平面几何中与动点有关的最值问题

崔怀胜

【摘要】动点和最值的综合问题是初中数学中的重点和难点，很多学生遇到此类問题时不知道如何下手.因此，教师有必要在复习阶段引导学生系统地将常见的动点和最值的综合问题进行归类分析和深化探究，使之掌握解决此类问题的基本思路和常用方法.

【关键词】平面几何;动点问题;最值问题;中考真题

平面几何中的动点和最值综合问题常常出现在初中数学各类试题中，而且多以压轴题的面目示人. 难度大，分值高，让诸多基础差的学生望而却步.动点问题就是在题设图形中存在一个或几个可移动的点，探寻移动点的几何关系的问题.平面几何中最值问题大都归于“两点之间的连线中，线段最短”和“三角形两边之差小于第三边”等模型.掌握解决动点和最值综合问题的基本思路，举一反三.笔者结合教学实践优选几道2022年中考真题对如何解决动点和最值综合问题进行探讨.

1一个动点

例1如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF.连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值.

解如图2所示，当点E在BC边上时，过点F作FM⊥AC，过点D作DH⊥FM于点H，

易证△ABE≌△AMF，

则AM=AB=4，

CM=AC-AM=1，∠AMF=90°，

故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小.在△CMJ与△CDA中，

所以Rt△CMJ∽Rt△CDA，

所以Rt△CMJ∽Rt△DHJ，

如图3所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转∠BAC的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR，DK⊥FR，由题意可知，∠DAE=∠RAF，

所以△ADE≌△ARF，

所以∠ARF=∠ADE=90°

故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小.

由于DQ⊥AR，DK⊥FR，∠ARF=90°，

故四边形DQRK是矩形，

所以DK=QR，

注本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用.单个动点问题相对容易解决，但是有时也需要结合题意转变思路.

2两个动点

解因为点E是AC的中点，

根据勾股定理得

由翻折知

由旋转知EF=EG，

所以点G在以点E为圆心，EG为半径的圆上，

所以B′G的最小值为B′E-EG，要B′G最小，则EG最大，即EF最大，

因为点F在AD上，所以点在点A或点D时，EF最大，

注本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称线的性质，点到圆上一点距离最值问题，正确的添加辅助线是解题的关键.

3三个动点

例3如图6，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，且BE⊥DC.

（1）求证：四边形DBCE为菱形;

（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P，M，N分别在线段BE，BC，CE上运动，求PM+PN的最小值.

解（1）证明：略;

（2）作N关于BE的对称点N′，过D作DH⊥BC于H，

由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N′在DE上，所以

PM+PN=PM+PN′，

所以PM+PN≥MN′，

因为DE∥BC，

所以MN′的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，

在Rt△DBH中，

∠DBC=60°，DB=2，

注两个或三个动点类型的问题是一个动点问题的“加强版”，属于初中数学中的高难度试题，常与实际问题结合设问.解决此类问题，我们要结合数学知识来寻找多个动点之间的几何关系和函数关系，让动态问题变成有规律可循的静态问题.