一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程

杨怡, 方钟波

( 中国海洋大学数学科学学院, 山东青岛 266100)

1.引言

我们考虑一类具有基尔霍夫型弱阻尼和对数非线性项的半线性波动方程

给出齐次Dirichlet边界条件和初始条件

其中Ω ⊂RN(N≥1)为具有光滑边界∂Ω的有界区域, 基尔霍夫型阻尼系数σ, 参数p和γ满足

比如, Georgiev和Todorova[2]研究了方程(1.4)中g(ut) = a|ut|γ−2ut情形且在齐次Dirichlet边界条件下, 证明了问题解的整体存在性及有限时刻爆破现象.之后, 文[3]给出了具有任意负初始能量及正初始能量解的爆破现象.

其中g(ut) ≈|ut|γut.他们在Dirichlet边界条件和铰接边界条件下建立了强解的适定性并给出了解的长时间动力行为.最近, ZHANG等[5]研究了具有退化非局部非线性阻尼项和乘幂型源项的半线性波动方程Dirichlet初边值问题

且利用位势井理论得到了能量的衰减估计和有限时刻解的爆破现象.

另一方面, 关于具有常数阻尼系数和对数非线性项的半线性波动方程研究也有一些新的进展, 其主要难点在于对数非线性源项的单调性和符号无法确定.Cazenave和Haraux[6]首次考虑了具有对数非线性项的Schrˆodinger方程及Klein-Gordon方程Cauchy问题解的存在性与唯一性.之后, ZHANG等[7]考虑了具有弱阻尼的模型Dirichlet初边值问题并得到了问题解的整体存在性及能量的指数衰减估计值.最近, 我们在文[8]中研究了具有对数源和强阻尼的半线性波动方程Dirichlet初边值问题

且利用位势井理论和对数Sobolev不等式, 得到了问题的整体可解性及能量衰减和无限爆破结果.文[9]的作者将方程(1.5)推广到具有更一般形式对数非线性项情形.LIAN和XU[10]考虑了具有强弱阻尼和对数源项的非线性波动方程Dirichlet初边值问题

他们利用压缩映射原理, 位势井方法及微分不等式技巧, 证明了问题的可解性, 能量衰减及解的无限爆破现象.此外, 关于具有时滞阻尼的板模型问题的最新进展, 我们阅读了文[11].

综上所述, 关于基尔霍夫型弱阻尼项和对数非线性项竞争的半线性波动方程初边值问题(1.1)-(1.3)的研究尚未得到完善.本文中, 我们考虑与文[12]中相同意思下的正则解与弱解且有以下主要难点: 1) 当p>2时无法利用对数-Sobolev不等式来估计对数所在的项; 2)局部弱解的适定性无法直接导出, 需考虑更强的解的结果; 3)分析两个非线性项之间的竞争关系, 即基尔霍夫型非线性弱阻尼项与对数非线性项时遇到难度.为了克服这些困难, 启发于文[2,13]的思想, 从问题正则解的局部适定性出发, 利用稠密性理论和紧性理论导出局部弱解的适定性.并通过修正能量泛函技巧将局部解推广到了整体解.同时利用反证技巧, 得到具有负初始能量解的有限时刻爆破现象.

本文的剩余部分结构如下: 第二节, 我们将证明问题(1.1)-(1.3)弱解的局部适定性; 第三节中, 给出当p<γ时弱解的整体适定性.关于p>γ时具有负初始能量解在有限时刻发生爆破的结论, 在第四节中导出.

整文中, C及Ci(i = 1,···)在不同表达式中可能表示不同的正常数.同时, 记空间H :={u ∈(Ω):∆u ∈L2(Ω)},且赋予内积(u,v)H:=(∇u,∇v)+(∆u,∆v),其中(·,·)表示L2(Ω)的内积.此外,(Ω)中的模取为∥∇u∥2.

2.弱解的局部适定性

本节中, 我们将先证明问题(1.1)-(1.3)正则解的存在唯一性, 之后, 通过稠密性理论得到局部弱解的存在唯一性.注意到, 得到弱解局部适定性之前, 先证明正则解的原因在于: 证明基尔霍夫型非局部阻尼项的收敛性时, 需用正则解的一些结果.

由ODE标准理论可知, 上述Cauchy问题(2.1)-(2.3)在区间[0,Tm),Tm> 0上存在唯一解bjm(t), 我们将通过接下来的先验估计将解延伸到[0,T].

第二步 先验估计.

因此, 由(2.8)我们得到

再由σ的连续性及(2.2), (2.3)可得

其中L2为与m无关的常数.

其中

利用Young不等式, σ′的连续性及(2.9), 我们可以估计I1如下:

由(2.23), (2.24)及Aubin-Lions引理可得

因此um−→u, a.e.(x,t)∈Ω×(0,T].这表明

另一方面, 由(2.5), (2.9)及嵌入不等式, 我们导出

在(2.1)-(2.3)中取极限可得

第四步 唯一性.令u1和u2是问题(1.1)-(1.3)的解并记z :=u1−u2, 则由(1.1)我们可知z满足如下的方程:

用zt代替上式中的ωj, 我们得到

下面, 我们将估计I4∼I6.首先, 应用平均值定理, 存在θ ∈(0,1), 我们导出

结合(H1), 我们可以对I4估计如下:

对I6, 用Hder不等式得到

其中G(s)=|s|p−2s log|s|.再由平均值定理及(2.5), 存在ξ ∈(0,1)使得

对上式从0到t上积分, 应用(2.25)和Gronwall不等式, 可知存在正常数L4使得

且

因此, 以上收敛性并结合(2.28)允许我们对问题(1.1)-(1.3)取极限, 且得到弱解满足

此外, 关于局部弱解的唯一性需要用正则化方法, 且可由Visik-Ladyzenskaya的标准方法来得到.[14]14−16综上所述, 我们得到问题(1.1)-(1.3)存在唯一的局部弱解.

注2.1局部弱解的唯一性不可用常见的唯一性证明方法的原因在于: 对偶积⟨H−1(Ω),L2(Ω)⟩没有意义.

3.弱解的整体适定性

本节中, 当p<γ时, 结合连续性原理, 我们得到与第一节中的局部弱解相同正则性的意思下问题(1.1)-(1.3)整体适定性.我们先给出下面引理, 将在证明中起到关键作用.

其中µ满足适当条件且我们只需证明F(t)满足指数形式有界, 即通常的能量E(t)得到控制.

4.爆破现象

本节中, 我们利用反证技巧得到, 当p > γ时问题(1.1)-(1.3)具有负初始能量的解在有限时刻发生爆破.

引理4.1[11]若满足则存在一个只依赖于Ω的正常数C使得下式成立

现在, 我们陈述有限时刻发生爆破结论.

定理4.1假设(H1), (H2)成立, p > γ且令(u0,u1) ∈Ω)×L2(Ω), E(0) < 0, 则问题(1.1)-(1.3)的解在有限时刻发生爆破, 即Tmax<+∞.

证利用反证技巧, 假设问题(1.1)-(1.3)解整体存在, 即Tmax=+∞.我们引入辅助函数

其中正常数T1将在之后给出.且由E(t)的单调性可知: H′(t)=−E′(t)≥0, 且

并由条件(H1)中σ(s)的连续性, 我们有

其中正常数η将在之后给出.

且对y(t)直接求导, 并利用(4.5)式, 我们有

进一步, 引入0

且引理4.1的条件成立.

下面, 我们估计(4.7)式右端最后一项.由引理4.1可得

并结合(4.2)和Young不等式, 我们导出

将上式代入到(4.7)并整理得到

此外, 应用(2.5), (4.3), H(t)的定义和嵌入不等式, 我们得到

且上式与(4.2)和(4.10)结合, 我们导出

其中最后一式由(4.12)得到.显然, (4.17)与(4.18)产生矛盾且我们知Tmax<+∞.定理4.1证毕.