解题经验下的解题实践与思考

李秀元

摘要：以一道导数训练题为例，谈解题经验在解题中的应用，并由此获得一些思考.

关键词：解题经验;思维定式;创新;转化

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0031-04

解题经验能让我们快速深入题目，获得试题的解，为考试赢得宝贵时间.然而，经验又会形成思维定势，有时能使人入乎其内，久而不得其势.如果缺乏高瞻远瞩、审时度势、运筹帷幄的大局观，反而会阻碍解题，实在是一把双刃剑.审题度式，具体问题具体分析，纵横捭阖才是解题应有的模样.《中国高考评价体系说明》指出，高考试题应“关注与创新密切相关的能力和素养，比如独立思考能力、发散思维、逆向思维等，考查学生敏锐发觉旧事物缺陷、捕捉新事物萌芽的能力，考查学生进行新颖的推测和设想，并周密论证的能力，考查学生探索新方法、积极主动解决问题的能力，鼓励学生摆脱思维定势的束缚，勇于大胆创新”，这为破除题海战、机械刷题，培养和提升学生数学核心素养指明了方向.

下面以2021年安徽省黄山市联考的一道导数解答题为例，谈解题经验下的解题实践，由此获得一些思考，希望对同学们有所帮助.

1 试题呈现与解读

题目已知函数f（x）=x2-（a-2）x-alnx（a∈R）.

（1）求函数f（x）的单调区间;

（2）当a=1时，证明：对任意的x>0，f（x）+ex>x2+x+2.

该题结构简单，设问层次分明，指向明确，主要考查利用导数确定函数的单调区间，以及导数背景下函数不等式的证明，涉及的思想方法包括分类讨论和数形结合，核心素养涵盖数学运算、逻辑推理、直观想象和数学建模等.作为周测题，我们认为该题比较基础，况且第（2）小题不等式还不含参数，但考试结果却不是很理想.

2 试题解法探究与思考2.1 第（1）问解析

解析函数f（x）的定义域为（0，+

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）.

（1）f ′（x）=2x-（a-2）-ax=（x+1）（2x-a）x.

①若a≤0，则f ′（x）>0.

所以f（x）在（0，+

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）上单调递增.

②若a>0，当0<x<a2时，f ′（x）<0;

当x>a2时，f ′（x）>0.

所以f（x）在（0，a2）上单调递减，（a2，+

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）上单调递增.

因此，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+

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）;

当a>0时，f（x）的单调减区间是（0，a2），增区间是（a2，+

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）.

反思1分类讨论时，如何确定分类标准？这一点学生比较容易犯迷糊，拿捏不准.事实上，确定导函数f ′（x）的符号，主要依赖其零点，由零点对定义域进行区间划分.由于x>0，故f ′（x）的零点形式上是由2x-a=0，即x=a2来确定.“零点”a2在不在定义域内，是分类讨论的第一标准.如果导函数有多个零点，则需讨论多个零点的大小关系，这是分类讨论的第二标准.不仅如此，有时还涉及自变量的系数含参数，其正负会左右导数符号，也是需要讨论的.

反思2函数的单调区间与函数的单调性是不同对象，要区别对待，很多学生在表述时往往混为一团.函数的单调性是描述函数值随自变量变化而变化的整体表现，依托自变量的取值范围，而函数的单调区间是反映函数相同变化规律下，自变量取值的最大连续范围，以增区间或减区间的形式出现，间隔的单调增（减）区间一般需要分开写.

反思3a=0时函数的定义域有没有变化？有学生认为，当a=0时，函数式中就不存在lnx，因此，定义域不再是（0，+

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），而是R.这种理解是不对的.正如lnx求导后得到1x，单从式子结构来说，自变量的范围扩大了，但任何函数其定义域都是由原式子结构决定的，确定函数的定义域应优先于式子化简.由于函数f（x）中含有lnx，其定义域是（0，+∞），不会因a=0使该项为0而发生改变，否则，我们可以对函数式进行任意形式的添加减（项为0），从而改变其定义域.

2.2 第（2）问解析

解析a=1时，f（x）=x2+x-lnx.

不等式f（x）+ex>x2+x+2可化為ex-lnx>2.

方法1借助隐零点.

证明函数不等式，一般先研究函数的单调性，确定函数的最值（或取值范围）以获得问题的解.如果函数的极值点不确定，那么就会使用隐零点.

记g（x）=ex-lnx，则g′（x）=ex-1x.

因为y=ex在（0，+

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）上单调递增，y=1x在（0，+

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）上单调递减，所以g′（x）在（0，+

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）上单调递增.

因为g′（12）=e-2<0，g′（1）=e-1>0，根据零点存在性定理，知x0∈（12，1），g′（x0）=0，即ex0=1x0.

当0<x<x0时，g′（x）<0;

当x>x0时，g′（x）>0.

所以g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+

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）上单调递增，从而g（x）min=g（x0），下面只需证明

g（x0）>2.但似乎又回到了起点，于事无补，因为从结构上看最小值与原函数是一样的，仅仅是多了一个更小的范围，因此需要对式子进行变形.

策略1替换指数式.

由于ex0=1x0，将ex0换成1x0，

则g（x0）=ex0-lnx0=1x0-lnx0.

记m（x）=1x-lnx，x∈（12，1），

则需证明m（x）>2.

因为y=1x在（12，1）上单调递减，y=lnx在（12，1）上单调递增，所以m（x）在（12，1）上单调递减，从而m（x）>m（1）=1，不等式并不成立.

反思4导数并非是确定函数单调性的唯一方式，也不一定是最简洁的方式，却是确定函数单调性的最后方式.对于较复杂函数，一般通过求导确定函数的单调性，受这种思维定势的影响，不少学生凡函数必求导，反而舍去了利用基本初等函数单调性来确定复杂函数单调性这一直接方法，于无形中增大了思维量和运算量，少了解题的灵活性.

反思5为什么所证不等式不成立？难道是题目存在问题？如果题目没有问题，问题究竟出在哪里？如何去修正？

显然，g′（x）的零点x0虽然不明确，但却是一个具体的值，将其扩大到一个范围，函数g（x）的值便发生了变化，这就是不等式不成立的根本原因.要得到所证不等式，根据函数m（x）的单调性，必须控制x0所在区间的右端点.我们有两个方向，一是按二分法求函数近似零点，逐次缩小x0的取值范围.经过核算发现，数值运算越来越麻烦，故舍去;二是重新回到零点存在性定理，重构零点x0的取值范围.基于“好算”的原则，我们把零点界定在（12，1）内.通过估算，我们发现m（12）>2，因此，g′（x）的零点x0大于12，且无限接近12.

选择大于且接近12的数，第一次我们取x=23，虽然有e2>（32）3，即e23>32，故g′（23）>0，x0∈（12，23）.但e>（32）2，即e12>32，故ln32<12，使得m（23）=32+ln32不大于2，尝试失败，但已非常接近了，我们需要选择一个比23小的正数.

通过估算，我们又得到e3>（53）5，即e35>53，所以g′（35）=e35-53>0，因此x0∈（12，35）.

又e<（53）3，即e13<53，

取自然对数，得13<ln53.

所以m（x）min=m（35）=53-ln35=53+ln53>53+13=2.

即g（x0）>2，证毕.

反思6虽然经历了几次反复，最终我们还是将x0的取值范围缩小到（12，35），并顺利完成不等式的证明，但在紧张的考试期间，学生有没有时间去尝试，愿不愿意去尝试，即使尝试，能不能找到合理的数值，这些都得打上大大的问号.解题思路是如此的熟悉，但并不能保证顺利完成任务.破除定势，另辟蹊径，也许能柳暗花明.

策略2指对式同时替换.

如果化简的力度再大点，我们会发现不等式中的指数和对数式都可以被替换.

因为ex0=1x0，所以x0=e-x0，

两边取自然对数，得lnx0=-x0，

因此g（x0）=x0+1x0.

又0<x0<1，所以g（x0）=x0+1x0>2.

利用指数式和对数式互化，将函数化为一般函数，所证不等式转化为基本不等式模型，少了更多计算与尝试，轻轻松松便解决了问题，实在是妙！

方法2重构不等式，分别求值.

回到原不等式，如果仅仅抵消x2，便得到ex-lnx+x>x+2，把ex和lnx调整到不等式的两边，重组后有ex-x-1>lnx-x+1.有没有眼前一亮的感觉？

令y1=ex-x-1，y2=lnx-x+1，则

y′1=ex-1，y′2=1x-1.

所以，当x>0时，y′1>0，即y1=ex-x-1在（0，+

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）上

单调递增，因此y1>0;

当0<x<1时，y′2>0，当x>1时，y′2<0，即y2=lnx-x+1在（0，1）上单调递增，（1，+

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）上单调递减，因此y2≤0.

显然y1>y2，即ex-x-1>ln-x+1，不等式证毕.

多么精妙的证法呀！

反思7方法2的证明，完全避开了方法1中的各种不适，要的只是一种结构重组.然而，在进行不等式化简时，贪图方便简洁，我们早早地消去了相同项，看似简单，却完全忽视不等式的结构特点，实则是给自己挖了一个大坑.简单问题复杂化，实在可惜！

基于方法2，我们有下面的方法3.

方法3利用指数不等式放缩.

由上可知，当x>0时，ex>x+1.

因此ex-lnx>x+1-lnx，如果x+1-lnx≥2恒成立，则原不等式也就恒成立.

事实上，x+1-lnx≥2即为lnx≤x-1，这也是成立的.

所以ex-lnx>x+1-lnx≥2.

即ex-lnx>2.

類似地，也可以利用对数不等式进行放缩，请大家自己完成.

反思8ex>x+1（x≠0）和lnx≤x-1（x>0）是导数问题中经常用来“化曲为直”的放缩方式，也是教材习题，理当被记住.从几何结构来看，由于函数y=ex是下凸，而函数y=lnx是上凸，两条平行直线（其实就是曲线的切线）将两曲线完全分割开，使得不等式具有非常明显的几何特点，基于此，我们可以求出两曲线上点间距离的最小值，如2012年高考全国卷理科试题，摘录如下，供大家参考.

设点P在曲线y=12ex上，点Q在曲线y=ln2x上，则|PQ|的最小值为（）.

A. 1-ln2B. 2（1-ln2）

C. 1+ln2D. 2（1+ln2）

在解题经验指引下，通过对试题解法研究，我们经历了很多变数，最终获得了更优证明方法.这中间解题经验起到了很好的指导作用，但完全依赖解题经验，如果不能突破思维定势，解题的局限性就显露无疑，面对新的问题情境，可能就会束手无策，解题当思之.

参考文献：

[1] 教育部考试中心.中国高考评价体系＼[M＼].北京：人民教育出版社，2019.

[责任编辑：李璟]