推进减负增效 提升教学质量——暨“第十二届初中青年数学教师课例展示活动”总结

章建跃

（中国教育学会中学数学教学专业委员会）

一、概况

本次活动受到全国初中数学教师、教研部门、各会员单位的高度重视，得到展示教师所在学校的大力支持，得到中国教师研修网的高质量技术支持.本次活动共有117位各地选派的教师进行优秀课例展示.由58人组成的学术委员会对本次活动展示的优秀课进行了点评和指导.因为疫情防控的要求，本次活动全程都在线上进行，在线观看直播人数近30万人.衷心感谢全国各地初中数学老师和广大数学教育工作者对本次活动给予的高度关注，感谢你们的积极参与，大家辛苦了！

二、对活动满意度的调查（1310人参与）

1.对本次活动的总体评价，调查结果如表1所示.

表1

（1很不满意，5很满意.）

2.最感兴趣的环节，调查结果如表2所示.

表2

3.对评委点评的满意程度，调查结果如表3所示.（1很不满意，5很满意.）

表3

4.对选手展示的满意程度，调查结果如表4所示.（1很不满意，5很满意.）

表4

三、总体评价

本次活动坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务.

本次活动全面落实“双减”任务，着眼优化教学方式，强化课堂教学主阵地作用，提升学生课堂学习效率，切实减轻学生过重的课业负担，提升课堂教学质量.

本次活动根据深化义务教育教学改革提高教学质量的新要求，聚焦当前义务教育课程改革中的热点、难点问题，积极探索、大胆创新，特别是在运算的一致性、代数推理、尺规作图、几何直观、统计活动的意义、综合实践活动等方面开展深入研究与实践，涌现了一批具有示范意义的课例.

本次活动展示的课例注重把握数学内容的本质，努力发挥数学学科独特的育人价值，加强单元教学设计基础上的课时教学设计研究，体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性，积极探索基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学，努力创设恰当的情境、提出合适的数学问题，引导学生开展系列化数学活动，通过积极主动的数学思考和交流，获得“四基”、提高“四能”，从而使数学核心素养落实在课堂.

本次活动展示的课例坚持教学相长，努力做到“该讲的讲清楚，该放的放到位”.注重讲清重点、难点，通过先行组织者、课堂小结等各种方式帮助学生构建知识体系，引导学生主动思考、积极提问、自主探究.

本次活动展示的优秀课例注重融合运用传统与现代技术手段，重视情境教学；积极探索基于数学学科的课程综合化教学，大胆开展研究型、项目化、合作式学习；注重精准分析学情，重视差异化教学和个别化指导.

本次活动取得的预期效果，必将有力推动我国初中数学教育教学改革，引领“双减”背景下的初中数学课堂教学改革.

四、本次活动的特点

1.聚焦重点、难点课题，提供典型丰富课型

本次活动的课型非常丰富，有起始课、概念课、性质课、公式法则课、练习课、试卷讲评课、数学推理课（探究数学内部问题的综合实践活动课）、数学建模课（用数学解决现实问题的综合实践活动课）等.

例如，本次活动指定的“体育运动与心率”课题，属于综合与实践领域，要求以跨学科项目学习的方式，整合数学与其他学科的知识和思想方法，从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，发展应用意识、创新意识和实践能力.承担本课题的地区调动强有力的研究力量展开深入研究，给出了非常好的示范性教学案例.

2.教学设计科学化、规范化立意较高

教学设计比较好地体现了中国教育学会中学数学教学专业委员会（以下统称“中数专委会”）颁发的《中学青年数学教师优秀课评价标准（2021年修订版）》（以下简称《评价标准》）的要求，按“教学内容解析”“教学目标设置”“学生学情分析”“教学策略分析”“教学过程设计”五维度框架，或按“内容和内容解析”“目标和目标分析”“教学问题诊断”“教学媒体设计”“教学过程设计”“目标检测设计”六维度框架进行设计，使教学设计质量得到基本保证.

【说明】按照教学的一般理论，教学目标应该根据教学内容和学情确定.这样，教学目标应该在内容解析、学情分析之后呈现.但《评价标准》强调“严格按照国家课程方案和课程标准实施教学，确保学生达到国家规定学业质量标准”，而《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）规定了“内容要求”和“学业要求”.日常教学中，教学内容和教学目标必须遵循这一规定.所以，教学设计的任务，首先，是对《标准（2011年版）》规定的内容要求、学业要求进行分析，在此基础上明确教学目标；其次，再进行教学问题诊断，分析出学生现有的认知准备与教学目标之间的差距，得出教学难点的描述；最后，再给出消除认知准备与目标之间差距的教学策略.

教学设计能力是全面提升教师数学课程教材实施能力的关键抓手.中数专委会给出的教学设计框架，意在按照新一轮课程改革提出的“精选学科内容，重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实”的要求，以“数学的整体性，逻辑的连贯性，思想的一致性，方法的普适性，思维的系统性”为追求，设置单元内容及其解析（含单元教学重点）、单元目标及其解析、单元教学问题诊断（含单元教学难点）、单元教学支持条件、课时教学设计（含课时教学内容、课时教学目标、课时重点难点、教学过程设计、目标检测设计等）等栏目，要求在单元设计基础上进行课堂教学设计.实践表明，通过基于数学核心素养目标的“单元—课时”教学设计与实践研究，可以有效帮助教师在掌握教学设计方法与技能的过程中，提升数学理解水平，提升把握学生认知规律的水平，提升学情分析、情境与问题设计、学习评价及作业设计等方面的能力，进而提升数学育人能力.

3.注重数学整体性，为学生构建数学学习的整体架构

数学课程内容的一大特点是整体性，这种整体性主要表现为如下几个方面.

（1）同一主题内容中体现的数学整体性——纵向联系，主要包括一个内容的不同认知层次、不同角度认识之间内在的一致性、关联性，以及认识不同方面内容所采用的类似过程与思想方法.例如，数系扩充、数的运算及运算律，代数式的定义和运算，其内容、研究架构、过程和方法都有一致性，数、式及其运算是一个整体.

（2）具有内在联系的不同内容之间的实质性关联所体现的数学整体性——横向联系.例如，一元一次方程、不等式与一次函数，一元二次方程、不等式与二次函数中，以函数为主线，分别把三者“编织”成一个整体，把方程、不等式看成函数的某种（类）特定状态下特性.

（3）不同领域之间的融合所体现的整体性——综合贯通，主要是几何与代数之间的融合，体现了不同数学思想与方法之间的相互融合，形成具有统一性、内在一致性的数学一般观念，这是在最高层面上体现的数学整体性，其统摄性最强、适用性最广.几何直观与代数运算的融合，通过代数运算研究图形的性质（如锐角三角函数），利用直角坐标系表示几何元素，通过坐标的关系研究几何图形等，蕴含着综合性的数学思想，其结果是在更高层次上体现了数学的整体性.

（4）不同学科的联系与综合也是一种整体性的体现，在课程内容上表现为综合实践活动，是这一次课程改革所特别强调的.

本次活动的展示课中，许多教师注重在数学整体性的统领下，为学生建构数学学习的整体架构.

①在课堂起始阶段建立整体架构.

例如，在“平行线的性质”一课的起始，教师通过问题引导学生“复习旧知，厘清学路”.

通过图1，把相交线、平行线从数学内部关联起来，使之成为一个具有内在逻辑联系的整体.

图1

研究对象：从“相交线”到“三线八角”，类比从“相交线”到“垂线”（特殊的相交），从“三线八角”提出特例“两条平行线被第三条直线所截”.

研究内容与路径：概念—性质—特例（概念—判定—性质）.

发现和提出问题的方法：把判定“反过来”，以“两直线平行”为条件，能得出什么结果？

②在课堂小结时建立知识架构.

例如，在“正比例函数”一课的小结中，教师给出如图2、图3所示的两张图.

图2

图3

通过这两张图，以“研究对象—研究内容—研究方法”为基本架构，把初中阶段要学习的几类函数整合到一起，并且以正比例函数的整体架构给出研究函数的一般套路，在后续教学中不断让学生重温，就可以达到螺旋上升的理解.

③通过类比建立研究架构.

例如，在“二次函数的图象与性质”的教学中，教师用13分钟建立了如图4所示的框架，然后再具体展开研究.

图4

【说明】比较可惜的是，教师在电子黑板上书写这个框架，接着就清除掉了.这个框架应该在黑板上保留，以作为这堂课中指引学生自主学习的“导游图”.

4.注重“一般观念”引领作用，提升课堂教学品味

一般观念，是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质、代数性质、函数性质、概率性质各是什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用.能自觉地运用一般观念指导数学学习与探究活动，是实现从“知其然”到“知其所以然”，再到“何由以知其所以然”跨越的表现，是理性思维得到良好发展的表现，也是学生学会学习的标志.

例如，“一元二次方程根与系数的关系”是“方程论”中的一个重要的代数性质.从系统上看，这是对一元二次方程要素之间关系的认识.这里，“研究对象要素之间的关系就是性质”就是一般观念，它是学生发现和提出问题的“指路明灯”.如何发现这种“关系”呢？运算是代数学的根源，运算是发现各种各样代数性质的根本方法，“运算”就是一般观念.

本次展示课中，教师设计了如下问题串.

问题1：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），前面已经学了一元二次方程的概念和解法.它有实数根时系数要满足什么条件？

追问1：此时，方程的根可以怎样表示？

追问2：不妨把方程的两根记为x1和x2.由求根公式可知，一元二次方程的根由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式.除此之外，根与系数之间还会有什么形式的关系吗？

问题2：为了探索出更多形式的根与系数之间的关系，你认为还可以对两个根做怎样的处理呢？

如果学生想不到，可以进行如下引导性追问.

追问：在代数的研究中，运算是主角，我们可以通过运算发现和提出问题，通过运算发现规律，通过运算归纳出代数定理.通过对两个根的运算你能发现哪些结果？

问题3：通过探究我们得到了4个结果（对两根进行加减乘除），请同学们仔细观察，你觉得哪几个更适合作为一元二次方程根与系数的一般关系？

追问1：（在学生说出两根之和、之积的结果更加简单等之后）除此以外，还有其他原因吗？

追问2：（如果学生想不到，再引导）请大家思考一下x1-x2与x1+x2，x1x2的联系，能用两根的和、积表示x1-x2吗？

教师讲解：实际上，从运算上考虑，加法、乘法是基本运算，因此以两根之和、积为根与系数的一般关系更合适.

可以发现，这个设计非常好地体现了“一般观念引领下研究代数性质”的思想.教学实践也表明，在上述问题串引导下，学生代数学的学科特性——代数学的根源在于代数运算，通过运算发现问题和提出问题，通过运算发现规律，通过运算解决问题.

5.注重以逻辑连贯、具有思维挑战性的问题串引导学生开展系列化的数学学习活动

显然，教学中提出高水平问题需要以理解数学、理解学生为基础.本次活动中，展示教师普遍注意创设体现数学知识发生、发展需要，数学与生活联系的情境，使学生感悟数学知识产生的必然性；注重精心设计学生活动，采取问题引导学习的方式，让学生带着问题开展探索活动，将转变学生学习方式落在实处；普遍采用启发式、互动式、探究式教学，注重学生参与，让学生有主动学习的机会，教师采用追问等方式推动学生的数学理解.许多展示课中创设的问题串都体现了高水平问题的几个要点：（1）反映当前学习内容的本质；（2）在学生思维最近发展区内，对学生的思维形成挑战性——不轻易捅破“窗户纸”；（3）具有可发展性，形成系列问题；（4）具有可模仿性，实现从“问题引导学习，激发学生思维”到“学生自主提问，展开创新学习”过渡.

例如，在“加权平均数”一课中，教师创设了如下问题串.

情境导入：关注青少年的身高.已知某班级男生平均身高为170 cm，女生平均身高为160 cm，能否算出全班学生的平均身高？

问题1：（1）若1班有男生30人、女生20人呢？

（2）若2班有男生20人、女生30人呢？

（3）若3班有男生25人、女生25人呢？

思考1：已知男生人数、女生人数，在不计算的前提下，你能大致估计班级所有学生的平均身高吗？

思考2：平均数的计算结果是否符合估计值？它的大小和人数有关联吗？

问题2：（1）若某年级有男生240人、女生160人呢？

（2）若某初中学校有男生900人、女生600人呢？

思考3：到底是什么量影响了平均数？

思考4：影响因素在平均数公式中如何体现？

思考5：如何从数学角度说明男生30人、女生20人时，平均数偏向男生的平均身高？

问题3：若男生a人、女生b人呢？

权的古代释义：权，然后知轻重；度，然后知长短.物皆然，心为甚.——《孟子·梁惠王上》

问题4：一组数据x1，x2，…，xk出现的次数分别为f1，f2，…，fk，如何计算这组数据的平均数？

上述问题串围绕身高问题，采取“控制变量”的方法，在保持男女生平均身高不变的假设前提下，让学生初步感知“权”、明晰“权”、理解“权”.随着环环相扣的问题，学生对“权”的理解层层递进，从感知数据出现的次数对平均数结果的影响力大小进行“权”的定性描述，走向加权平均数的数学定义，给出定量计算公式.

6.遵循概念认知规律，经历完整学习过程

注重遵循认知心理学关于概念获得的相关理论，普遍注意以概念形成方式安排学习过程，完成“情境与问题—共性分析与归纳—抽象本质特征、下定义—关键词辨析—简单应用—联系与综合”的过程，让学生在观察与实验、分析与综合、归纳与概括中经历概念的抽象过程，把数学抽象、直观想象等核心素养渗透其中.

特别值得肯定的是，许多展示课在引入的必要性、概念抽象的过程性上有比较好的表现.例如，在“锐角三角函数的概念”一课中，展示教师注意利用本节课“章起始课”的地位，将研究课题置于三角形边、角关系的大背景下，说明引入锐角三角函数的必要性，发现和提出问题，构建研究框架.

先以“在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2.（1）△ABC的形状和大小是确定的吗？为什么？（2）你能求出其余的边长和内角吗？（3）为什么要作CD⊥AB？”引出“已知三角形的某些元素，求其他元素”的问题，并将问题聚焦到“解直角三角形”上.然后，以“关于直角三角形的边和角，我们已有哪些结论？”“还可以研究什么问题？”引出研究直角三角形边角关系的问题；再从锐角为30°，45°，60°得到直角三角形的大小可以改变，但对边与斜边之比不变的猜想；并以“在Rt△ABC中，∠A=37°时，无论大小如何都有∠A所对边与斜边之比为定值”进行验证；最后给出证明.

7.定理、法则、公式等注重自主发现

教学设计中，在“如何使学生想得到”上下了较多的工夫，力争通过问题情境促使学生实现自主发现.例如，本次活动的指定课题“平行线的性质”，展示教师先让学生回顾“平行线的判定”研究的问题、路径和方法；然后提出问题“将平行线的判定中的条件和结论互换，也就是以‘两条直线平行’为条件，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？”，从而明确要研究的问题；再类比“判定”的研究路径，确定“同位角—内错角—同旁内角”的研究路径；再类比“判定”的研究方法，通过验证的方法得出“性质1：两直线平行，同位角相等”；再通过推理证明“性质2：两直线平行，内错角相等”“性质3：两直线平行，同旁内角互补”.通过这样的设计，使学生发现和提出问题成为必然，而不是“撞大运”.

8.开始注意课堂学习评价的设计

学习评价是课堂教学的重要组成部分，主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习.在课堂教学设计中就注意建立旨在落实“四基”“四能”的学习评价设计，运用过程性评价考查学生在学习活动中的表现，诊断学生数学知识和技能的获得情况，以及数学思想方法、基本活动经验的达成水平，对于实现精准教学、达成减负增效的效果是非常重要的.例如，在“加权平均数”的教学设计中就专门给出了如下学习评价设计.

（1）理解“权”的意义，能够把实际问题中的“人数”转化为数学意义上数据的“权”，来衡量数据对平均数影响力的大小.

（2）会用“加权平均数”的方法计算一组数据的平均数.

（3）在解决实际问题的过程中，能提取数据中蕴含的信息，结合“数据本身”和“数据的权”两个方面综合分析，作为决策的依据.

（4）能在活动中积极表达想法，部分达成共识，并继续思考讨论存在异议的部分，进一步完善总结.

9.课堂小结注重结构化、系统化

本次活动展示的课例中，许多教师都不再提“学了今天的内容，你有哪些收获？”这样大而化之的课堂小结要求，而是以精心设计的结构化板书为基础，引导学生进行以内容为载体的、旨在帮助学生形成融“四基”于一体的课堂小结.例如，图5是指定课题“代数推理”的课堂小结.

图5

10.展示教师表现良好

疫情防控常态化下，展示教师克服了大量困难，充分准备，圆满完成了展示任务，特别是为了完成指定课题，教师克服了许多困难.参加展示的教师都表现出很好的亲和力，自然大方，有激情.课堂气氛比较生动活泼，教学效果普遍较好.

最优秀选手名单

冯 婷 四川省成都市七中育才学校

崔 娜 贵州省贵阳市观山湖区外国语实验中学

高 原 辽宁省营口市鲅鱼圈区实验学校

吴 娜 湖北省襄阳市实验中学

杨梦娇 上海市嘉定区外冈学校

周正峰 江苏省苏州市相城区黄桥中学

朱元苑 上海市徐汇中学

张晓鹏 内蒙古兴安盟乌兰浩特市第十二中学

李 焱 新疆乌鲁木齐市第16中学

赵冬艳 陕西省西安市高新区第一中学初中校区

杨倩倩 河南省郑州市第七初级中学

王 浩 湖北省华中科技大学附属中学

赵子祎 天津市南开翔宇学校

尹佩芬 广东省东莞市外国语学校

王昕昕 辽宁省鞍山市高新区实验学校

张 璇 上海市民办新华初级中学

11.学术委员工作认真负责

为了做好点评工作，本次活动学术委员会事先做了大量准备工作，8个小组分别建立了学术委员微信群，多次召开专家组会议.通过微信群明确点评任务，研讨点评工作，达成共识.本次活动在线上举行，评委们遇到了一些不熟悉的技术问题，大家群策群力，相互帮助，在中国教师研修网的强大技术力量支持下，圆满解决问题，为大会直播奠定了良好的基础.

评委们事先观看了完整的课堂实录，预先写好了点评提纲，并事先做好PPT，再结合选手的现场表现给予认真点评，评委的点评得到广大教师的普遍好评.

五、今后需要努力的一些方面

1.加强学习

除了“理解数学，理解学生，理解技术，理解教学，理解评价”等，还要注意了解国家的方针政策.例如，中共中央国务院《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》在“提升智育水平”一条中提出：着力培养认知能力，促进思维发展，激发创新意识.严格按照国家课程方案和课程标准实施教学，确保学生达到国家规定的学业质量标准.充分发挥教师主导作用，引导教师深入理解学科特点、知识结构、思想方法，科学把握学生认知规律，上好每一堂课.突出学生主体地位，注重保护学生好奇心、想象力、求知欲，激发学生学习兴趣，提高学习能力.加强科学教育和实验教学，广泛开展多种形式的读书活动.各地要加强监测和督导，坚决防止学生学业负担过重.

在“优化教学方式”中提出：坚持教学相长，注重启发式、互动式、探究式教学，教师课前要指导学生做好预习，课上要讲清重点难点、知识体系，引导学生主动思考、积极提问、自主探究.融合运用传统与现代技术手段，重视情境教学；探索基于学科的课程综合化教学，开展研究型、项目化、合作式学习.精准分析学情，重视差异化教学和个别化指导.各地要定期开展聚焦课堂教学质量的主题活动，注重培育、遴选和推广优秀教学模式、教学案例.

在“加强教学管理”中提出：省级教育部门要分学科制定课堂教学基本要求，市、县级教育部门要指导学校形成教学管理特色.学校要健全教学管理规程，统筹制定教学计划，优化教学环节；开齐、开足、开好国家规定课程，不得随意增减课时、改变难度、调整进度；严格按照《标准（2011年版）》零起点教学，小学一年级设置过渡性活动课程，注重做好幼小衔接；坚持和完善集体备课制度，认真制定教案.各地、各校要切实加强课程实施日常监督，不得有提前结课备考、超标教学、违规统考、考试排名和不履行教学责任等行为.

在“完善作业考试辅导”中提出：统筹调控不同年级、不同学科作业数量和作业时间，促进学生完成好基础性作业，强化实践性作业，探索弹性作业和跨学科作业，不断提高作业设计质量.杜绝将学生作业变成家长作业或要求家长检查批改作业，不得布置惩罚性作业.教师要认真批改作业，强化面批讲解，及时做好反馈.从严控制考试次数，考试内容要符合《标准（2011年版）》、联系学生生活实际，考试成绩实行等级评价，严禁以任何方式公布学生成绩和排名.建立学困生帮扶制度，为学有余力学生拓展学习空间.各地要完善政策支持措施，不断提高课后服务水平.

由此可见，“减负增效”一直是党和政府的期待和要求.

2.深刻认识数学的育人价值

数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用.数学素养是现代社会每位公民应当具备的基本素养.数学教育承载着落实立德树人根本任务、实施素质教育的功能.义务教育数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性.学生通过数学课程的学习，掌握适应现代生活和进一步学习必备的基础知识和基本技能，养成数学学习的兴趣、好奇心与求知欲，养成独立思考的习惯，并具有合作交流的意愿，形成基本的数学素养，发展创新意识和实践能力，增强社会责任感，形成正确的世界观、人生观、价值观等.广大教师一定要意识到，我们的数学教学绝不仅仅是为了分数、为了升学，育人始终是第一位的，我们要将育德和育智统一在课堂教学中，这就要求我们在教学中必须做到以数学知识技能为载体，创设符合学生认知规律的问题情境，引导学生开展独立思考、自主探究、合作交流，获得“四基”，提高“四能”，形成数学的思维方式，培养理性思维和科学精神.

另外，也要防止贴标签式德育、庸俗化德育，要注重体现数学育人的学科特点，用数学的方式育人才有力量.

3.加强教学目标的研究

课堂教学目标不明确现象普遍存在，许多教师不重视教学目标的分析、理解，甚至不知道如何正确设置课堂教学目标.可以非常肯定地说，当前课堂教学效率不高的主要原因之一是教师没有想清楚“本堂课要达成的教学目标是什么”.

对于明确教学目标的重要性、如何制定教学目标、如何检验教学目标的达成情况等，我们从2008年的全国中学数学青年教师优秀课比赛活动的总结中就开始讲，并明确指出“三维目标”是课程目标，不是课堂教学目标的维度，将课堂教学目标分裂为三个维度进行陈述，削弱了教学目标对课堂教学的定向功能，导致贴标签式的数学思想方法、情感态度价值观教学.课堂教学目标主要是针对当前教学任务而制定的，应该具体化，要具有可操作性、可检测性，但从效果来看并不理想.这次活动中，还有一些教学设计仍然以“三维目标”“四维目标”等方式呈现，暴露出这些教师不注意学习，没有与时俱进地更新观念.

为什么“三维目标”分裂表述课堂教学目标是不合适的？这是因为这样的表述没有体现课堂教学的基本规律.

事实上，数学课堂教学目标包括推理、运算、作图等可观察的表现性目标，以及基本思想、基本活动经验、关键能力，对数学的好奇心和求知欲，学习数学的主动性、自信心，独立思考、反思质疑的科学精神等难以观察的内隐性目标.表现性目标给出了教学后学生应出现的行为变化的精确陈述.这一类目标所回答的问题是：学生有怎样的行为表现就可以认定他已经达成了目标.课堂教学目标中更大量的是归纳、类比、抽象、概括等分析性思维所涉及的高级学习的具体目标，这些学习的出现是内隐性的，并不表现为外在的可测行为.对于这类目标的描述，通常的做法是先把学生应该学到什么描述出来，再设计具有测量信度和效度的问题情境，通过观察学生在解决问题过程中的行为表现去推测学生是否已经达成了目标.这也是我们强调教学过程和学习评价同步设计的原因.

接受上一轮课程改革的经验教训，为了扭转教学实践中三维目标相互割裂、过程与方法走过场、情感态度价值观贴标签和形式化的问题，本轮数学课程改革特别注重建立核心素养与数学课程教学的内在联系，强调数学课程教学对全面贯彻党的教育方针、落实立德树人根本任务、发展素质教育的独特育人价值，具体体现在数学核心素养上，从而明确了学生学习数学课程后应达成的正确价值观念、思维品质和关键能力，逐步形成会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.

我们提倡单元整体设计基础上的课时教学设计.相应地，在教学目标的设置中，要注重“四基”“四能”目标的地位——“四基”“四能”目标构建了通往数学核心素养目标的教学过程，是实现数学核心素养目标的桥梁.因此，教师在制定教学目标时要注重做好两件事：一是做好对《标准（2011年版）》的“内容要求”的解析，把“了解”“理解”“掌握”“体验”“感悟”“领会”等的含义解释清楚，从而明确单元目标；二是将单元目标分解到课时，并以“通过（经历）X，能（会）Y，发展（提高、体会）Z.其中X表示数学活动过程，Y表示应会解决的问题（显性目标，主要是具体知识、技能目标），Z表示数学思想和方法、数学关键能力（隐性目标）”的方式进行表达.总之，课时教学目标要以教学内容为载体，经历一个“发现问题和提出问题、分析问题和解决问题”的过程，在掌握知识技能的过程中领会数学基本思想、积累基本活动经验，从而使数学核心素养融入日常教学过程中.

4.“理解数学”永远在路上

教好数学的前提是自己先学好数学，这是常识.教学中出现的问题大多源于对数学内容的理解不到位，这是被实践反复证明的.教学的站位不高，思想性不强，纠缠于细枝末节，导致培养核心素养乏力，主要原因是教师对内容所反映的数学思想和方法的理解深度不够.

教学设计的首要任务是从教学角度进行内容解析，就是做好“内容的教学理解”.许多教师对教学内容的理解限于“知道这些内容是什么”，尽管也能用于解题，但对于“为什么”“怎么想”“如何才能想得到”等却语焉不详，这就必然导致课堂教学“讲解法，讲不出想法”“讲推理，讲不出道理”等现象.教师自己对数学基本思想不理解、不知道如何发现和提出问题，怎么可能在课堂上落实好“四基”“四能”呢？

该如何进行“内容解析”呢？中数专委会在2012年正式发布过一个《中学青年数学教师优秀课评价标准》，而且每年都进行修订.这个标准中的要求如下.

教学内容主要指《标准（2011年版）》中的“内容标准”中所规定的数学知识及其由内容所反映的数学思想方法，是实现教学目标的主要载体.教学内容解析的目的是在准确理解内容的基础上做到教学的准、精、简.这是激发学生学习兴趣、减轻学生学习负担、有效开展课堂教学、提高课堂教学质量的前提.

教学内容解析要做到以下几点：（1）正确阐述教学内容的内涵及由内容所反映的数学思想和方法，并阐明其核心，明确教学重点；（2）正确阐述当前教学内容的上位知识、下位知识，明确知识的来龙去脉；（3）从知识发生、发展过程角度分析内容所蕴含的思维教学资源和价值观教育资源.所以，内容解析的基本结构是：（1）教学内容的内涵；（2）由内容所反映的数学思想和方法；（3）当前教学内容的上、下位知识，明确知识的来龙去脉；（4）内容的育人价值（从知识发生、发展过程角度分析内容所蕴含的思维教学资源和价值观教育资源）.

下面以系统观指导下的“圆周角”内容理解与教学设计（情境与问题）为例做一个简单说明.

一般观念：研究一个数学对象，首先要定义对象，再从定义出发研究性质.研究过程中，对象的要素始终处于核心地位.

整体架构：背景—概念（定义、表示、分类）—性质—联系—应用.

概念中的“定义”给出了对象的内涵，“分类”明确了对象的外延.

性质要研究的问题：对象的要素之间的关系，相关的重要元素之间的关系，对象之间的相互关系，等等.

圆的要素：圆心、半径、圆周（圆上的点）.

圆周把平面上的点分为3个部分：圆周内、圆周上、圆周外.

以圆为基本对象，生成与圆相关研究对象（子对象），可以得到圆弧、弦、“圆内角”（含圆心角）、圆周角、“圆外角”（含弦切角）.

将“与圆相关的角”作为一个系统：角的要素是两边一顶点，角要与圆相关，所以角的两边都要与圆有公共点；对这些角进行分类，可以以角的顶点位置作为分类标准，得到如图6所示结果.

图6

圆心角、圆周角在“分界点”的位置，是“关键少数”，居于核心地位.而且，圆心角的要素（顶点、边）与圆的要素（圆心、半径）一致，是更基本的.

研究顺序：圆心角—圆周角—圆内角、圆外角.

研究内容：①对于圆心角，其要素、相关要素是角、角所对的弧和弦等，它们之间的数量关系，同圆中的两个圆心角之间的关系；②对于“圆内角”，可以研究与圆心角之间的关系（如同弧上的圆内角与圆心角的关系）；③对于“圆周角”，可以研究“同弧上的圆周角的关系”“同弧上的圆周角与圆心角的关系”等；④对于“圆外角”，可以与圆心角、圆周角联系起来，是否有确定的结论，还可以研究“特例”，如过圆外一点引圆的切线和割线所得图形，等等.

研究方法：从具体到抽象，获得猜想，再进行推理论证，得出定理.

理解内容、理解学生基础上的教学设计.

活动1：圆周角的概念.

内容解析：概念是人类在认识过程中把所感觉到的事物的共同特点从感性认识上升到理性认识，抽出本质属性而成.概念都有内涵和外延，即其含义和适用范围.通过定义明确内涵，通过分类（划分）明确外延.

圆周角的定义：把角的要素与圆关联起来，顶点在圆上，并且角的两边都与圆相交的角叫做圆周角.

圆周角与圆心的位置关系：可以分为三类——圆心在圆周角的内部、边上、外部.

【说明】有教师会产生疑问：这里讲分类的理由是什么？在证明圆周角定理的时候讲分类，是因为需要分类证明.这里要弄清楚分类证明和对象的分类之间的逻辑关系.之所以要分类证明，是因为圆周角与圆心有不同类型的位置关系，不是因为需要分类证明才对圆周角与圆心的关系进行分类.在这里对圆心角与圆心的位置关系进行分类，是确定圆周角外延的一个必要步骤，是由概念本身所要求的.

圆周角定义的教学，其指导思想有两条：（1）在与圆相关的角的系统中设计认知过程；（2）以完整的概念形成过程为依据，让学生经历“定义—表示—分类”的过程.可以创设如下问题串.

问题1：我们已经学习了一种与圆相关的角——圆心角.如图7，∠AOB的顶点在圆心，两边与圆相交.改变圆心角顶点O的位置，你认为能产生哪些不同的角？试画出这些不同角的代表，并说说它们不同在哪里？

图7

师生活动：由学生独立思考、作答，教师帮助学生归纳结论，如图8所示.

图8

追问1：你是以什么为标准进行分类的？

追问2：在这些角中，你认为应该先研究哪一类角？为什么？

追问3：你能给“顶点在圆上的角”下个定义吗？

【设计意图】从圆心角概念出发，改变圆心角顶点的位置，得到圆周角定义，自然而然地建立圆周角和圆心角的联系.

活动2：圆周角与圆心的位置关系.

问题2：圆周角不单是顶点在圆上，还要求两边都与圆相交，现在我们在⊙O的圆周上给定两点A，B，你能画出一个劣弧AB所对的圆周角吗？你能再画出第二个吗？更多的呢？你有什么发现？

【设计意图】让学生通过作图，熟悉圆周角的同时，为发现圆周角与圆心位置关系的类型提供直观基础.例如，图9是学生作出的图形.

图9

追问：面对一类数学对象，在定义后我们要对它进行分类.一方面，进一步认清对象；另一方面，为后续研究奠定基础.大家都画出了同一条弧所对的圆周角，观察自己画出的图形，你有什么发现？

师生活动：学生观察、思考并得出结论，如果学生不知道如何入手观察，教师可适当提示：可以从圆周角的个数、分类等角度入手.然后进行全班交流，教师帮助总结，得出结论：同弧所对的圆周角有无数个，它们与圆心的位置关系可以分为3类，即圆心在圆周角内、圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角外.

教师强调：对一个对象的认识，分类是非常重要的方法，它不仅使我们对这个对象的认识深化了，而且为后续的研究奠定了逻辑基础.另外，以圆心这一确定圆的要素为分类标准，前后一致，可以做到“不重不漏”，这样的分类方法具有一般性.

活动3：圆周角性质的猜想.

问题3：研究了圆周角的概念，接下来应该研究什么？如何研究？

师生活动：学生根据已有经验，能够想到要研究圆周角的性质，可能不知道如何研究，教师可以通过如下追问进行引导.

图10

【设计意图】两个追问都采取“转换视角”的方法，用“等值语言”进行叙述，从而引导学生思考：（1）圆周角所对弧相同，它们之间一定有内在联系，通过观察、测量发现它们相等，进而可以得出猜想1，即同弧所对的圆周角相等；（2）圆心角和圆周角所对的弧是同一条，它们之间也应该有内在联系，通过观察、测量发现圆心角是圆周角的2倍，进而得出猜想2，即同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半.

在学生得出猜想后教师提示：上述猜想过程运用的思想方法是，一类事物有相同的背景，那么它们之间一定有内在联系.这是指引我们发现数学猜想的一个基本思想方法.

活动4：猜想的证明.

问题4：前面我们获得了2个猜想.你认为应该先证明哪个猜想？为什么？

【设计意图】引导学生思考两个猜想的逻辑关系，明确：只要证明了猜想2，那么猜想1就是一个推论.

追问1：我们已经知道，圆周角与圆心的位置关系分为3类.相应地，同弧上的圆周角与圆心角的位置关系可以分为几类？你能由此想到证明方法吗？

【设计意图】先引导学生由圆周角与圆心的位置关系得出同弧上的圆周角与圆心角的位置关系可以分为3类；再从3类图形中看出，可以从圆心在角的一边上这一特殊位置开始，再把其他情况化归为这种情况.

在学生给出证明后，再进行如下追问.

追问2：在证明圆心在圆周角内、外两种情况时，共同的思想方法是什么？

【设计意图】归纳两个证明过程的共同点，它们都是把圆周角的顶点与圆心连接起来，从而实现转化，其中的关键是利用确定圆的要素.

活动5：推论的研究.

问题5：在研究一个数学对象或问题时，特例往往具有特殊的意义.请同学们再一次观察这个图形（如图11），除了圆周角等于圆心角的一半外，你还能看出一点什么吗？

图11

提示：对于一个几何图形，围绕它的组成要素、相关要素画一画、连一连，就可能有一些新发现.

【设计意图】引导学生对特殊图形进行再认识，通过添加辅助线得出圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角.

课堂小结：

（1）本节课学习了哪些内容？

（2）研究圆周角的路径是什么？

（3）圆周角的性质所研究的问题是什么？

（4）圆周角定理是如何发现的？其中蕴含的数学思想是什么？证明方法是如何想到的？

（5）得到推论的过程中蕴含着什么数学思想方法？

一点感想：圆周角是大家非常感兴趣的内容，围绕它的教学故事被一说再说，但这些故事复述的居多，没有太多新意，对于“如何使圆周角定理的分类证明来得更自然些”这样的问题，始终没有什么好方法.

如何才能在圆周角的教学中推陈出新？上述教学设计有如下几个着眼点.第一，注重数学的整体性、思维的系统性，把圆周角放在与圆相关的角的系统中；第二，以确定一类几何图形的要素为基准，体现概念的奠基作用，以要素为标准进行分类，从定义出发研究性质；第三，把分类放在概念教学中，不仅体现概念生成的逻辑性，而且可以有效化解难点——如何让学生想到分类证明；第四，猜想的获得，“背景相同的事物一定有内在联系”“特例有特殊的重要性”等是指路明灯，是一般观念指导下的发现；第五，性质的分类证明，因为圆周角概念中已经表明它与圆心有3类位置关系，所以证明也要分类，这是自然的；等等.

5.加强对学生学习方式的研究

本次活动展示的优秀课中，课堂互动和课堂讨论的质量还有待提高，其背后的原因是教师缺乏对学生学习方式的研究，对课堂提问和课堂讨论的相关理论知识了解不够，有效组织学生自主、合作学习的方法和指导的能力有待提高.

要改变学习方式单一的现状，注意调动各种感官参与数学认知过程，通过学生自己的观察、操作、实验，获得抽象数学概念、原理所需要的现实材料，在此基础上开展归纳、类比、抽象、概括活动而抽取共性获得概念，发现规律获得原理、性质，获得解决问题的方法的启发.要加强体验式学习方式的使用，让学生获得数学概念、原理抽象概括的直接体验，不仅有数学对象的要素、概念内涵的归纳，法则、性质、公式等的归纳和发现，而且有“如何研究”“如何发现”的方法论感悟.使数学知识成为学生自己发现的结果，为理解数学知识奠定坚实基础，同时对应用知识的背景条件形成完整的认识.

要使数学学习成为学生自己可以掌控的过程.教之道在于度，学之道在于悟.“悟”是需要时间的，教师要学会等待，不要急于“自答”.

要注重发挥非认知因素的作用，激发学生的兴趣、好奇心，调动学生的学习热情，使学生以一种积极的态度投入探究活动.积极的情感体验是激发灵感的强大动力，可以促使学生创造性思维的产生.

教师要有正确的学生观.对未知事物的探索是学生的天性，需要教师倍加爱护，我们常常因自己对学生心理的无知，低估学生的创造力而无意间扼杀了这种天性.学生的创新思维需要教师的激发，使学生学会思考是数学教育的意义所在.要激发学生的创新思维，教师自己应先学会思考，归纳、类比、推广、特殊化是基本的发现与创新之道.以一般观念为指导，通过问题引导思考，给学生创设独立概括概念、性质、公式、法则的机会，这是教师的教学智慧所在.

6.情境设计能力需进一步提高

《标准（2011年版）》指出，教学情境包含生活情境、数学情境、科学情境等.本次活动中的展示课普遍存在着情境单一的现象，不适当地使用生活情境、科学情境的现象也比较突出.存在的主要问题有：引入环节刻意联系实际，不够自然——几乎所有的课都“从现实问题出发”；刻意设计探究、讨论等活动环节等；情境设计不适切；等等.下面给出一些具体实例.

（1）平行线的性质——贴标签式情境.

情境引入：播放庆祝建党100周年阅兵式飞行视频，引导学生发现平行线组，引出学习内容.

师生活动：让学生感受祖国的伟大，并有感而发“此生不悔入华夏，来世还做中国人！”

【设计意图】通过观看视频，直观感知并发现平行线，同时激发学生的爱国热情.

（2）直线与圆的位置关系——违背事实的情境.

观看视频并思考：我们把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线.太阳升起的过程中，太阳和海平面会有几种位置关系？你能得出直线和圆的位置关系吗？请同学们观察并讨论直线和圆公共点个数的变化情况.

（3）含30°角的直角三角形的性质——不知所云的情境.

等边三角形“三线合一”，沿“三线”剪开可以得到什么图形？——含30°角的直角三角形；

两块含30°角的三角板进行拼接，能拼成什么三角形？——又分为两个直角三角形，其中的一个三角形有什么性质？

（4）有理数的乘法——与学生认知水平不适应的情境.

在蓄水时，该水箱水位每天升高3个单位长度，取标准水位作为0点.

问题1：在蓄水时，1天后水箱水位的变化量是多少？2天后呢？3天后呢？

问题2：没进水时，水位的变化情况可以列成类似的算式吗？

问题3：在排水时，1天前水箱水位的变化量是多少？2天前呢？3天前呢？

排水时，该水箱水位每天下降2个单位长度，取标准水位作为0点.

问题1：在排水时，1天后水箱水位的变化量是多少？2天后呢？3天后呢？

问题2：没排水时，水位的变化量可以列成类似的算式吗？

问题3：在排水时，1天前水箱水位的变化量是多少？2天前呢？3天前呢？你能把以上现象列成数学算式吗？

（5）一元二次方程根与系数之间的关系——强加于人的情境.

已知一元二次方程2x2-1=3x的两根分别为x1，x2，求出下列代数式的值：

这里都涉及x1+x2，x1x2，那么它们与一元二次方程以及系数之间是否存在某种特定的关系呢？这就是我们今天要研究的……

这里，如何提出问题比较合理？笔者觉得，应该从数学知识发生、发展的内在逻辑加强思考，在一般观念引领下引导学生发现和提出问题.

由求根公式可知，只要给定一元二次方程的系数，那么它的根是唯一确定的.也就是说，一元二次方程的根可以由它的系数唯一表示.在数学的研究中我们常常要研究反过来的问题：如果已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根为x1，x2，能否用x1，x2表示系数a，b，c呢？

如此创设问题情境，蕴含着研究数学问题的一般思想：遇到A推导出B这样的表述时，优秀的数学家都要追问“能否由B推导出A”，这是一种数学的基本思维方式.“反过来还对吗？”把这个问题放在心里，使之成为学生的数学探索工具之一，对于发展学生的创新能力非常重要.

反过来的表述是否正确并不重要，重要的是，这样的训练能提升学生的数学能力.

（6）圆的切线——贴标签+违背事实的情境.

师：（观看新闻）同学们！我们为我们是航天大国感到骄傲，现在有这样一个问题：如图12，要让卫星信号完整地覆盖地球赤道一周至少需要几颗同步卫星呢？

图12

生：一颗、两颗……

预设：可能有学生回答三颗.

师：（追问）你知道这是为什么吗？

生：根据直线与圆相切……

师：好！让我们带着这个问题开始今天的探究之旅！（板书课题：圆的切线.）

（7）二元一次方程与一次函数——宽泛、目的不明的情境.

问题1：前面我们学习了二元一次方程及一次函数的有关知识，请大家回忆一下，对于二元一次方程主要研究了哪些内容呢？对于一次函数我们又主要研究了哪些问题呢？

可以改为：

问题1：观察二元一次方程x+y=5与一次函数y=5-x，你有什么发现？

容易发现，它们可以相互转化.

追问1：（1）对于二元一次方程，我们主要研究什么？——方程的解；

（2）对于一次函数，我们研究了什么？——图象和性质.

追问2：由此你能想到什么？——二元一次方程的解与一次函数的图象和性质可能有联系.

数学教学情境应当具有丰富性，不仅仅是现实生活情境，还可以是数学情境，也可以是科学情境，要看教学内容的需要.一般而言，在数学对象引入阶段，需要创设现实情境，因为初中阶段的数、式、方程、不等式、函数、几何图形、统计、概率等都有明确的现实背景.数学知识发生、发展过程中的内容，要加强从数学内部提出问题的思考，多用特殊化、类比、推广等策略.例如，等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形、正方形的引入，各种代数公式的引入等就不要用现实背景，如果用现实背景反而会破坏从一般到特殊的逻辑链条.

7.教师的问题设计能力需要进一步提高

课堂是学生核心素养发展的主阵地.为了有效培养学生数学核心素养，我们必须变革教与学的方式，大力实施基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学，为学生创造独立思考、自主探究、合作交流的时空，努力提高课堂教学效率，提高学生自主学习能力，使他们在获得“四基”、提高“四能”的过程中，逐步形成理性思维、科学精神，促进其智力发展，达成“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”的目标.显然，教师是课堂教学变革的“关键少数”，而“基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学”的关键又在于教师的提问能力.课堂观察发现，教师不会提问是普遍现象.因此，当务之急是大力开展“如何学会提问”的研究.

下面我们看本次活动中的一个例子：“三角形的中位线”的引入.

想一想：如图13，点C是线段AB上的任意一点，点D和点E分别是线段AC和线段BC的中点.

图13

（1）若AB=10，则DE= _______；

（2）线段DE和线段AB有什么关系？

追问：如图14，当点C移动到直线AB的外面，构造△ABC，点D和点E仍然分别是线段AC和线段BC的中点，线段DE和边AB有什么关系？

图14

问题分析：如此提问，貌似巧妙，但这是孤立地创设情境、提出问题，是在“玩花样”.

这个“情境+问题”有两点值得商榷：一是出发点不是“前面我们学了什么，下面我们学习什么”；二是缺乏发现和提出问题的自然性.由此导致的问题是：学生不知道“老师是怎么想到的”，该用哪些知识来解决问题.

一种改法：

前面学习了平行四边形，我们利用平行线、三角形的相关知识得出了平行四边形的性质、判定等.反过来，能不能利用平行四边形的知识推出一些新的三角形性质呢？

如图15，我们将▱ABCD看成△ABC和△ADC拼接而成.这时，AC是平行四边形的对角线.在研究图形的性质时，我们可以让某些元素运动起来，看运动过程中出现什么规律.例如，让对角线BD绕中心O旋转，你有什么发现？

图15

绕到与平行四边形的边平行的位置就出现三角形的中位线，其中还蕴含了作辅助线的方法.

以下是我们在高中数学教材编写、教学研究中，根据获得“四基”、提高“四能”、发展学生数学核心素养，以及提升创新意识的时代要求，所提出的衡量情境与问题质量的八个指标，供初中教师参考.

（1）目的明确.围绕当前的教学任务，能将学生的注意力吸引到教学任务上来.

（2）反映本质.情境中蕴含着新知识的要素，反映所学新知识的本质，能引导学生从情境中提出数学问题、发现数学规律，能有效促进学生领悟知识所蕴含的数学思想和解决问题的方法.

（3）系统连贯.以数学知识的发生、发展过程为基本线索，形成一个循序渐进、具有内在逻辑关联的“情境与问题链”.其中，第一个问题要有统摄性、贯通性，起到先行组织者的作用，随后的一系列问题要能引导学生的思维逐步走向所学知识的本质.

（4）自然而然.从知识的发生、发展过程和相互联系中提出问题，使问题具有逻辑的必然性.

（5）难易适度.与学生认知水平相适应，在学生思维最近发展区内提出问题，对学生的思维形成适度的挑战性，为学生创造独立思考空间，满足“导而弗牵，强而弗抑，开而弗达”的要求，让学生自己“捅破窗户纸”.

（6）简明易懂.问题清晰、明确且有启发性，语言准确、无歧义且有条理性，学生不会因为情境与问题的字面意思难懂而产生理解困难.

（7）恰时恰点.与学生的学习进程相协调，准确把握提问的时机，“想学生所想，问学生所问”.

（8）启迪创新.“看过问题三百个，不会解题也会问”，使学生逐渐学会自主提问.

8.提升课堂小结的思想性、思维层次

课堂小结是教学过程中非常重要的一个环节，应该有一定的结构性，既不是知识点的罗列，又不是像“师：今天我们学习了哪些数学思想方法呀？生：我们学了数形结合思想、分类讨论思想.”的形式化数学思想方法总结.因为脱离内容的数学思想方法是没有力量的，像“今天我们发展了哪些核心素养？”的小结提问就更是可以用离谱来形容.

一般而言，一堂课的小结应该聚焦在“四基”“四能”的梳理上.例如，前面“圆周角”教学设计的小结中，就是按照研究内容、研究过程、思想方法、活动经验，以及发现和提出问题的方法等给出的，其中包含“圆周角定理是如何发现的？其中蕴含的数学思想是什么？证明方法是如何想到的？”“得到推论的过程中蕴含着哪些数学思想方法？”这样的反思性问题.另外，如果学生的认知水平比较高，还可以提出一些更加深刻的批判性问题.例如，为什么要对圆周角与圆心的位置关系进行分类？圆周角定理的发现过程与推理的发现过程一样吗？（实际上，圆周角定理的发现过程采用了从具体到抽象的归纳方法，而推论是直接从圆周角定理出发通过演绎推理得出的，所以思维方法是不一样的.）

9.加强对过程性评价、形成性评价研究

总体上看，教师对课堂教学中的学习评价、反馈等缺乏必要的研究与设计，主要表现在以下几方面.

（1）有的教师对学生回答问题的反馈指导性和针对性不强，没能及时指出学生回答中存在的问题；

（2）缺乏教学机制，不能及时处理“预设”与“生成”的关系，对学生的课上生成不能合理回应；

（3）过程性评价的语言比较贫乏；

（4）作业比较单一，作业的内容和形式都缺乏创新性、灵活性，离“提高作业设计质量，精心设计基础性作业，适当增加探究性、实践性、综合性作业”的要求还有很大差距.

例“反比例函数的图象与性质”中教师的课堂评价用语.

生1：列表中可以舍去……

师：哦，你观察得非常仔细，非常好.

生2：因为分式中x不能等于0，所以图象……

师：哦，说得非常好，请坐，这位同学对表达式理解得很到位.

生3：只有半支，函数图象应该在第一、三象限.

师：哦，你观察事情很全面.

生4：我觉得列表好，图象不能有两个端点.因为函数中x可以向两边无限取值，所以图象可以向两边无限延伸.

师：你说得非常好！

师：得到了图象，请同学们小组合作，观察图象，有什么性质？……哦，谢谢你们的分享；哦，说得非常好；……其他小组还有不一样的发现吗？哦，发现得更深入；哦，也是发现了k＞0的性质；哦，他们从代数式的角度发现了结论，非常好！

师：下节课我们学习什么？

生：从三个函数图象去推导出k＜0时的函数性质……

师：哦，说得非常好！同学们，这节课我们学习了反比例函数在k＞0时的函数性质，下节课我们学习k＜0时的性质（为什么不说：“你能类比k＞0时的函数性质，自主探究得出k＜0时的性质吗？”）

我们看到，教师对学生答问的评价用语非常枯燥，都是“非常好”“很全面”之类的，没有在学生回答的基础上，通过点评帮助学生进一步明确相应的数学思想、解决问题的方法等.

六、结束语

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准（2022年版）》）刚刚颁布.我们知道，这一轮课程改革以落实立德树人根本任务为宗旨，以发展学生核心素养为抓手，而数学核心素养是联系核心素养与数学课程教学的桥梁.进一步地，一般观念引领的“四基”“四能”教学就是日常教学落实数学核心素养的抓手.核心素养立意的课堂教学要遵循一些基本原则.概括起来，可以归结为如下几点.

第一，以研究一个数学对象的基本套路为主线建构每一单元内容，体现数学的整体性.

第二，加强一般观念的指导，提升教学的思想性，发展学生的理性思维.

第三，以数学对象的定义方式（如通过几何图形的组成元素及其形状和位置关系定义几何图形）、数学概念的获得方式（概念形成、概念同化及其融合）为指导，以适当的素材为载体创设情境，构建数学基本概念的学习过程，使学生在完成一类事物组成要素、本质特征的归纳与概括的过程中深刻理解概念，发展抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识等.

第四，在把握代数性质、几何性质、函数性质等的表现方式，明确“数学性质”所要研究的问题是什么的基础上，有的放矢地设计探究活动，使学生富有成效地发现性质、提出猜想并进行推理论证，在获得“四基”、提高“四能”的过程中，发展运算能力、推理意识或推理能力.

第五，在运用数学知识解决数学内、外问题的过程中，逐步使学生感悟数学与现实世界的交流方式，形成运用数学语言表达现实生活和其他学科中事物的性质、关系和规律的意识，能够感悟数据的意义与价值，有意识地使用真实数据表达、解释与分析现实世界中的不确定现象.逐步形成数学语言的简洁与优美的欣赏力，养成用数学语言表达与交流的习惯，形成跨学科的应用意识与实践能力.

在《标准（2022年版）》颁布之前，我们举办本次活动，对于推动核心素养导向的课程改革有着特别的意义，让我们为实现课程改革的愿景一起努力！