浅谈新教材下三角函数单调性的教学策略

彭霞

摘要：三角函数是高中数学函数教学的重要组成部分，三角函数的性质是高考的必考知识点，而单调性是其性质中非常重要的一个性质。三角函数的教学过程中涉及各种概念、公式等信息量巨大，用到整体代换、数形结合等数学思想方法，且应用灵活多变，这都给我们的教学带来不小的挑战。2020年9月广东高一的学生全面启用了新教材《普通高中教科书数学必修第一册》（A版2019），老师在教学过程中需要认真研究和对比新旧教材中有关三角函数单调性求解过程中的相同点和不同点，因材施教，找出最适合我们学生的教学策略，帮助同学们真正理解这部分的内容。

关键词：新教材;三角函数;单调性;教学策略

《高中数学课程标准》（2017）中明确指出高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一，且高中数学不能只限于形式化的表达。新教材（人教A版必修第一册P205例5）在三角函数单调性的求解方法上就充分体现了 “提高学生的数学思维能力”这一数学教育基本目标。

例题的求解过程利用了复合函数单调性“同增异减”的特点，采用整体代换的数学思想把 看作新的变量z，借助正弦函数y=sin z在相应区间上的图像直观判断获得当时y=sin z的单调递增区间是此时有很多同学会误认为就是原函数的单调递增区间，事实上z只是中间变量我们最终要求的是x的取值范围，所以还需把z换为解出x的取值范围从而得到函数当的单调递增区间.该例题充分体现了数学抽象、数学运算、逻辑推理的数学核心素养，对学生的能力要求较高，对数学基础差的同学有一定的难度，但同时也是挑战，不仅能激发学生的数学学习兴趣和成就感，而且还能鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，更符合高中数学新课标的课程理念。请同学们在掌握了例5的解题方法的基础上求解下面的例题：

此例题中我们求出了函数当x∈R时的所有单调递增区间（单调递减区间的求法与递增区间的求法是一样的），并且体现出了正弦函数的周期性。通过这两个例题的求解使同学们顺利地完成了由特殊到一般的数学推理能力，同时也体现的同学们的总结归纳能力，对同类问题的应变能力，体现了高中数学新课程标准的課程理念——强调本质。新教材没有一开始就给出函数当x∈R时单调递增区间的求法而是通过例题让同学们自己推理、归纳、总结，避免形式化。

横看成岭侧成峰，远近高低各不同。每个同学对同一个问题的认知都可能存在差异，有的同学理解能力强，例5对他来说豪无压力，但对有的同学来说压力就很大了，所以我们能不能换一种方法在变式1的基础上求解例5呢？人教A版《高中数学必修4》（2004）P39的例5给了我们答案。

此种解法和新教材恰好相反，这是从一般到特殊的求解过程，首先求出函数在R上的所有单调递增区间，其次通过取k的一些特殊值（-1，0，1）求出某些单调递增区间，最后通过求集合的交集得到所求的单调递增区间。此种解法“套路”明显，整个过程只有一次整体代换的数学思想，老师在平时教学中通过归纳总结解题步骤并且反复练习即使是基础差的同学也能掌握此种方法的解题技巧从而求解出正确答案，但与新教材的解法相比较过程显得复杂不够简练。

高中数学课程标准明确指出“形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的。因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”。新教材中例5的解题思路完全符合这一课程理念，不只限于形式化的表达而是通过典型例子让学生自主探索并把结论推广到一般。而旧教材的解法比较形式化和“套路”化。有句俗话叫“死去活来”，我想用在我们的数学学习中也是合适的，当同学们理解有困难时我们可以给定某些“规定动作”让同学们反复练习从而达到熟能生巧顺利解决问题的目的。比如旧教材中例5的求解过程可以归纳为：一、代换，二、求解，三、取值，四、交集，五、下结论等这五个“规定动作”。在实际教学中我所任教的一个班是理科普通班（中考成绩大多在610分左右），这个班我两种方法都介绍并让同学们归纳总结出此类问题的一般解法，选取自己最容易掌握的方法并反复不断练习，另一个班是艺术班，这个班的教学主要以旧教材中的方法为主，以学生为主体是我们教学的宗旨。

变式2：求出函数，的单调递增区间。（新教材P207思考）

此“思考”题主要是为了使学生对于复合函数的单调性问题有一个完整的认识，分析思路是一样的，有两种方法：

变式3：求出函数的单调递增区间。

同学们在变式2的基础上总结归纳出变式3的求解方法（课后作业）。

学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程的学习过程中还应倡导积极主动、勇于探索的学习方法，这也是高中数学新课标的要求，我们在三角函数单调性的教学过程中要不断渗透这种思想为同学们高中数学课程的学习打下坚实的基础，为高考做好准备。

参考文献：

[1]《普通高中数学课程标准》[M] 中华人民共和国教育部制订 ，人民教育出版社出版

[2]《普通高中教科书数学必修第一册》（2019）[M] 人民教育出版社 中学数学课程教材研究开发中心 课程教材研究所编著 人民教育出版社出版

[3]《普通高中教科书数学必修第一册教师用书》（2019）[M] 人民教育出版社 中学数学课程教材研究开发中心 课程教材研究所编著 人民教育出版社出版

[4]《普通高中课程标准实验教科书数学必修4》（2004）[M] 人民教育出版社 中学数学课程教材研究开发中心 课程教材研究所编著 人民教育出版社出版

[5]陈禹姗. 基于数学抽象素养的高中函数性质课堂教学. 哈尔滨师范大学.