提高作图能力 发展空间观念

摘 要：“图形与几何”是数学学习的一个重要知识领域，几何作图能力是学生学习数学必须掌握的一项基本技能。教师在教学中要注重对学生良好作图习惯的培养，帮助学生深刻理解图形的有关概念，引导学生规范作图，掌握几何作图的技能和技巧，积累几何作图的学习经验。

关键词：几何作图;空间观念;数学教学

中图分类号：G427                                文献标识码：A                                       文章编号：2097-1737（2022）20-0013-03

引  言

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。其中，空间形式主要就是研究“形”，即“图形”。我们生活的客观世界中存在着大量的“形”，这些“形”去掉轻重、软硬、冷热等物理属性后，抽象出形状、大小等数学属性的“形”，即“几何图形”。“图形与几何”是数学学习的一个重要知识领域，作图是学习几何知识的一项重要技能，几何作图能力是学生学习数学必须掌握的一项基本技能。在小学阶段培养学生几何作图能力，对发展学生的空间想象能力、动手操作能力、审美能力，对弘扬学生科学的求知精神，培养其严谨的学习态度等都具有重要的意义。

《義务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）指出，数学活动要培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法[1]。而笔者在一次新接手的五年级某班的教学中发现，该班学生在几何作图方面有较多问题，普遍存在诸如审题不仔细乱作图、几何概念知识理解模糊不会作图等问题;也存在作图操作不规范导致所作的几何图形不标准、不美观等问题;还有操作过程无方法、无技巧等问题。这些问题都严重影响了学生数学学习效果。为了改变这一现状，笔者申报了“小学高年级学生几何作图能力提升的实践研究”个人课题。在确定研究课题后，笔者进行了一次学情调查。通过调查发现，由于学习习惯、学习基础和学习经验等导致的问题比较普遍。于是，笔者针对这几个问题开展了相关的矫正实践研究，取得了一定的效果，具体措施如下。

一、培养良好的学习习惯

借助铅笔和标准尺规等作图工具，既可以使作图方便，又可以使作出的几何图形规范、标准、美观，就算出错也可以快速修改，不影响后续观察几何图形[2]。通过一段时期的教学观察和学情调研，笔者发现，新接手的班级中许多学生在几何作图时不使用铅笔作图，导致作图错误后的修改既麻烦又不整洁。针对学生作图不使用铅笔这一现象，笔者专门开展了一节作图课，在教学的开始环节设计了“几何作图的工具有哪些？”“为什么要使用这些工具？”等问题，组织学生讨论。通过交流，引导学生从主观意识上明白，对工具的规范使用，既是源于准确作图的需要，也是源于严谨学习态度和科学求知精神的要求。

《课程标准》要求，数学活动要注重培养学生良好的数学学习习惯。本课题所提的培养良好的学习习惯主要包含两方面内容。一方面是指培养学生良好的阅读和审题习惯，比如，在审题时要做到“三读”，即第一遍快速浏览题干，第二遍圈出关键字词，第三遍确定要完成的任务。学生应在题干审理上用特殊符号进行圈划标注，通过长期坚持，培养良好的审题习惯。另一方面是指培养学生良好的作业和作图习惯，例如，用铅笔和标准尺规作图，规范操作流程，作图结束回头检查，养成认真负责任的态度和科学严谨的精神。

二、运用科学的复习方法

及时复习就是要赶在遗忘之前进行，不能等忘掉以后再复习[3]。学生生理和心理发育节奏不同，学习背景存在差异，数学学习经验积累的不确定性等因素，导致有些学生对概念性知识理解和掌握出现不到位、不牢固、偏差、易遗忘等问题。

例如，笔者在对全班学生关于“轴对称图形”“对称轴”和“高”概念的调查结果中显示问题比较严重。

以下是调查反馈的情况。

（1）（ ）的图形是轴对称图形，（ ）叫作对称轴。（2）正方形有（ ）条对称轴，长方形有（ ）条对称轴，等腰三角形有（ ）条对称轴，等边三角形有（ ）条对称轴，等腰梯形有（ ）条对称轴，圆有（ ）条对称轴，半圆有（ ）条对称轴。

【调查目的】了解学生对轴对称图形概念的理解和掌握情况。

（3）三角形有（ ）条高，平行四边形有（ ）条高，梯形有（ ）条高。

【调查目的】了解学生对平面图形高概念的理解和掌握情况。

【调查结果】在“轴对称图形”和“对称轴”这两个概念的调查中，调查结果显示没有学生回答正确。这一概念内容是学生在中年段就应该熟练掌握的知识点，可见学生对这一概念的掌握不理想，或者遗忘较严重，需要纠正。

在正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、圆、半圆这几种轴对称图形的对称轴有几条的调查中，圆的对称轴条数回答100%正确，正方形、长方形、等腰梯形、圆形及半圆的对称轴条数回答正确率达93.0%及以上，错误率较高的是关于等腰三角形和等边三角形的对称轴条数的区分。在三角形、平行四边形和梯形高的条数方面，正确率分别是60.5%、32.6%和41.9%。调查结果显示，学生对这方面知识掌握情况极其不乐观。在后续教学中，教师需要组织学生通过大量观察与动手操作，纠正学生已经形成的错误认知观念。

鉴于以上调查，教师需要在平时的教学中结合艾宾浩斯遗忘曲线规律，有计划地安排相关巩固练习，引导学生串联起数学知识内部之间的联系，使学生牢固掌握已学知识和技能。

三、规范正确的操作步骤

数学是一门非常严谨的科学，作图时的操作是否规范会直接影响计算结果的精确性，其影响所及，小到当下的作业练习，大到未来的工作效率[4]。学生作图时操作的不规范，正是其内在素养缺失的外显，这既是习惯品质的缺失，也是技能技巧的缺乏。教师在平时教学中要坚持做好规范性的指导，充分发挥生生和师生互动教学模式的作用，积极利用教学课件和微课视频等教学资源推动教法多样化。同时，教师还要注意教育心理学“先入为主”的效应。在学生初次接触操作时，教师需要注意正确、规范引导学生。

以教学“作垂直”一课为例，教师可以引导学生先自主完成活动任务，再请学生来到讲台，借助视频把思考和操作过程展现给全班同学，并组织学生讨论交流操作的方法和步骤，在此基础上总结出作垂直的“四步”操作法。即①靠线（即直尺靠已知直线），

②靠点（直角三角尺靠点），③作图（铅笔画线），④标

记（标垂直符号）。总结操作步骤有利于学生理解流程，总结的字数简洁不会给学生的元认知记忆造成负担，使其不容易遗忘。

四、积累有效的作图经验

在实际操作中，总有个别学生作图的结果仍然会出错。究其原因，是缺少必要的作图技巧。因此，在作图教学过程中，教师可以帮助学生总结简单易记的几点操作步骤，研究一些简单易操作的作圖技巧。针对这一现象，笔者梳理了小学阶段几何作图的几个技巧。

（一）作垂直的技巧

如图1操作：①靠线（即直尺靠已知直线），②靠点（直角三角尺靠点），③作图（铅笔画线），④标记（标垂直符号）。

（二）作平行的技巧

如图2操作：①靠线（即直角三角尺的直角边靠已知直线），②靠边（直尺靠直角三角尺的另外一条直角边），③平移（把直角三角尺平移到已知点处），

④作图。

（三）圆规画圆的技巧

如图3操作：①定点（在图纸上确定好圆心），②定长（圆规两脚之间确定半径，也可以用直尺在图纸上画好直径或半径），③旋转（左手固定好图纸，右手大拇指和食指捏住圆规最上面的把柄，把圆规往顺时针方向稍微倾斜一点方便顺畅地画出圆）。

（四）图形平移的技巧

小学阶段图形的平移主要是平面图形的一次、二次横向或纵向平移，往往有不少学生在进行平移操作时会多平移一格，或少平移一格。为了帮助学生快速、准确地进行平移操作，教师可以引导学生把平移的起点与直尺上的零刻度建立联系，即平移前先确定一个点，当作零刻度，也就是起点，在起点处标记“0”，然后往平移方向依次标出需要平移的格子数，把参照点先平移到指定位置，再根据原图还原（如图4所示）。

（五）图形旋转的技巧

如果给出的原图没有边与格子图的格子线对齐重叠，则可以在原图中，以旋转点作一条辅助线，先把辅助线按照要求旋转，再以辅助线为参照，还原整个图形（如图5所示）。

（六）图形的放大与缩小技巧

如果给出的原图没有边与格子图的格子线对齐重叠，则可以在原图外围先画出一个长方形，按照放大或缩小的比先把外围的长方形进行放大或缩小，然后找原图与长方形的参照点进行图形复原（如图6所示）。

结  语

小学阶段的几何作图涉及的仅仅是二维平面内作图。例如，作已知直线的垂线或平行线、画指定度数的角、图形的平移与旋转、轴对称、图形的放大与缩小等。学生如若在小学阶段就熟练掌握几何作图的技能，将会对未来的数学学习起到重要的作用。

综上所述，“图形与几何”领域的作图操作知识和技能教学，可以有效培养学生的空间观念，提高学生的推理能力和建模能力。教师要充分利用好这一教学资源，培养学生良好的学习习惯。

[参考文献]

中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

方运加.数学教学基本功：画几何直观图[J].中小学数学，2020（05）：5-6.

张玉胜.画平行线也要“讲理”[J].中小学数学，2019（10）：20.

罗永军.新加坡小学生如何学习绘制立体图[J].中小学数学，2019（12）：23-24.

基金项目：本文系南京市栖霞区第11期个人课题“小学高年级学生几何绘图能力提升的教学实践研究”研究成果之一，课题批准号为“栖科个”（20）第076号。

作者简介：潘学超（1983.9-），男，江苏南京人，任教于南京市栖霞区实验小学，教导处副主任，一级教师，本科学历，荣获区“优秀青年教师”称号。