的学习过程中，学习建立了对向量“多重身份”的初步认识。本文的设计是在向量基本概念研究完成后，通过创设具体的题目情境，与学生一起探究向量的不同角度的研究方法，让学生经历将代数、几何、坐标等方法结合起来解题的过程，加强对向量思想方法的理解，触发学生对向量代数、几何和坐标特征的关注与思考，感受几何直观和代数运算之间的融合。同时达到学生对数学知识之间的关联、多种方法内在的联系的深刻认识，提高数学素养。

一、多角度研究的初步体验

我们先选一个结构简单，比较容易入手的例题，学生可以通过研讨生成多种基本的方法。

已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，求的最大值。

我们知道，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，但在选取基底时，应尽量使用有利于解决问题的基底。借助平面向量基本定理，可以将平面内任意多个向量的问题转换为两个特定的不共线向量的问题，这样就将问题大大地简化。这也是我们要学习平面向量基本定理的原因之一。本題有很好的一组基底，，可用这组基底线性表示，所以便可转化为基底之间的运算，即：

设，则.

所以的最大值为1.

利用向量的坐标求向量的数量积是一种常用的方法，在运算时，如果建立适当的坐标系，就可以大大地简化运算，同理，向量的长度、距离，以及向量之间的夹角都可以利用向量的数量积的坐标运算得解。对学生而言，什么时候可以使用向量的坐标法是一个难点。其实选择的主要依据，就是看题目，以及已知的条件是否适合建立合适的平面直角坐标系。当然，很容易观察到本题有一组现成的标准正交基底，所以建立平面直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算也非常便捷。

平面向量的数量积运算是向量之间的一种特殊的运算，不同于向量的加、减、数乘运算的结果仍是向量，数量积的运算结果是数量。这部分知识对于学生而言是相对抽象的，并不好理解与接受。在实际教学中，需要借助功的定义，帮助学生理解向量的数量积运算来源于物理学知识，在实际生活中，向量这种运算是存在着的。向量的投影及其数量是充分体现行的几何身份的知识，是解决向量相关问题所特有的工具[1]。本题可以结合平面向量的数量积的几何意义得到为在方向投影的数量与模长之积，解法直观形象，一目了然。

通过上面的探索，学生会发现，同一道向量题目，入手点不同，可以得到不同的解题路径。

二、经验验证与能力提升

例：若非零向量满足，则以下说法正确的是_____________。

①   ②

③   ④

受到引例的启发，本题学生可以从以下不同角度进行尝试：

（一）代数方法

由，等式两边同时平方，可得：，即.

欲考查与的大小关系，只需考查与0的关系。由，易得.因题目中没有给出与的关系，所以与的大小无法判断。

同理，

，所以可得：.

所以本题答案为③。从上述过程中可以得到，用代数方法解决向量问题，代数运算是很好的入手点，通过向量运算的代数恒等变形，可以得到一些代数形式的条件，这些条件为问题的解决提供支撑。

（二）坐标方法

设，则由可得：，所以，因题目未给出关于与的信息，所以与的大小无法判断。

同理，

，所以可得：.

由此可得本题答案为③。坐标方法解决本题的最大障碍在于由于引入未知数个数较多（三个），学生选择此法的信心不足。但通过解题过程，学生会感受到坐标的运算带来变量的迭代，在此过程中变量过多的问题也得到了解决。

（三）几何方法

本题目的主要条件是，当不共线的时候，我们从向量加法的定义，可以将与画在一个等腰三角形中。根据模长的不同情况，画图可得与的大小无法判断，而一定成立。

事实上，我们可以证明，所以是直角边，而是斜边，所以.

当共线的时候，上述结论也成立，故本题答案为③。

此法中，能根据平面向量加法法则画出图形是关键，但得到正确答案还需过一关：画出所有可能的情况。如果只画出一种情况，就可能得到片面的结论。由此可见，几何法也有一定的局限性：它较大程度依赖于作图，而作图有可能会过于主观，有失客观性，使得结论不够全面。

这三种解法的入手角度不同，各有特点，学生通过研讨，会进一步加深对向量基本思想方法的理解。另外，我们注意到，每种方法虽然入手角度不同，解决路径不同，但所有的方法实质上都是统一的。通过对这道题目的多角度、多维度的研究，学生再一次体会到向量的代数、几何及坐标方法在具体题目情境中的使用。通过不同方法之间的对比与参照，初步感受数学知识之间的联系[2]。

三、综合巩固与能力再提升

此模块设计用于巩固上面得到的方法，让学生进一步感受三种方法的不同，在每种方法的使用过程中充分感受向量的核心思想方法，同时能够形成选择合适方法的经验。

练习1：在中，，，，求.

这道题可以尝试代数法、坐标法和几何法。我们知道，向量的代数法主要依赖于代数变形和代数运算，而这些的实现往往方式繁多，很容易陷入一系列毫无头绪的代数变形，导致解题目标不明确，效率低下。本题意在让学生再次体会在向量的代数运算中，选择一组基底能够让向量的运算更简明高效。本题有一组比较好的基底：，所求向量均可用这组基底表示。则即为基底的运算。

因为，，所以建系引入坐标，把转化为坐标运算也是很自然的想法。可以借助本题让学生体会几种不同的建系方式，进而形成自己的经验。

事实上，也可以尝试找到的几何意义，即在方向的投影的数量与的乘积。但因为几何意义不是太明显，还需要通过解三角形求一些基本量，运算量不小。即便如此，作为一种方法，让学生通过思考比较，做出方法的取舍，通过反思，将经验内化为能力与思想，建立很好的数学感觉。

练习2：在中，，

，则_______。

1.首先，對于代数法，有了前面题的代数解法中对基底的认识，这道题选择作为基底解题会比较顺利。

2.这道题的几何解法最为简洁，即先求在方向上投影的数量。由相似于，所以可求出，，所以。对数量积几何意义掌握比较好的一部分同学可以想到这种方法。可利用此题强化对向量几何意义的关注。

3.因为有现成的直角，也可以尝试建系。这种想法在执行初期最大的障碍是未知量个数较多带来的。让学生经历坐标法解题的过程，感受到有的未知数会在坐标运算中消除，进而形成经验。

练习3：已知向量是单位向量，，对任意，恒有，则以下说法正确的是（）。

A.      B.

C.  D.

本题目是以纯向量形式给出的，学生在寻找几何关系的时候就能体会到向量是自由向量这一特征。这道题目最巧的入手点是几何特征，学生需要将代数关系“对任意，恒有”转化为动态的几何情境。这是本题几何法最难也是最巧的地方。

本题目也可以采用代数方法：将这一模长不等式转化为，进而转化为关于的二次函数这一纯代数问题解决。选择这一方法的学生应该比较多。

坐标法也是本题可以尝试使用的方法，预计学生不会轻易尝试，主要原因还是变量个数较多，但有上一道题的经验作为支撑，可以鼓励学生进行尝试。变量的个数可以通过建系巧妙减少，此处可以与学生讨论建系的几种方式，让学生通过实践形成经验。

结束语

以上是对平面向量的思想方法的落实的一个基本设计，我们通过设计教学活动，让学生在实践中感悟。当然，思想方法的落实是个长期的工作，不可能一蹴而就。在之后的解析几何、空间向量等模块我们将继续在具体情境中与学生一起感受向量的多重身份、多种研究角度，以及它在联系代数与几何中所发挥的不可替代的作用。我们高中数学研究的对象可以分为数与形两大部分，数与形是相互联系的，这种相互联系称之为数形结合。它的应用，分为两个方面，一个是借助数的准确性来研究形的某种属性，另一个是借助形的直观，研究数之间的某些关系。数形结合是高中学生的一个基本数学能力，也是我们充分感受数学的魅力和力量的载体。我们在教学中要善于利用这些题目，让学生体会数与形的和谐统一。

参考文献

[1]尹晓宇.用思维导图促进学生深度学习：以《平面向量数量积解题策略》复习为例[J].中学教学参考.2021（5）.

[2]张艳萍.深剖观向量，多思谋题法：对2020年江苏高考平面向量问题的解法探究[J].数学教学通讯.2020（36）.

作者简介：段英华（1982— ），女，汉族，山西平遥人，北京市十一学校，一级教师，博士。研究方向：应用数学。