向量投影背景妙 十法并举求最值

广东省佛山市顺德区罗定邦中学 龙 宇 （邮编：528300）

广东省佛山市顺德区教师发展中心 王常斌 （邮编：528300）

向量既具有几何的特征，又具有代数的特征. 在解题的过程中，即可通过其所蕴含的几何信息求解，也可将其代数化，将向量转化为坐标进行运算. 2021 年浙江卷第17 题便是一道以向量为背景的题目，该问题涉及到的向量较多，几何关系复杂，且问题的落脚点在于一个表达式的最值. 本文通过多个视角对该问题进行分析，由此建立起了相关知识间的联系.

1 题目

已知平面向量a、b、c(c≠0)满足|a|=1，|b|=2，a·b=0，(a－b)·c=0，记平面向量d在a，b方向上的投影分别为x、y，d－a在c方向上的投影为z，则x2+y2+z2的最小值为 ．

分析及准备据题意可建立平面直角坐标系，通过坐标表示各个向量. 设a=(1，0)，b=(0，2)，c=(m，n)，由(a－b)·c=0 可得：m=2n.向量d在a、b方向上的投影分别为x、y，可得d=(x，y)，d－a在c方 向 上 的 投 影 为z=整理后即可得：2x+原问题即是在该条件下探究x2+y2+z2的最小值问题.

2 解法呈现

解法一：消元求解

解法二：换元法

解法三：构造等差数列

评注该解法从本质上与上述两种解法一致，均是将三个变量的最值问题转化为两个变量的最值问题，其差别主要在于引进变量的方式不同. 后续运算可模仿上述两种解法，可通过配方或换元进行求解. 此时再介绍一种利用函数的视角进行求解的方法，该方式也可迁移至上述两种解法中.

解法四：直线的参数方程

评注该解法与上述三种解法的本质相同，均是消元的思想，仅是从不同的角度进行消元.

解法五：利用基本不等式求解

代 入 上 式，可 得4 ≤10(x2+y2+z2)，即 可得x2+y2+z2的最小值为经验证，当时，等号成立.

评注在该解法中运用了三次基本不等式，因为在上述解法中，已经知道当三个变量满足什么关系时，对应的表达式可以取得最小值，所以直接对“系数”进行了分配. 那么在一般情况下，“系数”该如何分配才可以达到要求呢？此时可通过待定系数法来进行确认.

解法六：利用权方和不等式求解

解法七：构造向量求解求解

评注此解法相当于证明了一遍柯西不等式，也可直接使用该不等式进行求解. 且构造向量的各个参数也可通过待定系数法获得.

解法八：利用几何意义求解

评注在该解法中后半部分如何构造出点M的坐标是解题的难点，此时需要理解平面方程各个参数的几何意义. 对平面方程而言，向量m=(A，B，C)是平面α的一个法向量. 由此，可设且M∈平面α，即可求得点M的坐标.

解法九：条件极值

原问题是在2x+y－ 5z=2 条件下，求x2+y2+z2的最值问题. 构造拉格朗日函数：

解法十：利用几何意义求解

图1

向量d在a、b方 向 上 的 投 影分别为x、y，结合图形可得x2+y2=OD2，d－a在c方向上的投影为z，在图形中即为有向线段HG，从而可得z=HG.

x2+y2+z2=OD2+HG2，过 点D作AB的垂线，垂足为K，易证明四边形DKHG是一个矩形，从而可得HG=DK，即有x2+y2+z2=OD2+DK2. 利用基本不等式，可得x2+y2+现问题转化为计算OD+DK的最小值. 其中DK表示点D作AB的距离. 为此分析可得当O、D、K三点共线时，OD+DK取到最小值. 具体如图2，此时OD+DK=OK=代入上式可得x2+y2+z2的最小值为

图2