数学软件在数学建模中的应用

范亚茹，亓宇欣

(1. 西南民族大学数学学院，四川成都 610065；2. 首都师范大学教师教育学院，北京100048)

数学源于生活，又运用于生活. 数学建模运用数学思想、理论和方法，以解决和解释现实问题为目的，被广泛地应用于各个领域[1-5]. 数学建模竞赛是高等院校培养大学生创新能力和实践能力的一个重要手段.根据调查[6]，参加过数学建模竞赛的大学生的创新能力相对于没有参加过数学建模竞赛的大学生较强，参加数学建模竞赛获得奖项的大学生的创新能力水平要明显高于未参加数学建模竞赛大学生的创新能力水平，特别是获得国家级奖的大学生的创新能力.所以，数学建模活动对于大学生的创新能力是有显著影响的.

目前，数学应用软件(如 MATLAB，SPSS，Visual C ＋ ＋，Python，JAVA 等)在大学课程的教学中已广泛开展和实施[7-10].编程软件具有强大的符号处理和绘图功能，能辅助数学表达式的计算和推导，验证数学假设和猜想，求解数学模型的解析解，展示静态和动态的图表分析结果.将编程软件与大学课程的理论知识相融合，应用于数学建模，创新创业等竞赛活动，能让学生真正地将书本知识用于求解实际问题，切实感受到理论与实践相结合的高效性.

本文以2021 年全国大学生数学建模竞赛中的B题为例，运用统计软件SPSS(Statistics Package for Social Sciences)和科学计算软件MATLAB(MATrix LABoratory)高效求解部分问题并进行分析.SPSS 是世界流行的统计软件之一，它采用类似Excel 表格的方式输入与管理数据，有完整的编辑、统计分析、报表、图像制作等功能，易学易用，操作简单[11-14].MATLAB 软件将数值计算、符号计算、图像处理、系统仿真和程序流程控制等功能集成在一个环境中，并能够与其他程序设计语言通过应用接口连接，具有许多面向特定应用领域的工具箱，功能强大，开放性强[15-18].如果学生在数学建模竞赛中，灵活运用SPSS 和MATLAB 软件统计和分析数据，能更高效地解决问题，更深入地分析问题，建立更优的数学模型.

文章的结构如下:接下来的第二部分是2021 年全国大学生数学建模竞赛B 题题目；第三部分是采用MATLAB 和SPSS 数学软件对竞赛题目的求解与分析；第四部分是全文总结.

1 数学建模竞赛B 题题目

B 题 乙醇偶合制备C4 烯烃

C4 烯烃广泛应用于化工产品及医药的生产，乙醇是生产制备C4 烯烃的原料.在制备过程中，催化剂组合(即:Co 负载量、Co/SiO2 和 HAP 装料比、乙醇浓度的组合)与温度对C4 烯烃的选择性和C4 烯烃收率将产生影响.因此通过对催化剂组合设计，探索乙醇催化偶合制备C4 烯烃的工艺条件具有非常重要的意义和价值.

某化工实验室针对不同催化剂在不同温度下做了一系列实验，结果如附件1 和附件2 所示. 请通过数学建模完成下列问题:

(1)对附件1 中每种催化剂组合，分别研究乙醇转化率、C4 烯烃的选择性与温度的关系，并对附件2中350 度时给定的催化剂组合在一次实验不同时间的测试结果进行分析.

(2)探讨不同催化剂组合及温度对乙醇转化率以及C4 烯烃选择性大小的影响.附录:名词解释

选择性:某一个产物在所有产物中的占比.

乙醇转化率:单位时间内乙醇的单程转化率，其值为100%*(乙醇进气量-乙醇剩余量)/乙醇进气量.

表1 附件1 部分数据Table 1 Part of data of attachment 1

表2 附件2 数据Table 2 Data of attachment 2

2 求解与分析

我们先用MATLAB 软件，将附件1 中的温度、乙醇转化率、C4 烯烃的选择性数据转化成图形，便于观测.下图分别是编号 A1、A2、A5、A11 催化剂组合方式中温度、乙醇转化率、C4 烯烃的选择性的关系图.

图2 相关性分析流程图Fig.2 The flow-sheet of correlation analysis

图1 表明随着温度的升高，乙醇转化率、C4 烯烃的选择性都在升高，呈正相关关系. 乙醇转化率图形更陡峭，而C4 烯烃的选择性图形更平缓，表明乙醇转化率受温度影响较大.

图1 乙醇转化率、C4 烯烃的选择性与温度间的关系图Fig.1 The correlation between temperature and ethanol conversion，C4 alkene selectivity

其次，我们通过SPSS 软件中的相关性分析进一步研究问题.由于附件1 中有21 种催化剂组合方式(A1-A14，B1-B7)，为了节省论文空间，我们以编号A1 催化剂组合方式为例. SPSS 软件可以直接读取Excel 数据文件，然后对三个变量进行定义；在“分析”菜单栏中的“相关”子菜单下选择“双变量”，可进行两两变量的相关性分析；具体操作步骤如下图所示，其余催化剂组合方式的相关性分析步骤一致.

编号A1 的催化剂组合方式的乙醇转化率、C4 烯烃的选择性与温度间的相关性结果分别如表3 和表4所示，其中皮尔逊相关系数(Pearson correlation coefficient)反映两个随机变量之间的线性相关程度；显著性(双尾)值反映两个随机变量之间的相关性的显著性，其值介于0 到1 之间，越小表明相关性越显著.

表3 乙醇转化率与温度间的相关性(A1)Table 3 The correlation between temperature and ethanol conversion (A1)相关性

表4 C4 烯烃选择性与温度间的相关性(A1)Table 4 The correlation between temperature and C4 alkeneselectivity(A1)相关性

皮尔逊相关系数r的定义如下:

其中X，Y是两个随机变量，n是样本数量(X，Y的维度)，分别是X，Y的样本平均数.r的取值介于-1到1 之间，取值为1 时，表示两个随机变量之间呈完全正相关关系；取值为-1 时，表示两个随机变量之间呈完全负相关关系；取值为0 时，表示两个随机变量之间线性无关.

显著性(双尾)值p在相关性分析中，与皮尔逊相关系数是相辅相成的. 当显著性水平一定时(通常为5%)，p≥0.05 表明两个随机变量的相关性不显著，p＜0.05 表明两个随机变量的相关性显著，且p越小表明相关性越显著.

从输出结果表3 可以看出乙醇转化率与温度间的皮尔逊相关系数为0.965，显著性(双尾)值是0.008( ＜0.05).表明当温度升高时，乙醇转化率在增加，且乙醇转化率与温度间有较强的线性相关性. 同理，表4 显示C4 烯烃选择性与温度间的皮尔逊相关系数为0.887，显著性(双尾)值是0.045( ＜0.05).当温度升高时，C4 烯烃选择性也在增加，C4 烯烃选择性与温度间的线性相关性一般.通过比较表3 和表4中的皮尔逊相关系数和显著性(双尾)值，发现温度与乙醇转化率的线性相关性要比与C4 烯烃的选择性的线性相关性较强，正如图1(b)所示.

对附件1 中的每一种催化剂组合方式，我们都进行了乙醇转化率、C4 烯烃的选择性与温度间的相关性分析，结果如表5 所示.对于编号 A5、A8、A9、A11、A12、A13、B1、B2、B3、B5、B6、B7 的催化剂组合方式，乙醇转化率与温度间的皮尔逊相关系数小于C4 烯烃的选择性与温度间的皮尔逊相关系数，表明C4 烯烃的选择性与温度间的线性相关性较强.而其余的催化剂组合方式 A1、A2、A3、A4、A6、A7、A10、A14、B4，它们的乙醇转化率与温度间的皮尔逊相关系数大于C4烯烃的选择性与温度间的皮尔逊相关系数，表明乙醇转化率与温度间的线性相关性较强. 正如图1(a)和(b)所示，A1 和A2 催化剂组合方式中，乙醇转化率与温度存在较强的线性相关性；而A5 和A11 催化剂组合方式中，C4 烯烃的选择性与温度存在较强的线性相关性，如图1(c)和(d)所示.

表5 乙醇转化率、C4 烯烃的选择性与温度的皮尔逊相关系数Table 5 Pearson correlation coefficients between temperatureand ethanol conversion，C4 alkene selectivity

我们继续用MATLAB 和SPSS 软件研究附件2 中350 度时给定的催化剂组合在一次实验中乙醇转化率、C4 烯烃的选择性与时间之间的关系.图3 表明随着时间的增长，乙醇转化率图形迅速下降，而C4 烯烃的选择性图形平缓波动，表明时间对乙醇转化率影响较大.表6 显示乙醇转化率与时间的皮尔逊相关系数为-0.966，负相关，即乙醇转化率与时间存在较强的线性相关性，当时间增长，乙醇转化率减少. C4 烯烃的选择性与时间的皮尔逊相关系数为0.215，正相关，即C4 烯烃的选择性与时间不存在显著的线性相关性.乙醇转化率与C4 烯烃的选择性的皮尔逊相关系数为-0.150，负相关，表明乙醇转化率与C4 烯烃的选择性线性相关性不明显.

图3 乙醇转化率、C4 烯烃的选择性与时间的关系图Fig.3 The correlation between time and ethanol conversion，C4 alkene selectivity

表6 乙醇转化率、C4 烯烃的选择性与时间的相关性Table 6 The correlation between time and ethanol conversion，C4 alkene selectivity相关性

综上所述，乙醇转化率与催化剂组合方式、温度和时间都有较强的相关性，而C4 烯烃的选择性与催化剂组合方式和温度有较强的相关性，时间和乙醇转化率对C4 烯烃的选择性影响较小.

3 结论

上述例子表明大学生数学建模竞赛题目通常求解难度大，求解方法不唯一，且有复杂的应用背景.解决这样的难题不仅需要实际问题的背景知识和足够的数学理论知识，计算机软件应用能力及编程能力也非常重要.在数学建模过程中，在思路和方法确定的情况下，复杂的运算可由数学软件完成(如MATLAB，C ＋＋和Python)；在方法思路不明的情况下，数学软件可以测试构思、指引方向并验证猜想.总之，数学软件是数学建模必不可少的重要工具，运用数学软件高效地解决社会问题应是当代大学生必备的技能.