二阶非线性中立型阻尼微分方程的振动定理

曾云辉, 罗李平, 俞元洪, 罗慧慧

(1. 衡阳师范学院 数学与统计学院, 湖南 衡阳 421002; 2.中国科学院 数学与系统科学研究院, 北京 100190;3. 衡阳师范学院南岳学院 数学与计算科学系， 湖南 衡阳 421008)

起源于偏微分方程的Emden-Fowler型泛函微分方程在科学理论研究和工程技术应用中发挥着重要作用，带有阻尼项的二阶中立型Emden-Fowler方程更为广泛，已被应用在天体物理，气体动力学，高速计算机无损传输，智能机器人设计和神经动力系统理论与工程等高新技术领域中[1-3]。

考虑二阶中立型非线性阻尼微分方程

(a(t)φα(z′(t)))′+b(t)φα(z′(t))+

q(t)φβ(x(σ(t)))=0

(1)

其中t≥t0,a(t),b(t),p(t),q(t),τ(t),σ(t)∈C([t0,∞),R)，且

z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))

(2)

(3)

本文总假设下列条件成立：

(C1)a(t)>0，a′(t)+b(t)≥0,q(t)≥0，q(t)不恒等于0；

近年来，二阶中立型微分方程解的振动性研究受到广泛关注，取得了许多重要结果。例如，可以参看文献[4-25]及其引文。但是，我们注意到其中大多数文献的振动结果是关于无阻尼方程的，而对于阻尼方程的振动结果较少。我们可参看文献[6]，[10]和[20]。而且，这些结果是在方程中立项系数p(t)满足有界的条件下得到的，此意味着上述文献中的振动定理不能应用于当t→∞时，p(t)→∞的情况。最近，Tunc等研究了方程(1)当α=β=1时，即线性二阶中立型方程的振动性。Grace等研究了方程(1)当α=β时，即半线性二阶中立型阻尼方程的振动准则。Bohner等给出了方程(1)当α=1，β>0时，即二阶中立型Emden-Fowler阻尼方程的振动定理。本文的第一个目的是建立方程(1)对任意α>0和β>0成立的振动定理。它们改进,推广和统一了文献[6]，[10]，[20]的有关结果。并且将二阶线性方程经典的Leighton振动定理[26]推广到二阶中立型阻尼微分方程(1)。

最近，Jadlovska等考虑了方程(1)的特例

(4)

上式即为(1)中当p(t)=0,b(t)=0和α=β的情况，作者介绍了(4)中当σ(t)=t时经典的Kneser振动准则如下:

定理1.1设

作者在文献[11]中改进了定理1.1从σ(t)=t到σ(t)≤t,他们得到：

定理1.2设

则方程(4)振动。

本文的另一个目的是推广文献[11]的结果到中立型阻尼微分方程

(a(t)φα(z′(t)))′+b(t)φα(z′(t))+

q(t)φα(x(σ(t)))=0

(5)

其中z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),p(t)≥0。方程(4)是方程(5)中p(t)=0,b(t)=0时的特例。

在下面第1章中我们将给出0≤p(t)<1时的振动结果，在第2章中给出p(t)≥1的振动结果。

下面出现的函数不等式，均假设是最终成立。如通常一样，不失一般，我们仅处理方程的最终正解。

1 当0≤p(t)≤1时的振动结果

本节我们假设:

(C3) 0≤p(t)≤1；

我们需要下面的辅助结果：

引理2.1设x(t)是方程(1)的最终正解，则z′(t)>0。

证设x(t)是方程(1)的最终正解。则存在t1≥t0，使得当t≥t1时有x(t)>0,x(τ(t))>0和x(σ(t))>0。故由(1)和(2)，我们有z(t)>0且

即

t≥t1

故有

(6)

(i)z′(t)>0，t≥t2；(ii)z′(t)<0,t≥t2

下面证明情况(ii)不可能成立。为此，设z′(t)<0,t≥t2。令

(7)

则由式(6)知，存在常数C>0,使得

-A(t)(-z′(t))α≤-A(t2)(-z′(t2))α=-C<0,

t≥t2

即

(8)

对式(8)从t2到t积分，我们得到

令t→∞,由(C1)得z(t)→-∞。此与z(t)>0矛盾。引理2.1证毕。

引理2.2设λ>0,D>0，则

引理2.3设σ(t)≤t,x(t)是方程(1)的最终正解。令

(9)

则我们有

(10)

其中A(t)的定义见(2.2)，λ=min{α,β},0

(11)

(12)

证明设x(t)是方程(1)的最终正解，则由引理2.1知z′(t)>0。故z(t)是增函数。由式(2)，我们有

x(t)≥(1-p(t))z(t),t≥t2

(13)

由引理2.1和式(13)，方程(1)成为

(a(t)(z′(t))α)′+b(t)(z′(t))α+q(t)(1-

p(σ(t)))βzβ(σ(t))≤0

(14)

(A(t)(z′(t))α)′+Q(t)zβ(σ(t))≤0

(15)

其中A(t)见(C2),Q(t)由式(11)定义。

从式(15)和u(t)的定义式(9)，我们有

t≥t2

(16)

现分两种情况考虑式(16)：α≤β和α>β。

(i) 若α≤β，由式(15)知A(t)(z′(t))α是非增。因σ(t)≤t,故有

A(t)(z′(t))α≤A(σ(t))(z′(σ(t)))α

即

(17)

联合式(16)和(11)，我们有

mα，t≥t2,我们得到

(18)

(ii) 若α>β。由式(15)得(A(t)(z′(t))α)′≤0。再由(C1),即a′(t)+b(t)≥0,我们得到z″(t)≤0,则有z′(t)≤z′(σ(t))。因此，式(16)产生

(19)

式(19)，我们得到

(20)

现式(18)和(20)可统一写为

(21)

其中Q(t)，θ(t)的定义见式(11)。λ=min{α,β}，且

m=min{mα,1,mβ}

(22)

引理2.3，证毕。

定理2.1设(C1)～(C4)成立且σ(t)≤t。若存在ρ(t)∈C1([t0,∞),R+),使得

(23)

其中A(t),Q(t)的定义见式(15),θ(t)见式(12)，00,β>0,方程(1)振动。

证明：设x(t)是方程(1.1)的最终正解，且σ(t)≤t。则由引理2.3，我们有式(10)成立。以ρ(t)乘式(10)两边且从t2到t积分，我们得到

(24)

对上式右端积分的被积函数，利用引理2.2的不等式，我们有

令t→∞,我们得到上式与(23)矛盾。定理2.1证毕。

推论1(Leighton型振动准则)设

(25)

证明：只需在(23)中取ρ(t)=1即可。

注2.1。 对于二阶线性微分方程

(r(t)x′(t))′+q(t)x(t)=0,t≥t0

(26)

有Leighton振动准则：设

(27)

则方程(26)振动。

显然，当方程(1)简化为(26)时，推论2.1的条件即为条件(27)。因此，推论2.1是Leighton准则的精确推广，同时，它也改进和推广了文献[3]的定理4，放宽了其条件(19)，也改进了文献[6],文献[7],文献[9]和文献[23]的定理2.1。

例2.1考虑Emden-Fowler阻尼时滞微分方程

(28)

方程(28)是Bohner等在文献[6]中考虑的例2.4,文中利用定理2.1证明了式(28)的每一解振动或者渐近趋向于零,对一切β>1成立，我们容易证明条件(C2)和式(25)满足，故由推论2.1可以得知方程(28)对一切β>0每一解是振动的。因此，推论2.1改进了文献[6]的定理2.1，而且推论2.1还可应用于方程(1)。但文献[6]的结果不能用于方程(1)。

例2.2考虑中立型时滞微分方程

(29)

方程(29)是文献[14]中考虑的方程(2.14),作者利用推论2.2证明了当q0>1.588 56时方程(29)振动。而利用文献[2]的推论2,要求q0>5.443 81才能保证方程(29)的一切解振动。

因此，由定理2.1可得当q0>1.5时，方程(29)振动。故定理2.1改进了文献[12]的推论2.2，也改进了文献[5]的推论2。

下面的定理是方程(5)的Kneser型振动定理。

定理2.2设(C1)～(C4)成立，σ(t)≤t。 若

(30)

则方程(5)振动。 其中R(t)和A(t)由(C2)定义，Q(t)由式(11)定义。

证明因当α=β时，方程(1)即为方程(5)，故我们只须证明条件(30)成立保证了当α=β时条件(23)成立即可。 现设式(30)成立，则存在ε>0使得对一切充分大的t，有

(31)

(32)

对上式从充分大的T>t0到∞积分，产生

dt=∞

(33)

另一方面，当α=β时，有λ=α,m=1,Q(t)=σ(t)。我们在式(23)中取ρ(t)=Rα(σ(t))，即得式(33)成立。 定理2.2证毕。

例2.3考虑半线性时滞微分方程

(34)

方程(34)是文献[21]中考虑的方程(7), 作者利用该文的定理3得到当条件

q0>1.929 16

(35)

成立时, 方程的一切解振动。

因此， 当

q0>0.163 1

(36)

成立时, 条件(30)满足, 则由定理2. 2知方程(34)振动。 故定理2.2推广和改进了文献[21]的定理3。

注2.3定理2.2推广了定理1.1和定理1.2。 我们将最近文献[11]的Kneser型振动定理从时滞微分方程推广到中立型微分方程。定理2.2给出的是中立项系数p(t)有界时的振动结果。

下面考虑p(t)无界时的情况。

2 p(t)≥1时的振动结果

本节假设：

(C5)p(t)≥1且最终不恒为1；

引理3.1设σ(t)≤τ(t),x(t)是方程(1)的最终正解。 令

(37)

则

(38)

其中

(39)

(40)

证明设x(t)是方程(1)的最终正解。 由引理2.1，有z′(t)>0，即z(t)是增函数，由假设得

(41)

因τ(t)>t且是增函数，故有τ-1(t)>τ-1(τ-1(t)),于是有z(τ-1(t))>z(τ-1(τ-1(t)))。利用(40)和(41)得到x(t)≥P*(t)z(τ-1(t))。由(C6)，我们有

x(σ(t))≥P*(σ(t))z(g(t))

(42)

因σ(t)≤τ(t)，故有τ-1(σ(t))≤t或g(t)≤t。因此，方程(1)给出

zβ(g(t))≤0

(43)

(A(t)(z′(t))α)′+Q*(t)zβ(g(t))≤0

(44)

其中A(t)见式(7)，Q*(t)见(39)，g(t)由(C6)定义。

我们注意到(37)的ξ(t)与(9)的u(t)类似，不等式(44)和不等式(15)类似。 因此，可以用推导不等式(10)的方法来推导不等式(38)，故省略。 引理3.1证毕。

引理3.2设σ(t)≥τ(t)，x(t)是方程(1)的最终正解。 令

(45)

则

(46)

其中0

证明因σ(t)≥τ(t)，故τ-1(σ(t))≡g(t)>t，类似引理3.1，由式(1),(43)和(44)，我们得到

zβ(t)≤0

(47)

和

(A(t)(z′(t))α)′+Q*(t)zβ(t)≤0

(48)

剩下的证明类似于引理3.1，故省略。 引理3.2证毕。

定理3.1设(C1),(C2),(C5),(C6)成立，若存在ρ(t)∈C1([t0,∞),R+)使得当σ(t)≤τ(t)时，有

(49)

当σ(t)≥τ(t)时，有

(50)

其中λ,K,L,A(t),Q*(t),g(t),θ1(t)的定义均可见引理3.1和引理3.2，则方程(1)对任意α>0,β>0都是振动的。

证明设x(t)是方程(1)的最终正解，由引理2.1得z′(t)>0。因σ(t)≤τ(t)，故τ-1(σ(t))=g(t)≤t。令

(51)

则由引理3.1，我们有

(52)

用ρ(t)乘式(52)，从T到t积分，我们得到

(53)

对式(53)右端被积函数利用引理2.2，产生

(54)

在(54)中令t→∞，我们得到与(49)矛盾。

现考虑σ(t)≥τ(t)。利用引理3.2，令

(55)

则有

(56)

用ρ(t)乘(56)，从T到t积分，我们有

(57)

对(57)右端被积函数利用引理2.2，我们得到

(58)

上式中令t→∞，我们得到与(50)矛盾。 定理3.1证毕。

在定理3.1中取ρ(t)=1，我们有

推论3.1(Leighton型振动准则)设

(59)

其中Q*(t)由(39)定义，则方程(1)振动。

下面的例子说明定理3.1的应用。

例3.1考虑中立型阻尼微分方程

(60)

下面给出p(t)无界时方程(5)的Kneser型振动准则。

定理3.2设(C1),(C2),(C5)和(C6)成立，当σ(t)≤τ(t)时，有

(61)

当σ(t)>τ(t)时，有

(62)

则方程(5)振动，其中R(t),A(t)定义见(C2),g(t)定义见(C6),Q*(t)定义见(39)。

证明由于定理3.1，定理3.2分别与定理2.1，定理2.2类似，后者都是利用前者来证明，方法是一样的。 故省略。 定理3.2证毕。

例3.2考虑二阶半线性中立型阻尼方程

t≥1

(63)

下面验证(61)：

故当

(64)

我们有(61)成立，利用定理3.2知方程(63)对任意α>0都振动。

3 结 论

本文有两个目的，一是推广经典的Leighton振动准则和Kneser振动准则。另一个是给出二阶非线性中立型阻尼微分方程(1)的新振动准则，使得既能适合Emden-Fowler方程，又能用于半线性微分方程，从而改进、推广和统一了若干文献中的新结果。最近，Jadlovska和Dzurina在文献[8]中将Kneser振动准则推广到二阶半线性时滞微分方程，本文定理2.2和定理3.2进一步将文献[8]的结果推广到中立型阻尼微分方程。我们不仅考虑中立项系数p(t)有界，而且也考虑了p(t)可以趋向于无穷的情况，我们得到的Leighton型振动准则，也考虑了p(t)→∞(t→∞)的情况。上述结果在文献中是没有出现过的。本文给出的例子也说明所得结果是新的。 即文献中的振动定理或者不能适用，或者所得结果不如我们的定理精确。本文是在假设(C2)成立条件下，即方程是正则型的。我们下一步将考虑(C2)不成立的情况，即方程是非正则型的。欢迎有兴趣的同行一起合作和交流。