浅谈反证法在数学教学中的作用

余彩蝶 赵武超

摘要：数学中有很多证明方法，高中学习中常用有分析法、综合法，反证法等.而反证法就是其中的一种.在数学教学中，反证法的应用可以利用逻辑思维规律准确性和思辨性培养学生逻辑严谨性，可以培养学生穷则思变的创新意识.本文主要通过反证法的概念和逻辑思维方面阐述，论证了反证法在数学教学中的作用和特点.

关键词：反证法;数学教学;证明方法

在数学教学中，有许多推理模式与证明方法，如合情推理、演绎推理，证明按照论证的格式可化分为间接证明法和直接证明法，间接证明可分为反证法和同一法，反证法又可化分为归谬法和穷举法。在数学的间接证明方法中，反证法是经常应用的一种方法，在证明中常常给人一种意想不到的结果，简明扼要，柳暗花明.当对于一个数学题时，按照正常思路解决时，具体的步骤比较麻烦，这个时候往往就可以通过反面进行论证.

一、反证法的概念：

反证法作为一种论证方式，是数学上的一种常用方法。反证法是先对命题进行假设，在原来的命题题目的条件下，根据题目的要求，假设命题结论不成立。然后对于推理出的结果，进行分析是否存在矛盾。存在矛盾则能得出结论的假设不成立，最终可以证明原命题.

二、反证法的思维过程：

“否定→推理→否定”，是对反证法的简单概括。对于结论先开始否定，接着经过精确的推理得出逻辑矛盾，最终形成一个新的否定。像法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质做过概括那样：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.

否定结论→推导出矛盾→结论成立，是其中的三个主要步骤.

在审视好条件与结论后实施的三步走的策略：

第一步，反设：做出与求证结论相反的假设;

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.

只有用“反设”进行推理，从而证明问题时，才能称为反证法。在反证法的证题过程中。只要驳倒一种情况就能证明命题的方法，属于反证法的一种，叫作“归谬法”.如果存在多种情况，需要一一驳倒，最终才能证明结论的方法，属于反证法的另一种，称为“穷举法”.

反证法是一种常用的证明方法.在证明解决中很多数学题问题的过程中，它给我们的解题指明了一个方向，让一些解题思路遇阻或遇到比较麻烦的问题时，另辟蹊径，寻求一个简单的解决方法.排中律和矛盾律属于反证法的逻辑依据.在数学教学中，反证法的使用，有助于培养学生思维严密性。并且能够培养学生的反向思维，发散思维.

三、反证法的逻辑原理证明用符号如下

五、反证法在教学中的作用

（一）培养学生逻辑思维的严密性

在学生平时解题过程中，往往对于题目的信息了解得不够全面。经常有以偏概全，顧此失彼，解题思路不清晰的问题时常出现。可能前面刚记住的数据下一秒就记错了，就像做证明题，对于题目的条件关系弄不清楚，不能将条件有条理的记录出来。对于题中的知识点不清楚，记得错乱。这主要表现出学生思维不缜密，老师可以用反证法来培养提高学生思维缜密性。从反证中体会反证法的意义，从反证法中体会反证的作用，因此，教师在讲解反证法时，全面地把问题解释透彻完整，加深学生的对问题的理解，从而达到培养学生思维缜密性的作用。

1.深刻理解数学中基本概念。培养学生思维缜密性或严密性先从概念入手，任何一个系统都有他自己的原始概念与基本概念，然后以其进行对事物概念的延伸与发展。同样数学的学习与教学系统中的各种概念也是从基本概念开始，用定义形式揭露本质其特征。反证法的使用前提就是要对数学概念的深刻理解，在对概念深刻理解之后，才能在证明问题的过程用反证法来解决问题。下面通过一个实例来说明。

3.加强数学交流。老师可以在教学过程中，针对讲的数学知识点，给出一些问题，启迪学生思考，使师生在平等的基础上交流数学思想，学生与学生之间也进行相应的交流。找出问题的切入点，提高学生的理解力与对数学的悟性。

（二）培养学生反向思维

反向思维是一种创造的手段和创新的方式，主要是让思维在相反的方向发散，从问题的反方向进行推理证明。而反证法也正是具有从反面证明问题的含义，反证法的使用恰恰能培养学生的反向思维能力。有很多发明都是人们提出问题后，从反方面进行推导创造出来的。例如从欧几里得几何第五公式的证明，而得出非欧几何的诞生就是反向思维的很好案例。

（三）培养学生发散思维

发散思维，也可以说是进行广泛想象，通俗来说，对于一件事情从多个方面去思考。反证法的使用便是一个发散思维的过程。学生不通过发散思维，便不能抓住问题的要点，又如何解决问题。发散思维在创造性思维中占据了核心位置，是通过问题的不同方面去思考，把明确的信息和掌握的知识进行不同组合，产生新灵感的过程。为了能够发散性地思考，需要脱离固化的思维模式，也就是可以多多尝试变例，进行对问题新的角度实践的过程.

1.多与人交流，启迪思维。看待同一个问题，不同的人注意的点不同，那么他们思考的方式就会产生不相似的效果，就会有不同观点和解决问题的方法.反证法就需要多与人交流，当交流的人增多时，对待问题的观点的种类也会增多，可能不是所有观点是正向的，但总会存在值得听取的观点.在大家的交流切磋当中，他人思路就会启迪自己的想法，提升个人思维能力.

2.多多提问。在存在问题时就要经常的提问，可以向老师们提问，向同学们提问，并且可以在任何有问题的时候都去提问.反证法的使用，就是提出问题并解决问题的一个过程。发散思维是在解决问题的过程中，不断提出问题解决问题，对于繁杂的问题，可以对它进行分解，单一的问题就更容易被解决了.

（四）培养学生正难则反思维

从正面思考问题，有时思维会受到阻力或陷入死胡同，人们就想到反过来思考如何呢？简称：正难则反.正难则反是数学解题一种策略.与反证法有同样的解题思路，反证法最开始的使用就是因为在问题的正面思考很难解决时，才会有从问题反方面思考的举动.

有很多题目从正确常规的思路就能够解决，但也有很多题，常规的思路不能够解题，这个时候我们可以考虑从反面来思考，可能这个问题就会变得简单，从而得到解决.

六、结语

综上所述，反证法是一种重要证明方法. 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“无限”形式出现的命题;或者否定结论更明显.

在数学教学中，反证法可以培养学生逆向思维，正难则反打破常规思维，使学生在思考问题时，有置之绝地而后生，柳暗花明又一村之感，从而培养思维缜密性和学生思维的发散性，体会它的功能和特点，从中悟出数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学与日常中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯.