求范围中不可忽视的取等问题
2022-07-12李文东
李文东
摘要：文章介绍了根据集合包含关系、函数单调性、函数最值不可取、函数零点和不等式等求范围的取等问题，这些问题极容易被学生们忽视.
关键词：真子集;单调性;零点;恒成立
中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0002-04
数学中的取等问题是指根据已知条件求范围时等号能否成立问题，求解此类问题需要我们做到严谨细致，思考问题要全面，否则就会出现“差之毫厘谬以千里”，下面我们举例说明.
1 集合包含关系中的取等问题
例1已知p：x2-8x-20≤0，q：x2-2x+1-m2≤0（m>0），若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
解析由题意知，命题：若p是q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.
p：x2-8x-20≤0-2≤x≤10，记A={x|-2≤x≤10}.
q：x2-2x+1-m2≤0（m>0）1-m≤x≤1+m，B={x|1-m≤x≤1+m}.
因为p是q的充分不必要条件，
所以AB.
所以1-m≤-2，1+m≥10，且不同时取等，解得m≥1，m≥9.
所以m≥9.
所以实数m的取值范围是[9，+
SymboleB@
）.
点评由于AB，很多同学误以为m≠9.事实上，当m=9时，B={x|-8≤x≤10}，满足AB，此时两集合中x的范围右边取等，但是左边不相等.下面的变式问题就看得更清楚.
变式设p：|x-1|≤a2，q：x2-2ax+a2-1≤0，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围为.
解析由题意知，命题：若p是q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.
p：|x-1|≤a2-a2+1≤x≤a2+1，记A={x|-a2+1≤x≤a2+1}.
q：x2-2ax+a2-1≤0a-1≤x≤a+1，B={x|a-1≤x≤a+1}.因为p是q的充分不必要条件，
所以AB.
所以a2+1≤a+1，1-a2≥a-1，且不同时取等，解得0≤a≤1，-2≤a≤1，且不同时取等.
所以0≤a<1.
所以实数a的取值范围是0，1.
2 函数单调性取等问题
例2已知f（x）=alnx+12x2（a>0）若对于任意两个不等的正实数x1，x2，都有fx1-fx2x1-x2>2恒成立，则a的取值范围是（）.
A.0，1B.1，+
SymboleB@
C.-3，3D.1，2e
解析不妨设x2<x1，由fx1-fx2x1-x2>2，得fx1-fx2>2x1-x2.
进一步fx1-2x1>fx2-2x2.
令函數gx=f（x）-2x，
可知gx为0，+
SymboleB@
上单调递增.
故当x>0时，g′x=f ′（x）-2≥0恒成立.
即ax+x≥2恒成立.
分离参数，得a≥-x2+2x.
故a≥-x2+2xmax=1.
点评函数f（x）在a，b内单调递增（减），则当x∈a，b时，f ′（x）≥0≤0恒成立（等号不恒成立）.
变式已知函数f（x）=ax+1x+2在区间（-2，+∞）上单调递增，试求a的取值范围.
解析由题意：当x∈（-2，+
SymboleB@
）时，f ′（x）=2a-1x+22≥0恒成立，解得a≥12.
即a的取值范围为12，+
SymboleB@
.
但是上述答案是错误的，因为当a=12时，f ′（x）=0恒成立，此时f（x）=12x+2x+2=12不具有单调性，正确答案为12，+
SymboleB@
.
3 最值不可取的取等问题
例3设函数f（x）=lnx-ax，若f（x）<x2在（1，+
SymboleB@
）上恒成立，求a的取值范围.
解析f（x）<x2在（1，+
SymboleB@
）上恒成立，即lnx-ax<x2在（1，+
SymboleB@
）上恒成立.
分离参数，得a>xlnx-x3.
令gx=xlnx-x3，x∈（1，+
SymboleB@
），
则g′x=1+lnx-3x2.
令h（x）=1+lnx-3x2，则
h′（x）=1x-6x=1-6x2x<0.
故函数h（x）在（1，+
SymboleB@
）上单调递减.
于是h（x）<h（1）=-2<0.
即g′x<0.
所以函数gx在（1，+
SymboleB@
）上单调递减.
于是g（x）<g（1）=-1.
从而a≥-1.
即a的取值范围为-1，+
SymboleB@
.
点评题中由于gx在（1，+
SymboleB@
）上单调递减，其在x=1的最大值g（1）=-1不可取，因此尽管a>xlnx-x3中没有等号，但是最后a的取值范围包含-1.变式若不等式-1na<2+-1n+1n对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是.
解析当n为偶数时，a<2-1n，
数列2-1n单调递增，故a<2-12=32;
当n为奇数时，-a<2+1n，
数列2+1n单调递减，且2+1n>2，
解得a≥-2.
综上，实数a的取值范围为-2，32.
4 函数零点取等问题
例4若函数f（x）=log0.5（x2+2ax+5a）在区间-
SymboleB@
，-2上单调递增，则实数a的取值范围为（）.
A.-
SymboleB@
，2B.-4，2
C.-4，2D.-4，2
解析根据复合函数的单调性可知y=x2+2ax+5a在区间-
SymboleB@
，-2上单调递减.
故-a≥-2，解得a≤2.
另一方面，当x∈-
SymboleB@
，-2时，
x2+2ax+5a>0恒成立.
由于y=x2+2ax+5a在区间-
SymboleB@
，-2上单调递减，故-22-4a+5a≥0，解得a≥-4.
故实数a的取值范围为-4，2.
例5已知函数f（x）=2mx2-x-1在区间-2，2上恰有一个零点，求实数m的取值范围.
解法1（1）当m=0时，函数f（x）=-x-1在区间-2，2上恰有一个零点-1，符合题意;
（2）当m≠0时，要使函数f（x）=2mx2-x-1在区间-2，2上恰有一个零点，则
①当Δ=1+8m=0时，解得m=-18.
此时f（x）=-14x2-x-1=-14x+22，有唯一零点-2，不合题意;
②f（-2）·f（2）<0，即8m+18m-3<0，解得-18<m<0或0<m<38.
综上所述，实数m的取值范围为-18，38.
但是上述解法是错误的，原因在于所给区间为开区间-2，2，当m≠0时，还需要补充如下
情况：
③f（-2）=0，-2<14m<0，
④f（2）=0，0<14m<2.
其中③无解，④的解为m=38.
因此满足题意的实数m的取值范围为-18，38.
解法2（分离参数）函数f（x）=2mx2-x-1在区间-2，2上恰有一个零点，即2mx2-x-1=0在区间-2，2上恰有一个根，2m=x+1x2.
令gx=x+1x2，x∈-2，0∪0，2，
g′x=-xx+2x4>0，解得-2<x<0.
可知函数gx在-2，0单调递增，在0，2单调递减，g-2=-14，g2=34，作出函数gx的图象.
由图1可知，当-14<2m≤34，即-18<m≤38时，函数f（x）=2mx2-x-1在区间-2，2上恰有一个零点.
点评二次函数f（x）=ax2+bx+c在区间m，n内有且仅有一个零点的充要条件为
①Δ=0或②f（m）·f（n）<0或
③f（m）=0，m<-b2a<m+n2，
④f（n）=0，m+n2<-b2a<n.
5 不等式中的取等问题
例6已知函数f（x）=|lgx|，若0<a<b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（）.
A.（22，+
SymboleB@
）B.[22，+
SymboleB@
）
C.（3，+
SymboleB@
）D.[3，+
SymboleB@
）
解析易知f（x）在0，1上单调递减，在1，+
SymboleB@
上单调递增，故0<a<1<b.
由f（a）=f（b），得|lga|=|lgb|.
即-lga=lgb，即ab=1.
由基本不等式，得a+2b>22ab=22.故选A.
上述做法是错误的，原因在于虽然注意到了利用基本不等式求最值时需要做到“一正二定三相等”，其中等号不成立的情况被简单地理解为将等号去掉就是最终的范围.
正确解法如下：
由ab=1，得a+2b=a+2a0<a<1.
根据对勾函数的性质知，a+2a在0，1上单调递减.
故a+2a>3，故选C.
一般来说，利用基本不等式求范围时，如果等号不成立，则得到的范围是不精确的！
例7已知a，b满足-1≤a+b≤1，1≤a-b≤3，求3a-b的取值范围.
解析因为-1≤a+b≤1，1≤a-b≤3，
所以0≤2a≤4.即0≤a≤2.
因为-1≤a+b≤1，-3≤b-a≤-1，
所以-4≤2b≤0.
即-2≤b≤0.
所以0≤3a≤6，0≤-b≤2.
所以0≤3a-b≤8.
此解法的错误原因是因为a与b是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当a+b取到最大值或最小值时，a-b不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围.
避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，正解如下：
设3a-b=x（a+b）+y（a-b）
=（x+y）a+（x-y）b，
所以x+y=3，x-y=-1.
解得x=1，y=2.
由-1≤a+b≤1，1≤a-b≤3，得
-1+2≤（a+b）+2（a-b）≤1+3×2.
即1≤3a-b≤7.
從以上问题可以看出，在数学问题的求解过程中，我们务必要做到严谨细致，这样方能做到“运筹帷幄之中，决胜于千里之外”！
参考文献：
[1] 张岭芝.解不等式题时要注意等号成立的条件＼[J＼].数理化解题研究，2022（28）：15-16.
[责任编辑：李璟]
