一道有关向量求最值问题的探究

王春阳

摘要：本文对于一道向量题进行了思考，联系几何与代数给出解决问题的多种方法，从坐标系的角度将题目的模型简化，深入研究了问题的本质.

关键词：向量;化归;最值问题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0087-04

1 问题呈现、分析与解决

题目（淮安地区六校联考2020级高一年级第五次学情调查）给定两个长度为1的向量OA和OB，它们的夹角为120°，如图1所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC=xOA+yOB（x，y∈R），则x+y的最大值为.

下面给出学生以及我的几种做法.

方法1（猜）当C为弧AB的中点时，x+y取得最大值，作简单计算可知，此时的x+y=2.

我相信肯定有人质疑这种做法不够严谨，但是其实这种猜的做法是有依据可寻的.我们分析题目条件OC=xOA+yOB，

对于线段OA和OB，从线段长度的角度来讲没有本质的区别;从位置的角度來讲，由于此圆弧是对称的，所以线段OA和OB也没有本质上的区别，也就是点A，B的位置可以互换.（如果只从长度的角度来看，这样的“猜”法显然是行不通的，如图2，显然当点C运动到点D附近时x+y达到最大值，而点D位置可以随意设置.）继续来观察x，y，如果对换x，y，题目的条件是没有本质变化的，而式子x+y，究其本身是一个对称轮换式并且变量取值范围相同，我们联系均值不等式中相类似的结构，一般来说都是当变量取得相等时x+y取得最大或者最小值.

注对于上面的“猜”法并不是所有情况都可以使用.

方法2（消元）

如图3，连接AB，连接OC交AB于点D，设OD=tOC，则t∈[12，1] .故

OC=1tOD.

代入OC=xOA+yOB，

得OC=

1tOD=xOA+yOB.

从而OD=txOA+tyOB.

又A，D，B三点共线，所以tx+ty=1.

故x+y=

1t∈[1，2].

所以x+y的最大值为2.

注1从代数角度看，这种方法巧妙地将含有两个变量的式子变成只有一个变量，这要归功于x+y中，x，y前面的系数相同，那如果它们前面的系数不同，其他所给条件不变，此法是否还适用？

注2从几何角度看，只需要找到圆弧上到直线AB距离最远的点即可，同样的，对于x+y中x，y前面的系数不同，其他所给条件不变，是否还是寻找圆弧上距离直线最远的点？

方法3（利用等和线）

如图3，A，D，B三点共线，故

OD=λOA+（1-λ）OB（0≤λ<1），平行于AB的直线A′B′交

AB于点C′，此时OD′=λOA+（1-λ）OB.设OAOA′=OBOB′=1μ（μ>1），那么OC′=μ[λOA+（1-λ）OB].所以x+y=μ[λ+（1-λ）]=μ.所以当直线A′B′与AB相切时，x+y达到最大值2.

注等和线其实就是利用向量三点共线定理，方法2从代数角度，最后的结果注重参数的范围，从几何角度，最后的结果与点到直线的距离有关.而方法3最后的结果与OAOA′的比值有关.

方法4（建系）

如图4，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，那么A（1，0），B（-12，32）.设C（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π3]，代入已知条件OC=xOA+yOB，得（cosθ，sinθ）=x（1，0）+y（-12，32）.

图4即x-12y=cosθ，

32y=sinθ.

解得x=cosθ+13sinθ，

y=23sinθ.

则x+y=cosθ+13sinθ+23sinθ=2sin（θ+π6）.

又θ∈[0，2π3]，故当θ=π3时，x+y取得最大值2.

方法5考虑到条件OC=xOA+yOB，又

|OA|=|OB|=|OC|=1，那么对此式作平方处理得

1=x2+y2-xy=（x+y）2-3xy.

从而（x+y）2=1+3xy.

又1=x2+y2-xy≥xy（当且仅当x=y时取等号），从而（x+y）2=1+3xy≤4.

故x+y的最大值为2，此时x=y=1.

2 问题的延伸

我们对条件中的系数做变化，题目变为：

给定两个长度为1的向量OA和OB，它们的夹角为120°，OB′=32OB，如图5所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC=xOA+32yOB=xOA+yOB′（x，y∈R），则x+y的最大值为.

如果我们用猜的方式来看这道题，是不能很明显地猜出来，那么这种方法就有很大的局限性.下面用剩下的几种方法试一下.

方法2连接AB′交OC于点D，设OD=tOC，由于t的范围不易看出，我们暂时先不求.

知OC=

xOA+yOB′，

那么

OC=1tOD=xOA+yOB′.

即OD=txOA+tyOB′.

又A，D，B′三点共线，所以tx+ty=1，即x+y=1t.

那么由此我们只需要求出t的范围即可，下面求t的范围.

知OC的长为1，那么其实只要求OD长度的范围即可，很显然OD的最大值为32，OD取最小值时，OD⊥AB′，下面求最小值.

知OB′=32，且OA=1，∠BOA=2π3，利用建系法可知点的坐标位置，故tanα=

337

，sinα=

33219.

又OA=1，所以OD=

33219.所以OD的最小值为33219.

所以x+y=1t的最大值为21933.

方法3直接利用等和线，如图5，l是平行于AB′的直线，且与AB有交点，利用等和线，当直线l与AB相切时x+y达到最大，当直线l过点B时，x+y达到最小.以O为原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，可得A（1，0），B（-12，32），B′

（-34，334）.

那么直线l的方程为33x+7y-7k=0.利用直线到圆心O的距离为1，可得

|7k|（33）2+72=1.

从而k=2197（负的舍去）.从而直线l的方程为y=-

337x+2197.

令y=0，可得A′（21933，0）.

所以OA′OA=21933.

从而x+y的最大值为21933.

方法4知

OC=xOA+yOB′，则两边平方可得

1=x2+94y2+2xy·32·（-12）

=（x-34y）2+2716y2.

令x-34y=z，则x=34y+z，即z2+2716y2=1.

所以x+y=z+74y.

由柯西不等式可得

（z2+2716y2）[12+（4927）2]=7627≥（z+74y）2（当且仅当z2=2728y2时成立）.

从而z+74y≤

21933.

故x+y的最大值为21933.

当然此题也可以在问题上做文章，比如题目变为：给定两个长度为1的

OA和OB，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC=xOA+yOB（x，y，∈R），则x+23y的最大值为.

如果我们对题目条件和问题中y前系数都进行改变，例如题目改为：给定两个长度为1的

OA和OB，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.

若OC=xOA+4yOB（x，y∈R），则x+8y的最大值为.

由此例我们可以推广：当改变条件和问题中同一变量前的系数时，问题可以化归到只改变条件或问题的此变量前的系数.那么我们可以类比，如果同时改变条件和问题中两个变量前的参数时，例如：

若

OC=k1xOA+k2yOB，l1x+l2y（x，y∈R，ki，li∈R+，i=1，2），那么上式可以化归为

OC′=tOA+

zOB，l1k1t+

l2k2z（t=k1x，z=k2y），或者

OC=k1l1

tOA+l2k2zOB，

l1k1t+l2k2z（t=l1x，z=l2y）.

至此，无论如何改变题目条件

OC=xOA+4yOB（x，y∈R）

或是问题x+y中的条件，都可以化归为

OC=xOA+4yOB（k∈R）.

那么如果改变题目中其他我们没有涉及的条件呢？

3 问题本质的探究（数学模型的简化）

在研究了改變条件即前系数几种方法的可行性之后，我们来研究题目本身，从建系的角度去分析题目，如图6，

我们将OA，OB隐藏，那么你会发现图中只剩下一段120°的圆弧，以及动点C，定点O，那么我们可以进一步将题目模型简化为：一段函数（两个端点），函数上一动点，以及函数图象外一点（定点或是动点）.我们先从最简单的模型开始，假设认为函数图象外一点为定点，此定点设为二维空间xOy中的原点，即点O，至于这一段函数，我们主要研究高中初等函数，函数的两个端点记为A，B.

题目变为：设f（t）=，t∈[2，4]，函数两端点为A，B，C为f（t）上的动点，OC=xOA+yOB（x，y∈R），则x+y的最大值为.

（1）如果函数f（t）是一次函数，且此函数不过原点，那么x+y为定值1.

（2）如果函数f（t）为二次函数，设f（t）=t2，C（t，t2），t∈[2，4]，则OC=（t，t2）=

xOA+yOB=

x（2，4）+y（4，16）=（2x+4y，4x+16y）.

从而x+y=-18（t-3）2+98，

则当t=3时，x+y取得最大值98.

（3）如果函数f（t）为指数函数，设f（t）=ex，

则x+y=4et-te44e2-2e4+e2t-2et4e2-2e4=2et-（e4-e2）t4e2-2e4.

那么求x+y的最大值就是求2et-（e4-e2）t4e2-2e4的最大值，其中t∈[2，4]，具体过程这里不再探究.

（4）考虑函数的一般情况，函数f（t）为初等函数，t∈[a，b]，函数两端点为A，B，C为f（t）上的动点，

OC=xOA+yOB（x，y∈R），则x+y

的最大值为.

（5）考虑整体一般情况，函数图象外一点为动点，记为O1，设O1（t0，0），t0∈[a，b]，函数f（t）为初等函数，t∈[a，b]，函数两端点为A，B，C为f（t）上的动点，

O1C=xO1A+yO1B（x，y∈R），则x+y的最大值为.

对于数学问题的解决，如同剥洋葱一样，一层层地接近葱芯，慢慢地接近问题的本质，对于上面问题的探讨过程，我们从题目本身引申出很多解决问题的方法，从方法中找到一些方法的局限性和复杂程度，由此引发了我们对问题的延伸，引发我们改变题目中的条件或是问题，会对之前的方法有着怎样影响的思考，从中我们学习到了化归的思想，不仅仅是化归算式，而且还化归了题目.在此基础上，又引发了我们对题目本身的探讨，简化了题目的数学模型，拓广到一般情况，找到了题目的本质，至此我们对整个题目的看法有了质的飞跃.

参考文献：

[1] 刘初喜，施洪亮，蔡东山.华东师范大学第二附属中学（实验班用）数学[M].上海：上海教育出版社，2012.

[2] 董裕华.减负增效学数学[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2015.

[责任编辑：李璟]