两球的根轴面与根心定理

赣南师范大学数学与计算机科学学院 曾建国 （邮编：341000）

1 引言

平面几何中，两圆的根轴(或等幂轴)是人们熟知的概念. 根据圆幂定理有如下定义

定义1[1]点P对半径为R的圆O的幂，等于OP2－R2．

由下面的性质可得两圆的根轴概念

命题1[1][2]对于两已知圆(不同心)有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线．

定义2[1][2]将命题1 中这条垂直于连心线的直线称为两圆的根轴(或等幂轴).

特别地，当两圆相交(相切)时，其根轴就是两圆的公共弦所在的直线(切点处的公切线).

关于根轴有下面被称为根心定理的结论[1][2](图1).

图1

命题2（根心定理）平面上有三个圆，当三个圆心不共线时，其两两的根轴交于一点；当三个圆心共线时，其两两的根轴互相平行.

文[3][4]将圆幂概念及圆幂定理推广至三维空间，建立了球幂概念，得到了完全类似于圆幂定理的结论

命题3(球幂定理)过空间一点P作球面的两条割线(或切线)分别交球面于A、B与C、D，则有PA·PB=PC·PD.

定义3[3]一点P对半径为R的球O的幂为OP2－R2．

由此可知[3]：若点P在球内，则该点的球幂为负；P在球上，球幂为零；P在球外，球幂为正．

本文在此基础上进一步将根轴概念及根心定理类比推广至三维空间.

2 两球的根轴面

关于两个球有下面的结论：

定理1对于两已知球(不同心)有等幂的点的轨迹，是一个垂直于连心线的平面.

证明如图2，设已知两球的球心分别为O1、O2，半径分别为R，r(R≥r)，设 点P到 球O1、O2的幂相等，即有O1P2－R2=O2P2－r2.

图2

过点P作PH⊥O1O2，垂足为H，设O1O2的中点为M，则由上 式 可 得R2－r2=O1H2－O2H2=(O1H+O2H)(O1H－O2H)=O1O2·2MH. 则表明H为O1O2上的定点，即点P在过点H且与O1O2垂直的平面内. 反之，与O1O2垂直相交于点H的平面内任一点对球O1、O2的幂相等. 证毕.

定义4将定理1 中这个垂直连心线的平面称为两球的根轴面(或等幂轴面).

特别地(证略)，有

推论1当两球面相交(相切)时，其根轴面就是两球面交线圆所在的平面(切点处的公切面）.同心的两球不存在根轴面.

在解析几何中，容易验证，将两球面方程x2+y2+z2+ai x+bi y+ci z+di=0(i=1，2)

，相减即可得到它们的根轴面方程，这与平面内求两圆根轴的方法类似.

3 球的根心定理

将命题2 类比推广至三维空间，就有

定理2(球的根心定理）空间有三个球，当三个球心不共线时，其两两的根轴面相交于一直线；当三个球心共线时，其两两的根轴面互相平行.

证明设三个球心分别为O1、O2、O3，其两两的根轴面分别记为π12、π23、π13(图3).

图3

若O1、O2、O3共 线，由 定理1 及推论1 知，三个根轴面π12、π23、π13均垂直于同一直线O1O2O3，于是它们互相平行.若O1、O2、O3不 共 线，则 三 个根轴面互不平行.

设π12、π23相交于直线l，我们来证明π13也经过直线l. 设P是直线l上任一点，则由P∈平面π12及定义4、定理1 知，P对球O1、O2的幂相等，由P∈平面π23同理可得，P对球O2、O3的幂相等，于是P对球O1、O3的幂相等，由定理1 知P∈平面π13.

直线l上任一点都在平面π13上，表明平面π13经过直线l，故三个根轴面π12、π23、π13交于直线l.证毕.

4 应用举例——戴维斯（Davis）定理的推广

我们应用球的根心定理，将三角形中的戴维斯定理推广至四面体中.

命题4（戴维斯（Davis）定理）[5]三角形的每边所在直线上有一对点(可以重合)，若每两对点同在一圆上，则三对点(六点)都在同一圆上(若题设中的圆与某直线相切，则该线上一对点重合为一点).

推广至四面体就有

定理3（四面体戴维斯定理）四面体的每条棱所在直线上有一对点(可以重合)，若每个顶点发出的三条棱上的三对点同在一球面上，则六对点(十二点)都在同一球面上(若题设中的球面与某棱相切，则该棱上的一对点重合为一点).

证明如图4，设 四 面 体A1A2A3A4的棱Ai Aj所在直线上的一对点为Bij、B′ij(1≤i＜j≤4).

图4

依题设知，自顶点Ai发出的三条棱上的三对点同在一个球面上，设此球心为Oi(i=1，2，3，4).则四面体A1A2A3A4每个侧面三角形三边上的三对点(六点)中，每两对点(四点)在同一个圆(该侧面与相应球面的交线圆)上.

根据命题4(戴维斯定理)可知，每个侧面三角形三边上的三对点(六点)都共圆.(*)

下面 先 证 明 四 个 球 心O1、O2、O3、O4中 必 有两个重合，用反证法.

假设O1、O2、O3、O4是相 异 的 四 点，因 球 面O1、O2都经过棱A1A2上一对点B12、B′12，根据推论1 可知，球O1、O2的根轴面经过直线A1A2.

同理可证，球O2、O3的根轴面经过直线A2A3；球O1、O3的根轴面经过直线A1A3.

根据定理2，三个不同心的球，其两两的根轴面(三个平面)交于一直线或互相平行. 但分别经过ΔA1A2A3三边的三个平面显然不可能交于一直线或互相平行，矛盾！

由上可知，球心O1、O2、O3、O4中必有两点重合.

进而可以证明这四个球面为同一球面，即题设中的六对点(十二点)共球面.

事实上，我们不妨设O1、O2重合，则球面O1经过了四面体A1A2A3A4中除A3A4外的其余五条棱上的五对点(十点). 下面证明球面O1也经过A3A4上的一对点B34、B′34.

作O1H⊥平面A1A3A4于H，因为球面O1(半径 设 为R1)经 过B13、B′13、B14、B′14，则O1B13=O1B′13=O1B14=O1B′14=R1，因 此 有HB13=HB′13=HB14=HB′14. 即B13、B′13、B14、B′14四 点 共圆，圆心为H、半径为R1.

根据前面的证明(*)知：B13、B′13、B14、B′14、B34、B′34这六点共圆，因此点H就是这个圆的圆心. 于是，HB34=HB′34=HB13，则O1B34=O1B′34=R1.

这就证明了题设中的六对点(十二点)都在球面O1上(四个球面重合). 证毕.