指向核心素养的勾股定理教学设计

天津师范大学教育学部 刘颖超 吴立宝 （邮编：300387）

《义务教育数学课程标准（2012 年版）》将核心素养的本质概括为三方面，即会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界. 实现数学素养教学的基本要求和根本保障就是在知识的发生、发展过程中完成认识任务[1]. 勾股定理是数形结合的典范，其发现、验证和证明的过程蕴含着丰富的思维材料，以勾股定理为例设计，以期为教师提供参考.

1 纵横联系，明确育人价值

“勾股定理”是初中数学平面几何教学的重要内容，甚至历史上任何一部中学几何教科书上都出现过勾股定理[2]，其中蕴含的育人价值是不言而喻的. 漫漫的横向历史长河中（如图1），我国早在公元前1100 年《周髀算经》中就记载了商高答周公问“勾广三，股修四，经隅五”的叙述，而公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯从地板图案中发现了这一定理，之后公元前三世纪欧几里得《几何原本》中记载了几何演绎的证明方法，公元三世纪赵爽弦图以及刘徽的青朱出入图用无字证明法精巧地证明了它. 从纵向的教材结构看（如图2），勾股定理是对直角三角形三边关系的深入研究，搭建起几何与代数之间的桥梁，对后继学习有理数、基本不等式、三角函数有奠基作用. 勾股定理证明方法应用广泛，割补法渗透着转化思想，等面积法应用于初中完全平方公式、平方差公式的推导过程，将代数恒等式与几何面积数形结合进行刻画.

图1

图2

因此，勾股定理蕴含着双重育人价值. 在知识层面，它兼具几何与代数的特征，多样的中西方证法，使其具有跨越时空，超越中西文化的别具一格的文化育人价值. 在思想层面，割补法和等面积法是数形结合证明的典范，具有培养学生“用数学思维思考现实世界”的思想育人价值. 如何实现从教书到育人价值的培育，就需要让学生亲历知识的发现和发展过程，把握知识发展中思维的脉搏.

2 聚焦素养，明确教学目标

对数学知识来源的理解有助于数学抽象素养的培养，对数学知识发展的理解有助于逻辑推理素养的达成，对数学知识的运用有助于数学建模素养的形成[3]. 教学应让学生经历勾股定理的形成、发展和应用的探究过程，理解其本质，挖掘知识形成的不同阶段蕴含的核心素养，兼顾知识技能与思想方法制定教学目标：（1）经历勾股定理的发现、猜想的过程，从现实生活图形中抽象出几何关系，探求由形到数的转化并体会由特殊到一般、提出合理猜想的过程，发展数学抽象和几何直观的数学素养，会用数学的眼光观察现实世界；（2）经历勾股定理验证和证明的探究过程，体会其中蕴含的文化价值和数形结合的思想，发展推理能力，会用数学的思维思考现实世界；（3）经历勾股定理应用的过程，建立直角三角形模型解决实际问题，形成知识方法的整体结构，发展模型观念和应用意识，会用数学的语言表达现实世界.

3 理解学生，明察教学难点

落实“以学生发展为本”的教学理念，需要从学生实际情况和发展需要着眼，只有理解学生，找准学生的认知及情感起点、疑惑点和需达成的终点，教学才能做到有的放矢[4]. 从知识基础来看，学生已学习了直角三角形中斜边中线等于斜边一半，以及30°所对直角边是斜边一半等性质，勾股定理是对直角三角形三边等量关系的深入研究，其教学重点为经历定理的探索过程，掌握证明方法、感悟背后的思想和文化价值. 然而在从特殊到一般的探索中，如何由“式”的结构想到“形”的结构，对学生而言是难点. 从思想基础来看，学生虽接触过割补法和面积法，但还缺少与代数推理的有机结合，欠缺思想方法的融会贯通. 由此本课教学难点为建立边长的平方与面积的联系，探究割补法验证和证明勾股定理的过程，并掌握代数推理和拼图法，理解多种证明方法的共性.

4 靶向核心素养，优化教学过程

4.1 会用数学的眼光观察现实世界

4.1.1 启学——数学史探源，激发动力

问题1在公元前1100 年，我国古代西周时期的商高用直角三角形“勾三股四弦五”解答了周公关于如何“测量天地距离”的疑惑，那么“勾三股四弦五”用的是什么原理？公元前550 年，相传西方古希腊数学家毕达哥拉斯到朋友家做客，在排列规则的地板砖上惊喜地发现了直角三角形三边之间的数量关系，究竟直角三角形三边存在怎样的数量关系呢？

追问1以任意等腰直角三角形三边为边长向外做正方形，一个等腰直角三角形为一个单位面积（如图3），观察：

图3

正方形A的面积是 个单位面积；

正方形B的面积是 个单位面积；

正方形C的面积是 个单位面积，

追问2三个正方形A、B、C面积之间有怎样的关系？

设计意图问题1 糅合中西方勾股定理的数学史故事，以史探源，激发学生内在的学习驱动力，迫切地想要去了解“什么是勾三股四弦五？”究竟直角三角形三边存在怎样的数量关系？而后循着数学史中勾股定理发现的足迹展开追问，在数学史情境中启学. 从地板图案中抽象出等腰直角三角形，以三边向外做正方形，发现SA+SB=SC关系，体会数学知识的创造与发现过程，不断靠近数学本质，发展几何直观和数学抽象的素养.

4.1.2 引问——合理猜想，提出问题

问题2根据面积和边长的关系，等腰直角三角形的三边有什么特殊关系？

追问我们研究问题时常由特殊推广到一般，根据等腰直角三角形中的发现，你能提出怎样的猜想？

设计意图问题2 由数学史情境中直观的正方形面积关系，进一步抽象到直角三角形三边关系，用平方嫁接起边长和面积的联系，为证明思路的探寻埋下伏笔. 追问将特殊的情形更一般化，教学生怎样学、怎样研究问题，助力从特殊到一般的研究思路的形成，从而自主提出问题，猜想等腰直角三角形中三边平方关系的发现能否推广到一般直角三角形中.

4.2 会用数学的思维思考现实世界

4.2.1 慎思——以问促思，验证和证明定理

问题3如何验证一般直角三角形的三边是否存在这种特殊的关系？

追问1为方便研究，我们把地板砖进一步抽象为正方形网格进行验证，如图4 给出网格纸中一个两条直角边不相等的直角三角形，分别以三边为边长向外做出正方形分别记为A、B、C（每一小格代表一个单位面积），计算：

图4

正方形A的面积是 个单位面积；

正方形B的面积是 个单位面积；

正方形C的面积是 个单位面积.

追问2讨论交流如何计算正方形C的面积？用什么方法转化来计算？具体怎么操作、怎么列式计算？

追问3通过计算发现正方形A、B、C的面积之间有什么关系，转化到直角三边形的三边上有怎样的关系？

追问4如果直角三角形的三边长不是整数，去掉网格，用GeoGebra 进行实验（如图5）观察直角三角形三边长度为小数并发生变化时，三边之间有何关系？

图5

设计意图在验证活动中，以层层递进的追问引领学生思考，经历直角边长由整数到小数的验证过程. 首先网格纸的验证中难点在于求SC，在学生“愤悱”时，以追问2引领学生深入思考不能直接求SC时能够怎么转化、怎么操作更易求得SC，在学生心中根植“转化”的思想，教会学生如何用数学思维去思考. 通过割补法（如图6）将正方形C的面积转化为易求的直角三角形面积和正方形面积后，再由代数推理得到SA+SB=SC，最终验证结论. 追问4去掉网格，观察直角边由整数变为小数时三边关系的变化，体现数学严谨性的同时发散学生思维，并借助GeoGebra直观演示，在变化中加深学生对三边关系的理解.

图6

问题4请任意画一个一般的直角三角形，将三边分别记为a、b、c，对于任意直角三角形，如何证明a2+b2=c2？

追问1边长的平方与什么知识关联？体现在形上a2是什么？

追问2类比验证的方法，通过数形结合，能否用代数推理证明a2+b2=c2？

追问3这就是著名的勾股定理，又称商高定理，西方是毕达哥拉斯发现的，因此又称毕达哥拉斯定理，而我国商高比西方毕达哥拉斯早五百到六百年发现这一定理. 你能将勾股定理用文字语言和符号语言表示吗？

追问4我国古代三国时期赵爽将两个连在一起的正方形A和B，分割成四个边长为a、b、c的直角三角形和一个边长为(b－a)的小正方形，通过旋转拼接形成一个以c为边长的正方形，也就是赵爽弦图（如图7），如何用弦图证明a2+b2=c2？观察旋转前、后图形面积分别是多少？旋转前后面积有什么关系？

图7 （1）

图7 （2）

追问5赵爽弦图的无字证明法，用“形”的割补直接证明了a2+b2=c2，小组合作能否再用四个边长为a、b、c的直角三角形拼出不同于赵爽弦图的含有边长为c的正方形图案？并结合图8（2）说说如何用“形”证明a2+b2=c2？

图8 （2）

图8 （1）

追问6这是毕达哥拉斯的无字证明法，“以形证数”完成了代数恒等式的证明. 四种证明都体现了数形结合的思想，你还能发现四种证明怎样的共性呢？

设计意图将如何证明a2+b2=c2的大问题分解为四小问，形成问题矩阵. 追问1，通过“平方与什么知识关联，平方在形上表现为什么”的问题启发思考，打破数形之间的思维壁垒；追问2，突破如何用代数推理证明，引导学生对图形进行割补，列代数式推理证明，经历由数到形、再到数的推理过程，渗透数形结合思想；追问4 和5，突破拼图法证明a2+b2=c2，同时渗透文化价值，引导学生思考赵爽弦图旋转前后的面积关系，思考如何拼出与弦图不同且含有边长为c的正方形图案来证明a2+b2=c2，调动学生积极思考，在做中悟思想、明方法；追问6，提炼四种方法的共性特征为数形结合和面积守恒，将分散在头脑中的知识碎片联系整合，达到思维上质的飞跃.

4.2.2 明辨——以问促辨，明确条件

问题5如果去掉直角这个条件，a2+b2=c2是否成立？

追问1借助Geo-Gebra 实验（如图9），不改变两直角边的长度，将直角变为钝角，a、b、c之间有怎样的关系？

图9

追问2借助Geo-Gebra 实验（如图10），将直角变为锐角，a、b、c之间有怎样的关系？

图10

追问3若直角三角形中，两条边分别为6 和8，求第三边有几种情况？

设计意图通过递进式问题将结论更一般化，去掉“直角”的条件，借助信息技术实验直观感知锐角和钝角三角形中a2+b2与c2之间的关系，拓宽思维广度，进而明确勾股定理的适用条件是直角三角形. 脱离大前提直角三角形，等量关系是不成立的，在钝角三角形中a2+b2＜c2；在锐角三角形中a2+b2＞c2. 同时追问3 去掉∠C=90°的条件，启发学生在直角三角形中注意明辨哪个角是直角进行分类讨论，再运用变形公式计算.

4.3 会用数学的语言表达现实世界

4.3.1 笃行——回归情境，运用定理

问题6《九章算术》记载了一个“折竹抵地”的情境：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子处3 尺远，问原处还有多高的竹子？

追问1情境中能抽象出怎样的数学模型？

追问2已知直角三角形中的什么条件，需要求什么，怎样用数学语言表达？

设计意图回归现实情境，引导学生经历运用勾股定理解决实际问题的过程，总结归纳出步骤：第一解决问题关键突破口是将情境转化为在直角三角形中研究，从实际问题中提炼出数学模型，蕴含数学建模的思想；第二分析情境中的已知未知、确定方法，即已知直角三角形一直角边和另两边之和，求另一条直角边长，需列方程求解；第三设未知数AC长为x，根据勾股定理的等量关系列方程求解x. 经历“抽象模型—表达模型—求解模型”的过程，发展模型观念和应用意识，提升会用数学的语言表达世界的素养.

4.3.2 融通——回顾整合，形成结构

问题7通过本节课的学习收获了哪些知识？

追问1勾股定理的验证和证明中学到了哪些数学思想方法？

追问2本节课经历了怎样的探究过程？

追问3通过割补求面积可以联想到小学阶段学习的什么知识？利用等面积法以形证数可以联想到初中学习的什么知识？

设计意图在回顾整合中，萃取精华，形成知识的图式结构和研究问题的基本思路（如图11），帮助学生在知识上巩固，在方法上凝练，在思想上升华，实现三者的融通.

图11

5 反思设计，明悟教学思路

回顾本节课的设计，经历“启学、引问、慎思、明辨、笃行、融通”六大环节，循着勾股定理知识形成、发展和运用的过程，分别以数学史为切入点、问题引领为着力点、形成结构为落脚点，进而培养学生“三会”素养（如图12）.

图12

5.1 知识形成中以数学史为切入点，会用数学眼光观察现实世界

在勾股定理教学中，以中外数学史故事为切入点“启学”，旨在让学生循着数学家发现数学规律的思维历程，理解数学来源于生活的内涵，并以数学的眼光从数学史情境中抽象出数学元素和数学关系，进而引导学生从特殊到一般的研究角度出发提出问题，做出一般直角三角形中三边关系的合理猜想. 在知识形成阶段渗透数学史，一方面使学生感受到勾股定理浓厚的中西方文化底蕴，激发学习兴趣，点燃心底渴望发现、探索的火花；另一方面从知识本源出发，更为学生理解数学本质、提升核心素养以及教师落实数学育人功能提供良好载体.

5.2 知识发展中以问题引领为着力点，会用数学思维思考现实世界

通过问题引领能够步步深入，使学生思维螺旋上升发展. 在勾股定理知识发展的环节中，分别从一般直角三角形的验证、任意直角三角形的证明、勾股定理适用条件的辨析三个维度分层设置问题，每一维度以一个大问题为核心框架，再逐步分解为学生能够达到的递进式和探究式问题系列，如同一个个阶梯式上升的问题矩阵一样，激发学生对正方形C的面积如何转化求解、边长平方如何转化来证明、勾股定理去掉不同条件后有何变化等核心问题的深度思考，于无形中向学生渗透转化思想和数形结合思想. 教学中，教师可以逐个分析每个问题是为了引出哪个知识，设计问题串，帮助学生顺利“上台阶”[5]. 这种逐层递进的问题矩阵具有得天独厚的培养推理能力的优势，有助于启迪思维，能够有效促进学生用数学思维思考现实世界.

5.3 知识运用中以形成结构为落脚点，会用数学语言表达现实世界

在定理运用环节有效发展学生核心素养，就要求不能仅停留在表层解决问题，而关键在于归纳建模步骤、融通知识形成整体结构，否则本节课的知识方法就无法真正进入学生的头脑之中，最终只能是“深入浅出”，有碍于学生核心素养的发展和提升，在应用勾股定理解决问题之后，不仅要让学生学得懂、还要学得通，只有对数学建模解决问题的思想和步骤综合提炼，并在知识总结中上下融通、多点联动、深入加工，不仅将明线的知识、乃至暗线的思想方法和研究思路也形成整体结构，才能在下次运用时准确定位数学知识、思想和方法，培养长远的模型观念和应用意识.