例谈一类含参数恒成立问题的难点突破

卓晓萍

摘要：文章从一道高三质检试题谈起，从不同的角度进行思路分析，对含参数恒成立的解题难点进行分析突破，领悟其中的方法与规律，揭示求解这类问题的基本策略.

关键词：含参数;恒成立;难点突破

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0022-03

含参数恒成立问题在近年高考及各地市高三质检试题中频频出现，这类问题常常与导数结合起来考查，解法灵活多变，难度不小.本文以一道高三质检试题为抓手，从不同的角度进行思路分析，对解题难点进行分析突破，领悟其中的方法与规律，揭示求解这类问题的基本策略.

1 题目呈现

题目已知函数gx=x3+mx+2，若对任意实数x，均有g（ex+1）≥g（x），求m的取值范围.

2 解法赏析

解法1（参变分离）由g（ex+1）≥g（x） ，得

ex+13+mex+1≥x3+mx.

即-mex+1-x≤ex+13-x3

=ex+1-xex+12+xex+1+x2.

易证ex+1>x.

上式可化为-m≤ex+12+xex+1+x2.

令h（x）=ex+12+xex+1+x2，

则h′（x）=2e2x+2+xex+1+ex+1+2x=2ex+1-1ex+1+1+（x+1）ex+1+2.

因为h′（-1）=0，

当x>-1时，ex+1-1>0，

x+1>0，ex+1+1>0，

ex+1+2>0，

得h′（x）>0;

当x<-1时，ex+1-1<0，

x+1<0，

ex+1+1>0，

ex+1+2>0，

得h′（x）<0.

所以h（x）在区间-1，+

SymboleB@

上单调递增，h（x）在区间-

SymboleB@

，-1上单调递减.

所以h（x）≥h（-1）=1.

即-m≤1.

即m≥-1.

评析本法解题策略是完全分离参数，难点是分参过程中要注意观察不等式两边的结构特點，发现有相同因式“ex+1-x”，从而转化为-m≤ex+12+xex+1+x2，则把问题转化为新函数h（x）=ex+12+xex+1+x2的最小值，对h（x）求导后得h′（x）=2e2x+2+xex+1+ex+1+2x，若继续进行求导有h″（x）=4e2x+2+xex+1+2ex+1+2，h（x）=8e2x+2+xex+1+3ex+1都难以确定导函数的零点和符号.故先观察h′（x）式子的特点，发现到h′（-1）=0，则转换为对h′（x）进行变形h′x=2e2x+2-2+（x+1）ex+1+2（x+1）=2（ex+1-1）（ex+1+1）+（x+1）（ex+1+2），实现了部分因式分解，有利于进一步分析x=-1两侧h′（x）的符号，从而突破了本题的难点.

解法2（巧妙放缩）由g（x）=x3+mx+2，

记hx=ex+1-x，

易证ex≥x+1，

ex+1-x≥x+2-x=2

当且仅当x=-1时等号成立.

令ex+1-x=t，则

g（ex+1）-g（x）

=（x+t）3+m（x+t）+2-（x3+mx+2）

=t3x+t22+14t2+m

对t≥2恒成立，

当t=2，x=-t2=-1时，

t3x+t22+14t2+m取最小值1+m.

所以1+m≥0.

解得m≥-1.

评析本法是基于不等式g（ex+1）≥g（x）的结构特点，结合不等式“ex≥x+1”，利用换元法，令ex+1-x=t，把问题转化为三次不等式恒成立t3x+t22+14t2+m≥0，把超越式转化为非超越式，问题即不难解决了.

3 解题反思

3.1含参数不等式f（x）≥0x∈D恒成立问题切入点

（1）区间的端点值为a，若f（a）=0，可借助f ′（a）≥0探寻必要条件;

（2）区间中间值为m，若f（m）=0，可转化为x=m是f（x）的极值点;

（3）特殊值x0代入f（x0）≥0，探寻必要条件;

（4）优化不等式的结构，有利于后续对导函数的进一步分析.

3.2 含参数不等式f（x）≥0x∈D恒成立问题常见解法

（1）把问题转化为求函数y=f（x）的最小值;

（2）完全分离参数得a≥g（x），求函数y=g（x）的最大值;

（3）部分分离参数F（x）≥G（x），数形结合或分析函数y=F（x）与y=G（x）的最值.

3.3 求解函数f（x）最值过程的关注点

（1）f（x）的最值在端点处取到可能利用洛必达法则;

（2）f（x）的最值在显极值点处取到，需要观察f ′（x）的零点，以及因式分解或对f ′（x）结构分析;

（3）f（x）的最值在隐极值点处取到，需要用零点存在定理分析f ′（x）的零点x0，以及对f ′（x0）=0整体代换以便化简f（x0）.

4 变式训练

变式1已知fx=（x+3）e-x+2x，若fx≤ax2+3，求a的取值范围.

解析令Fx=（x+3）e-x+2x-ax2-3，

观察F0=0，

分析知x=0是Fx的极大值点，

从而F′x=-（x+2）ex+2-2ax在0附近的小邻域-δ，δ单调递减，

进一步逆推

F″x=x+1ex-2a在-δ，δ内F″x≤0.

由Fx=-xex知道

F″x在x=0处取到最大值，

从而确定出分类讨论的界点是F″0≤0与F″0>0，即a≥12与a<12.

另外，由F1≤0，得

a≥4e-1>0，

缩小了参数的范围，减少了分类讨论的情况.

变式2已知e是自然对数的底数，函数

fx=ex+sinx-2x的導函数为gx.若对任意x∈-π3，0，都有x·gx≥x2+m，求实数m的取值范围.

解析特数值代入不等式探寻必要条件：

0·e0+0·cos0-0-0≥m，

解得m≤0.

再证明当m≤0时，

xex+xcosx-2x-x2=xex+cosx-2-x≥m.

变式3已知函数fx=ex+ax2-x.当x≥0时，fx≥12x3+1，求a的取值范围.

解析fx≥12x3+1，得

x=0时，f0=1=12×0+1.

x≠0时，

a≥12x3+x+1-exx2.

令hx=12x3+x+1-exx2，

则h′x=12x3-x-2-ex（x-2）x2.

观察h′2=0，

从而对h′x因式分解，

分析出x=2是h（x）的极小值点.

参考文献：

[1] 范选文，唐秋萍.例谈一类不等式恒成立求参数范围的解题策略[J].中学数学研究（华南师范大学版），2017（23）：20-21.

[2] 阮征，庞飒.分离参数求解一类不等式恒成立问题[J].中学生数理化，2020（Z1）：31.

[责任编辑：李璟]