践行学为中心，提升数学交流素养

王卓凡

[摘要]以学生的问题作为教学过程的导向，并以学生的活动作为教学过程的本体，把“教为中心”的课堂转变为“學为中心”[1].以“方差”一课为例，通过精读教材、设计理解性问题、给予精当学法指导，以期达到深思辨真交流.

[关键词]学为中心;方差;精读教材;数学交流

“学为中心”的核心理念是以学生的学习为中心，教学中把学生作为教学的真正主体，让学生尝试自主学习、探究、生生合作、交流探讨，主动获取知识[2].而数学交流是通过数学思维的方式，与文本信息、他人进行数学对话、沟通互动的活动过程[3].笔者以人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册（以下简称人教版《教材》）“方差”一课为例，就引导学生通过独立阅读、有序思考、清晰表达交流，在交流中促进数学概念的理解，与同行交流研讨.

观课的思考

在“方差”的概念教学中一线教师常出现以下做法，做法1：教学重点放在方差公式的应用上，确保考试会做题不吃亏;做法2：课本没有给出方差公式的推导过程，讲了学生不理解，干脆绕过这个难点，精力放在方差公式训练上;做法3：让学生自学，能理解就理解，不能理解就加强方差公式应用训练.

以上做法背后反映教师教学的三个错误观点：观点一，教学的功利性;观点二：教学以教师为中心，只强调教师的权威性，学生的服从性;观点三，教学以知识为中心，只重视知识的应用，不重视知识的产生和发展过程、只重视知识的结论，不重视对知识的理解，忽略了知识学习过程中人的主观感受和个性化理解.

备课过程中的思考

思考1：本节课的内容有哪些规律和特点？

“方差”是规则下的概念课，其核心就是立规矩[4].规则下概念课可从“立情境——建规则——下定义——再运用”的步骤实施，通过问题情境，运用创新思维，构建解决问题的规则，不断调整规则、优化规则、完善规则，从而建立概念.

思考2：如何在本节课中体现“学为中心”的理念？

“学为中心”的课堂有两个基本特征：一是学生尝试独立学习和合作学习，二是教师组织、引导和帮助学生学习，做学生自主学习的推动者和促进者.学生在数据处理过程中主动去发现问题并结合思考性问题促进概念的深人理解，教师给予指导和帮助，使其能够感受、理解和领悟数学概念.

思考3：本节课的教学目标是什么？

本节课主要的学习内容是方差的概念，关键是理解算法规定的合理性，从算法中体会方差的统计含义.在本节课之前，学生已学过数据集中趋势的统计量.因此通过本节课的学习，学生不仅会用方差表示数据的离散程度，能比较两组数据的变化范围和波动大小，还会用“平均数+方差”方法去解决问题，培养数据说话的统计意识与交流习惯.

教学过程简析

1.立情境，引新知

问题1：甲、乙两名射击队员都很优秀，现只能挑选一名队员参加比赛.如果你是教练，你准备如何选拔？

问题2：如表1所示，甲、乙两名队员的一次比赛成绩，依据这次成绩，请用你的标准来计算一下，看看甲、乙两人让谁去？

师：问题1中，你是怎选拔队员参加

比赛？

生（齐）：看看谁的成绩高？

师：你们怎么知道谁的成绩高？

生（齐）：知道他俩的成绩就可以吧.

师：对，要用数据说话.

教师让学生4分钟时间独立阅读和

思考问题2，引导学生对话交流.

生1：算出两者的平均数是9.8的，两者没有差别.

生2：去掉极端值10后也许可以.

师：10是否都是两组数据中的极端值？

生1：平均数为9.8，10不是极端值.

生3：乙满分次数多，但是乙低分数据也比甲多.

生4：甲比较稳定.

师：怎么看出甲比较稳定？

生4：甲数据中往9.8靠的数据比乙多，所以甲比较稳定.

师：真不错，两组数据相差不大时，我们可以用数据波动的大小来分析，但是现在数据以表格呈现欠直观，我们可以从什么角度去研究？

生（齐）：从形的角度.

教师引导学生画出散点图.

师：请大家结合图1，探究能够用哪一个量来刻画数据的稳定性.（独立思考4分钟，小组交流2分钟）.

生4：我们组认为与平均数这条基准线距离越大，波动越大.

师：这是从形的角度看，能否从数的角度表示？

生5：我们组认为每一个量与平均

数9.8的差值的和，和越大则越不稳定.

生7：是否要除以次数10？

生8：不需要，它们的和越大就越稳定.

师：不错，利用差值的绝对值之和可以刻画数据波动的程度.

设计意图创设以射击为情境，激发学生主动积极参与探究.通过阅读材料思考，培养学生用数据说话的意识和习惯;同时通过问题调动学生运用原有知识经验去设计挑选标准不能解决问题，引发学生的认知冲突，教师通过限时思考、小组合作、全班展示等形式激发学生进一步探究，让学生在经历数据分析过程中提出和发现问题，感受数形结合解决问题的优越性，不断积累解决问题的经验.

2.深交流，建规则

问题3：如表2所示，甲、乙两名射击队员五次的射击成绩如下，你认为谁的波动大？

追问1：能否使用差值的绝对值之和刻画甲、乙这两组数据的稳定性？

追问2：散点图上点到平均值这条基准线的距离实质是什么？

追问3：我们学过哪些知识可以求两点之间的距离？

追问4：试用符号语言写出问题3刻画数据稳定性的公式？

设计意图本活动再引发学生认知冲突，原来的“差值之和绝对值”不能解决问题，倒逼学生重新制定规则标准，在探究中过程中，教师做学生的合作者、引导者，激发学生更为主动去发现问题和解决问题，通过课堂上通过指向学生思维的深度和指向学生思维过程的四个追问使学生进行数学交流，制定不同的量刻画数据波动的标准，渗透数形结合思想、从一般到特殊的思想及建模思想.

3.下定义，再运用

问题4：如表3所示，为了减少选拔优秀运动员参加比赛偶然性，以某个赛季的7次比赛总成绩为依据进行选拔，数据如下：请你帮助教练选拔队员.

师：能否使用问题3中得到的结论？

生9：不可以吧，他们的次数不同，

这样不公平.

生10：大家的总分不同.

师：那有什么办法？

生11：可以求他们的平均值，参加了多少次比赛就算几次，稳定性应该不变.

师：不错.数据量不统一，可以用平均数来解决.

设计意图差值的平方的平均数不受统计次数的影响，引导学生继续完善方差公式，归纳方差概念并从方差公式的结构上去理解方差的意义.培养学生有序思考，从验证对不对向演绎合不合适转变，体验公式简洁美，进而提升学生数据分析技能和数据分析评判质疑能力.

4.勤反思，善总结

通过本节课的学习请同学们回答什么是方差，方差有什么用，方差的具体计算步骤又是怎样[5].

设计意图引导学生从方差是什么、为什么、怎么用，理解知识的内涵与外延，弄清学习知识的必要性，掌握运用知识的思考顺序，内化知识提升素养.

教学反思

从前述的“学为中心”的核心理念及践行中看出，学生的数学交流素养得到明显提升.数学交流素养的培养，需要根据数学课程的基本理念和学科特点、教学的主要目标和具体内容、学生的认知特点和实际情况，还有教师的风格和特长等，来选用教学方式和方法.例如，通过提出问题、引导探究、点拨反思等积极创设合作与交流的机会，就该课实施有三点思考：

1.精读教材是进行数学交流的前提

教材开门见山地写明“除了平均数、中位数、众数这类型刻画数据的集中趋势的量以外，还有一类型刻画数据波动程度的量，其中最重要的是方差.”此话表明刻画数据波动程度的量不仅只有方差，但方差具有其优越性，那么其他刻画数据波动程度的量如何取舍？这需要教师根据学情进一步合理选用;其次教材通过选用章引言问题情境隐性回答“为何学”——引入方差的必要性及合理性、“怎么学”——借助散点图利用数形结合思想推导方差公式、“学什么”——从方差公式结构上探讨了方差刻画数据波动程度.

再次，读章头语明晰如下：一是平均数和方差分别是刻画数据集中和波动程度的量，说明两种刻画数据的统计量同等重要，且两者联系密切.二是揭示了研究本章的需要有样本估计总体的思想.又从“阅读与思考”中，对极差、方差、平均差和标准差等刻画数据波动的统计量进行介绍和比较，回答了为何方差在刻画数据波动的量中的重要地位.

人教版教材中方差的篇幅不长，但其内涵不简单：一是为什么要学方差？二是怎样运用数形结合的思想，从数据集中的统计量平均数过渡到刻画数据波动的统计量方差？这需要教师在整体观下通过精读教材处理局部知识与整体知识的关系，设计有思维规律的学习活动.

2.提出问题是进行数学交流的关键

数学交流需要从问题开始，问题的引领起着关键性的作用.需从学生最近发展区出发，设计具有逻辑性，理解性和有跨度性的问题，而非拼凑性、浅薄性、小步伐的问题，引导学生思考，帮助学生理解，发展学生思维能力.如本节课，笔者围绕“为何学方差”“怎样制定标准”“制定的标准是否合理”“新旧概念的辩证统一”设计四个为主线串联起整节课的学习内容的母问题，不断引导学生进行探究.同时在学生思维易受阻碍之处设置起点低、相对开放的、层次分明的一系列子问题链，激发思考、讨论和探究，促进数学交流，有助于促进概念感知、理解和运用.如在问题2中学生难以直观分析数据的波动程度时，学生思维难以切入时设置“数据以表格呈现欠直观，我们可以从什么角度去研究？”，让思维起步.又如在問题3中，通过追问“散点图上点到平均值这条基准线的距离实质是什么”，撬开思维定式，让学生“想得到”，从而促进深度思考.

3.相机点拨是进行数学交流的保障

“学为中心”并不是教师袖手旁观或以练代讲的课堂，亟须教师指导学生能动参与相应的教学活动和完成分析、归纳、比较、判断、推理、想象等思维活动的过程，在内化知识过程中通过交流表达，不断积累数学活动经验，最终发展思维能力.意味着教师在组织学生独立思考、小组合作研讨及班级展示活动中，通过倾听学生对话把握学生的思维逻辑，捕抓交流点，站在学生认知水平上给予评价、追问、示范等精当的学法指导，让学生用数学的思维去理解问题.如在问题3探究中，不少学生现象知识和思路储存于大脑却表达不出来的舌尖现象，无法表达怎样从平均差到方差思考过程.面对此现象教师可以通过学生自主探究和互评展示，抓住“点到直线之间距离”这一交流点，捕捉如“两点之间线段最短”“点与点之间距离”等浅表性浅层次的交流，通过追问“是否两点距离可以转化直角三角形边的长度”“勾股定理公式的运用”进而想得到用平方扩大数据间的差异，在教师的板演下概括出方差的意义：方差越大，数据的波动程度越大;方差越小，数据的波动程度越小.

“学为中心”理念下的教学要充分发挥学生的主观能动性，围绕能体现数学思维本质的有价值问题组织教学，引导学生积极进行数学思考活动，养成会阅读、会思考、会表达的数学学习习惯，提升数学交流素养.

参考文献：

[1]陈佑清.“学习中心课堂”教学过程组织的逻辑及其实现策略[J].全球教育展望，2016，45（10）：40-47.

[2]潘小梅.践行学为中心提升核心素养——“中心对称”的教学及其思考[J].中学教研（数学），2020（10）：1-5.

[3]刘永东.“倾听+串联”的数学交流方法探析[J].中国数学教育，2017（19）：3-6.

[4]卜以楼.生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M].西安：陕西师范大学出版总社，2018.

[5]张琼吉，刘永东，苏德杰，许世红.“方差”教学设计简案[J].中国数学教育，2017（19）：9-11.