数学认知结构视域下的教学实践与思考

秦俊怡

[摘要]从学生的数学现实出发，设计章起始课教学的情境、问题、活动，引导学生类比思考与探索，帮助学生在不等式及其解集知识学习中科学建构、适切运用、有效优化数学认知结构，提升数学思维，发展数学能力.

[关键词]认知结构;章起始课;不等式;概念

数学认知结构是学生获得数学知识后，在头脑中形成的概念系统、表征系统和加工系统.就其机能而言，包括两个方面：理解数学问题和解决数学问题[1].即通过学习思路与方法的有效引领，学生的数学新概念得以产生、理解、再现、发展，知识架构逐步完善，实现以不同方式解决数学问题的目标.而章起始课多为概念课型，是数学教学的重心任务，具有统摄全章、提纲挈领的作用，能让学生在新旧知识和经验间架起沟通的桥梁，突破认知限制，“上一层楼，穷千里目”.2020年，笔者积极参加广州市越秀区教师研讨课活动，执教课题是人教版教材七年级下册第九章“不等式与不等式组”第1课时——不等式及其解集，在章起始概念课的背景下，开展建构、运用和优化学生数学认知结构的教学探索.现将教学主要环节及相关分析撰写成文，以期同行之斧正.

明确学习目标

《义务教育数学课程标准（2011年版）》涉及本课时内容的目标要求：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解不等式;探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用不等式进行表述的方法;通过用不等式表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识[2].因此，本节课的学习既要关注短期目标，更要重视长期目标.

短期目标：（1）了解不等式的概念，会用不等式表示简单的数量关系;（2）理解不等式的解的概念，会判断某个数是否为某个不等式的解;（3）理解不等式的解集的概念，会直接写出简单的不等式的解集，并在数轴上表示.

长期目标：通过分析问题情境中的数量关系，经历“数学抽象”的过程，体会不等式是刻画现实世界的一种有效数学模型.

设计学习路径

1.分析学情

学生完成一次方程（组）的学习后，对一次方程（组）的认识已经具备一定的积累，包括知道一次方程（组）的相关概念，解一次方程（组）的步骤，以及会用一次方程（组）表示问题情境中的等量关系，但对不等关系的了解不够深入，处于认知的朦胧阶段.此时，在学生已有的认知基础上，通过类比方式引入新知识——不等式及其解集，充分发挥章起始课统整引领和心理学正向迁移的积极作用，铺设一条明确、合理、高效的学习之路，助力学生数学认知结构的自然生长.

2.诊断困惑

初学列不等式表示问题中的不等关系时，有些学生会因认知惯性列出表示等量关系的方程，甚至用小学列算式的方法解决问题.能用算式或方程得到问题的结论，为什么还要列不等式？要摆脱上述的学习干扰和困惑，教师必须引导学生正确理解问题情境，分析其中的不等关系，将符号化、模型化思想进一步加固和发展，即承认和尊重数学认知结构存在的事实，重整和优化学生的数学认知结构.

3.确立架构

如何引导学生的数学认知结构由等量关系发展到不等关系，从算术思维转变为代数思维？创设数学情境、组织数学活动、提炼数学概念、解决数学问题是一种行之有效的策略，如图1所示的教学框架应运而生.

实施教学过程

1.探索不等式的概念

教师展示图片，以问题组的形式呈现情景1：

（1）姚明的身高xm高于刘翔的身高1.89m，如何表示x与1.89之间的大小关系？

（2）小红和背着书包的小军玩跷跷板，当大家都不用力时，小军在下，小红在上.已知小红的身体质量为pkg，小军的身体质量为qkg，书包的质量为2kg，如何表示p与q之间的大小关系？

（3）庆祝中华人民共和国成立70周年国庆阅兵的预计费用和实际支出是不相等的，预计费用是m万元，而实际支出是n万元，如何表示m与n之间的大小关系？

生1：（1）x>1.89;（2）p

追问1：上述式子分别用了什么符号表示大小关系？

生2：分别用了符号“>”“<”“≠”.

追问2：像这样的式子，你能给出它的定义吗？

生3：用符号“>”“<”“≠”表示大小关系的式子，叫不等式.

追问3：像-1>-2，3<4这样的式子，是否也叫不等式？

生4：是，因为这些式子是用符号“>”“<”来表示大小关系的.

教学说明创设问题组情境1，把教材中引入不等式的概念的实际问题后置为下文的情境2，原因在于不等式的概念作为章起始课的首个概念，开展探索时应以“学”定“问”.情境1问题组的设计充分考虑学生的已有经验、学习基础、思维特点，由浅入深，由感性到理性，更符合学生的认知水平.通过教师连串追问的引导，学生在理解的基础上经历数学概念的抽象过程，构筑自己的“认知新区”，感受成功的喜悦.

2.探索不等式的解及解集的概念

教师呈现问题情境2：

上午11：20，大头儿子一家人驾车从家里出发，匀速开往离家50km的游乐场，要在12：00之前到达，车速应满足什么条件？

师：如果先从时间的角度来思考，如何求车速应满足的条件？

追問1：以上两种解法都忽视了问题中的什么数量关系？有什么关键词可以体现这种关系？

生（齐）：忽视了问题中的不等关系，从关键词“之前”可以看出.

追问2：如何用数学语言表示不等关系？

追问3：如果再从路程的角度来思考，又如何求车速应满足的条件？

追问4：能更明确得出x应取哪些值吗？

生（齐）：x=80，x=78，x=76，x=75.5等（学生回答不一）

追问5：那x=75符合题意吗？

生（齐）：这不就是一元一次方程的解的问题嘛！（学生自发展开讨论）

教学说明学生的热议切合教师的课堂预设.教师适时引导学生类比一元一次方程的解的概念，让学生通过比较来发现规律，继而师生共同归纳不等式的解及解集的概念.若把一元一次不等式中未知数的最高次數升为2，就是以后将在高中学习的一元二次不等式.通过新旧知识的横纵联系、逻辑连贯，学生新的数学认知结构不断搭建，极大增强数学学习的内驱力.

3.探索不等式的解集的数轴表示方法

教师呈现问题情境3：

在如图2所示的数轴上，实数x表示的点向右平移3个单位长度，得到的点在表示6的点的右侧，用含x的不等式表示上述问题.

生10：x+3>6.

追问1：请直接说出该不等式的解集.

生11：x>3.

追问2：能用另一种形式表示该不等式的解集吗？

生12：借助数轴，标出数轴上的某一部分，其中的点对应的数值都是该不等式的解，那么该不等式的解集就在数轴上表示出来了.（学生画图，教师点评）

教学说明教材对于“不等式的解集在数轴上表示”的处理一带而过，学生未必能很好理解和接受.教师以数轴为背景设计问题情景3，通过追问1和追问2，引导学生由“数”向“形”过渡，使教学活动更为自然合理.学生从中感悟“数”的严谨与“形”的直观，实现抽象思维与形象思维的交互运用，强化对数形结合思想的认知.

反思教学所得

1.科学定位，建构数学认知结构的概念系统

教师必须厘清数学教材的结构和学生数学认知结构的辩证关系，站在“高处”整体布局，精心设计每一节课.本节课的教学设计和实践按照数学概念形成和发展的三个阶段，调整了教材的结构，更符合学生认知发展的规律.第一阶段，是新概念的产生，在学生的知识发展还不充分的前提下，通过创设简单的实际问题情境（情景1问题组），引导学生思考并探索，收获不等式的概念的“雏形”;第二阶段，是新概念的掌握和整合，在学生产生了不等式的概念的基础上，通过类比方程的解的概念加深理解，进一步得到不等式的解及解集的概念，整合为概念域;第三阶段，是概念（域）的精化发展，此时学生对概念（域）的认知进入新的发展阶段，通过不等式的解集的数轴表示由“数”及“形”的思维转变，提升学生解决较难问题的关键能力.如此下来，学生数学认知结构的概念系统得以自然且高质量地建构.

2.适切选材，活用数学认知结构的表征系统

数学先驱们通过创造直观教学用具，如数轴、坐标系、图表等，为概念和概念系统提供有力的认知工具，实现数学知识在头脑中的再现，形成表征系统.在章起始课“概念系统”的统领下，选取合适、贴切的素材，帮助学生直观、形象理解数学知识，改变机械记忆数学知识的学习方式.如本节课情境2中改编教材后的实际问题更贴近学生生活，情景3中创设的数轴情景问题更适合、贴切教材，这些示例正是灵活运用数学认知结构的表征系统的“鲜活”说明.但在学习数学的过程中，旧的认知结构往往会干扰新的认知结构的建立和表征.如在本节课情景2的教学环节中，教师的连串追问引起了学生列算式和列方程两种旧的思维模式，在解决问题时与列不等式产生了矛盾.因此，教师对学生表征新旧认知的对比引导显得尤为重要（如表1和表2所示），而学生的认知结构在教师的对比引导下不断推陈出新、自我完善.

3.有效整合，优化数学认知结构的加工系统

数学知识具备解决问题的智力性力量，如把带方向的折线加工在数轴上，就能直观表示不等式的解集.由此可见，数学认知结构的加工系统可联动数学概念系统和表征系统，以较高的适应性动态解决不同的数学问题（如图3所示）.

如何在教学中优化数学认知结构的加工系统？从横向看，加强知识间的内在联系和有效整合，如方程、不等式与函数，三角形、四边形与圆，统计与概率等，促进学生建构“面面俱到”的数学认知结构;从纵向看，遵循学生认知结构的发展规律，启发和引导学生经历从算术思维到代数思维、从实验几何到论证几何、从常量数学到变量数学的质变，不断深化学生的数学认知结构.

综上，数学认知结构的三种“成分系统”在学习新知与解决问题时，是紧密连接、相辅相成的，在章起始课的教学中更能凸显其作用.学生的数学认知结构是在发现和提出问题、分析和解决问题的过程中主动建构起来的，教师应有序地、整体地、系统地发挥主导作用，促进学生数学思维和能力的发生与发展.

参考文献：

[1]孙昌识，姚平子.儿童数学认知结构的发展与教育[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.