高中数学人教A版新旧教材“数列”内容比较分析

程雪珂 李治

摘要：随着新高考和新课标的改革，高中数学教材也发生了巨大的改变。本文以人教A版新旧教材数列为例，从目录编排、教材内容等方面进行比较，分析新教材与旧教材的相同与不同之处，并总结了新教材的优点。

关键词：教材;数列;新旧内容

一、问题的提出

《普通高中数学课程标准》包含了数学课程的四个基本理念，分别为：学生发展为本，立德树人，提升修养;优化课程结构，突出主线，精选内容;把握数学本质，启发服考，改进教学;重视过程评价，聚焦素养，提高质量[1]。课程标准是教材编写的主要依据，教材是课程标准的载体，富含着课程标准的理念与价值。根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的人教版高中数学教科书已经在全国大规模使用，这是一套以核心素养为导向的高中新教材，新教材的编写理念，章节排版等都与旧教材有着很大的区别。本文主要以人教A版新旧教材中的数列为例，详细地说明新旧教材的不同，并总结新教材的优点。

二、整体分析比较

目录是构建教材结构的框架，它反映了教材的知识内容和知识的编排顺序，使得知识清晰化和条理化，让学生能够快速了解所学的内容。人教A版的高中数学新教材将数列部分安排在选修第二册第四章，旧教材将其安排在必修5第二章，现将两种教材数列部分的目录列表如表1所示：

从上述表中可以看出，新旧教材的目录发生了很大变化，其一，新教材中不再把等差数列的前n项和与等比数列的前n项和设置为大章节，而是作为等差数列和等比数列的小章节，这样的设置加深了知识点之间的联系，让学生们更能理解“前n 项和”的意义与用法。其二，新教材中删除了信息与技术应用与探究发现，减少了现实生活的举例，但增加了数学史的内容，将数学文化融入到知识点中，体现了数学的核心素养。其三，新教材增加了数学归纳法这一章节，数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法，而数列是定义在正整数集上的离散函数，在数列的学习过程中，采用数学归纳法可以给出严格的数学证明，为学生提供了一种“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式，对之后的学习具有很大的帮助，能够培养学生在数学上严谨的科学态度。

三、教材内容比较

通过表1的对比，可以看出新旧教材的数列部分发生了很大的变化，内容有增加也有删减，有“升级”也有“降级”。但是，目录只能看到整体结构的变化，不能看到各个章节具体内容的变化，为此以下对新旧教材的重点内容进行比较：

3.1数列的概念

在情景导入环节中，旧教材用毕达哥拉斯形数引出数列的概念，没有具体的实例。新教材先给出三个具体的实例，让同学们思考三个实例的共同特征，再给出数列的概念，这有利于增强学生独立思考的能力，更能具体的理解数列的概念。新教材在给出数列的概念之后，將数列与函数相联系，指出以前学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数，并且与其他函数一样，数列也可以用表格和图像表示，因此，新教材更加符合课程标准的要求，更加强调函数的作用，突出了函数的主线地位，凸显了知识点之间的联系。新旧教材在引出递推公式定义的方法又有一些不同，新教材用谢尔宾斯基三角形这个例子详细地给出了递推公式的定义，而旧教材虽然也引用谢尔宾斯基三角形，但是它没有在谢尔宾斯基三角形这个实例的基础上引出递推公式的定义，而是用数列an=2an-1+1得出递推公式的定义，这使得同学们对于等差数列和等比数列的递推公式都有了一定的了解。在数列的概念这一章节最大的变化是新教材增加了数列{an}的前n项和，这是旧教材中所没有的，这一变化的优点在于让学生提前探索数列的求和公式，为后面学习等差数列和等比数列的前n项求和打下坚实的基础，充分考虑到了知识点之间的内在关联性和系统性。

3.2等差数列

在知识导入环节中，旧教材类比实数的运算法则与性质，提出在数列中能不能像研究实数一样，去研究数列的项与项之间的关系，运算与性质呢？从四个现实生活中的实例入手，采用从特殊到一般的方法，引出等差数列。新教材在引言中强调数列是一种特殊的函数，类比函数的研究方法，在了解数列的一般概念后，去研究一些具有特殊变化规律的数列，并列举了四个具体的实例，从中了解到数列的取值规律，进而得到等差数列的概念。

一般而言，数学概念的引入方式有两种：第一种，从数学概念体系的发展进程中引入新的概念;第二种，从解决实际问题需要出发引出新的概念[2]。新旧教材都是从实际生活出发举例，但是两者类比的内容不同，旧教材类比实数的研究方法，新教材类比函数的研究方法，导致学生理解的角度不同。新教材将数列与函数联系起来，更加符合课程标准的要求。除此之外，新旧教材在等差数列的通项公式的导出也存在不同之处，新教材采用完全归纳法，将推导过程和结果详细地写出，而旧教材采用不完全归纳法，将结果设置为“填空”的形式，让学生自己归纳得到[3]。这样编排留给了学生独立思考的空间，有利于提高学生的逻辑思维能力和推理能力。在等差数列求和公式中，虽然都引用了高斯故事为例，但是在内容方法上有所差异，旧教材根据高斯算法的启示，对于公差d的等差数列，用两种方式表示Sn：

引出“倒叙相加法”的思想后，得出等差数列{an}的前n项和：。但是旧教材却忽略了n的取值问题，n取任何数都能得到以上结论吗？这不免使学生产生疑惑。新教材则充分考虑到了学生的认知特点，增加了对n的分类讨论，详细地给出了n为偶数和奇数的求和过程，并让同学思考，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论会比较麻烦，有没有其他的方法避免讨论？为了减少计算量，在分类讨论的基础上，将奇数和与偶数和相加，二者合二为一，得出倒叙相加法，不仅为学生提供了分类讨论的思想，还提高了学生数学运算的核心素养。

3.3等比数列

在等比数列的概念这一小节中，旧教材用四个实例作为知识导入，让同学们观察四个数列的共同特点，从而引出等比数列的概念，没有与等差数列联系起来，将等差数列与等比数列作为两个独立的知识点，割断了知识点之间的连接，让同学们学习等比数列时无从下手。而新教材除了列举四个实例外，还类比等差数列的思路和方法，将等差数列和等比数列紧密联系起来，从运算的角度，让同学们了解到数列不仅有“差”的形式，还能从“和”、“积”、“除”的角度去研究数列，而等比数列的概念就是通过除法运算得到的，让学生在学习等比数列概念的同时，还能巩固前面所学的知识，更能开发学生的思维活动，让学生思考在加法运算和乘法运算的角度，数列有着怎样的变化与规律。在等比数列的通项公式中，将等比数列与指数函数相联系，类比指数函数的性质，思考公比q>0的等比数列的单调性及q>0且q≠1的等比数列{an}的图像的特点，进一步凸显了函数这一主线。

四、结论

通过综合对比，可以发现新旧教材在内容、编排上发生了很大变化，但是新教材相较于旧教材而言更具有优越性，新教材是对旧教材的继承与发展。新教材在每个章节的知识引入中更符合学生的认知规律，以问题情境为切入点，引导学生认真思考。新课标将数列放在函数这一主题当中，新教材在数列这一章节中也一直以函数为主线，强调等差数列与一次函数有关，等比数列与指数函数有关，感受函数与数列的共性与个性，体会数学知识点的系统性与整体性。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]孙浩洁.苏教版与人教版数列教材内容比较研究[J].科教文汇（下旬刊），2019（07）：140-143+151.

[3] 莫绍贵.三种版本教材“数列”内容编写的比较与建议[J].中学数学研究（华南师范大学版），2020（18）：17-19.EF6A59BB-D45B-402B-9FFB-9A32031F6F89