基于学生经验的教学实践与思考

【摘 要】有理数的运算是初中阶段的运算基础，以苏科版“有理数的除法”教学为例，阐述基于学生经验的教学实践，主张教学要摸清学生原有认知经验，引导学生自主构建，重视学生经验总结.

【关键词】学生经验;有理数的除法;教学实践

1 缘起

有理数的运算是初中阶段的运算基础，随着负数的引入，原先的运算过程就变为了两步，即先判断符号，再进行绝对值运算.这对于刚步入初中的学生来说，具有一定的挑战性.不难发现，对于有理数加法与乘法的教学，都需要构建数学模型，将算理直观地呈现给学生，再经过归纳总结得到运算法则.而对于有理数减法与除法的教学，大多将其分别视为加法与乘法的逆运算，最终将其转化为加法与乘法的运算.近期，笔者有幸参加了区公开课展示活动，对其中“有理数的除法”一课深有感触，该课的设计思路大致如下：首先创设求平均气温的教学情境，给出了两组气温，分别列出了算式14÷7和（-14）÷7，利用除法是乘法的逆运算得到算式结果，而后类比14÷7可以转化为14×1/7，列出（-14）×1/7=-2，观察归纳得到有理数除法法则1（除以一个不为0的数，等于乘以它的倒数），随后给出若干个简单的除法运算，引导学生类比有理数乘法法则得到有理数除法法则2（两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除），最后巩固练习、课堂总结.

2 两点思考

2.1 现实情境创设的必要性

苏科版教材在编写意图上强调生活化、情境化，有理数除法的导入也设计了求平均气温的情境，由于气温存在负数，因此在求平均气温时，发现一周的气温和为负数，进而得到了负数除以正数的算式，指出负数引入除法运算是有实际意义的，开启对有理数除法法则的探索.该情境也可以替换为求商店的日均收入、水位的日均变化等问题，目的都是从现实情境中抽象出数学模型，列出有理数除法算式.这些情境归根到底都是求均值的数学模型，存在两点不足，其一，求均值需先进行有理数加法运算，而有理数的加法虽简单，但对本课的探索没有实际帮助;其二，求均值所得的除法算式中除数都是正数，從本质上说该情境只解释了负数除以正数是有实际意义的，而忽略了除数是负数的情况，当然除数是负数的现实情境在学生认知基础上很少出现.纵观其他版本教材，在人教版、北师大版、华师大版等数学教材中均未设置现实情境，而是直接从具体的除法算式出发进行探索.综上，该情境能够得到含负数的除法算式、引出对有理数除法法则的探索，有一定的课堂呈现价值，但只能一定程度地解释有理数除法的现实意义.

2.2 “乘它的倒数”引导的自然化

在学生的已有认知结构中，他们确实知道“除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数”，但他们只用于正数的除法中，并且只有当除数是分数或除不尽时才会使用该法则.对于14÷7这个算式而言，学生根据九九乘法表就可以得出结果，又何必转化为乘法呢？教师刻意引导学生类比得到（-14）×1/7=-2，再观察归纳得到有理数除法法则.在这过程中缺乏了学生的思考，显得不够自然.这就相当于教师先“告知”了法则，学生配合验证，而非学生思考、猜想、交流、发现、探索的结果.3 基于学生经验的教学分析

建构主义强调，学生不是空着脑袋进入课堂的，在他们过去的学习和生活中已经积累了丰富的知识经验.即便是一些未曾接触的问题，学生也能在已有认知结构中找到与之相近的经验，并结合他们的认知能力，形成对问题的解释或假设.一般来说，对原有经验的再构建是学生获得新知的最有效方式[1].在数学学习中，学生的原有认知经验可以分为三类，分别是已有知识经验、生活经验和数学活动经验.这些经验都能通过适当的情境激发出来，并通过数学活动、数学学习内容、情感体验等共同作用下形成了新的认知经验（如图1）.随着学生学习的深入，这些经验不断积累，不断内化为他们的学习经验体系.

在有理数除法的学习之前，学生已经拥有了丰富的认知经验.从已有知识经验来说，学生已经学习了有理数、绝对值等数学概念，掌握了有理数加法、减法和乘法法则，能够进行正数范围内的除法运算;在过去的学习中，学生也积累了一定的数学思想方法，例如分类思想、类比思想等，学生就能够从数学发展的角度认同有理数除法的存在性与必要性，这些经验构成了探索有理数除法的基础.从生活经验来说，学生能够在实际生活中找到对应的数学模型解释负数除以正数.从数学活动经验来说，学生经历了小学阶段的数学学习，自然具有一定的数学思考、实际操作、合作交流、数学表达等经验可供参考与模仿.4 教学过程

4.1 对接经验，类比明晰目标

教师：在有理数的运算学习中，我们首先学习了有理数加法法则，而后学习了有理数减法法则，这里减法与加法互为逆运算，计算有理数的减法就是将减法转化为加法，利用有理数加法法则进行运算.为了简便表示相同量的累加，这就出现了乘法运算.我们在水位问题的探究中，发现了有理数乘法法则.结合练习，回顾有理数乘法法则.

练习1 直接写出结果.

结合练习1，教师引导学生说出有理数乘法法则，并指出第（2）题中的-3与-13互为倒数.

教师：我们已经学习了有理数的加法、减法、乘法，那我们接下来要学习……

学生（众）：有理数的除法.

教师：除法是乘法的逆运算，那类比减法的探索过程，对我们探索有理数除法有什么启发？

学生1：有理数除法也可以转化为乘法进行运算.

教师：有理数的除法是否可以转化为乘法呢？又怎样转化为乘法呢？那我们今天一起来探索有理数的除法法则.

评注 教师通过对有理数运算的梳理，绘制图2所示的思维导图，激活学生过去学习有理数运算的经验，并类比过去经验提出猜想，导入探究主题.同时，从数学内部发展的角度指出有理数除法的存在性和必要性，引发学生的认知共鸣.

4.2 激活经验，自主探究法则

教师：从算式“（-2）×（+7）=-14”出发，你能得到什么除法算式？

学生2：“（-14）÷7=-2”和“（-14）÷（-2）=7”.

教师：很好，利用除法是乘法的逆运算，得到了两个有理数除法算式，那除法如何转化为乘法呢？借助算式“（-14）÷7=-2”来说明.小组合作讨论.

学生3：小学里学过“除一个数等于乘它的倒数”，所以我计算了（-14）×1/7=-2，发现两个算式结果一样，而7与1/7互为倒数，所以我们可以用“除一个数等于乘它的倒数”将除法转化为乘法.

教师：他借助小学的经验，并通过计算验证得出了结论.有没有更一般的做法？

学生4：由于除法和乘法互为逆运算，所以我列出了算式（-14）÷7=（-14）×？（？表示未知数）.这里（-14）÷7=-2，也就是说（-14）要乘一个数等于-2，我猜测是17，代入计算发现未知数？确实为17，所以（-14）÷7=（-14）×17.又因为7与17互为倒数，所以我得到结论“除一个数等于乘它的倒数”.

教师：兩位同学都得到了结论“除一个数等于乘这个数的倒数”，这里要强调除数不能为0.当然一个算式肯定不具有普遍性，请同学们仿照“（-14）÷7=（-14）×17=-2”这个验证过程，再举几个例子.

学生5：（-14）÷（-2）=（-14）×-12=7.

学生6：1÷（-3）=1×-13=-13.

……

教师归纳有理数除法法则1.

评注 教师先利用乘法算式得到有理数除法算式，让学生有“形”可探，而后通过对“如何将除法转化为乘法”的问题进行探索，激活学生的已有经验，并结合小组讨论、猜想验证等活动，经历“从特殊到一般”的过程，让学生在认知基础上自主构建新知.

4.3 借鉴经验，再探除法法则

练习2 计算.

（1）（-10）÷2=;

（2）24÷（-8）=;

（3）（-12）÷（-4）=.

教师：通过上述三个算式，你能发现什么？

提示：仿照有理数乘法法则.

学生7：我发现它们的符号也满足“同号得正，异号得负”，然后把它们的绝对值相除.

教师：那请你类比有理数乘法法则，说出有理数除法法则.

学生7：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.

教师：两个什么数？

学生7：不为0的数.

教师：那0呢？再考虑完善一下.

学生8：两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何不为0的数都为0.

教师归纳有理数除法法则2.

评注 通过对具体算式的观察和提示，学生很快能够发现有理数除法与乘法的相似点，并依托经验仿写有理数除法法则，培养学生归纳、类比的数学思想，发展学生的数学抽象素养.但学生得到的法则往往是不完善的，还需教师一步步引导、补充与完善.

4.4 强化经验，形成知识体系

总结提纲：

（1）在本节课中，我们学习了有理数除法法则，那我们是如何得到两条法则的？在探索的过程中，我们用到了哪些数学思想方法？你积累到了哪些经验呢？

（2）你能创设一个情境来解释算式“（-14）÷7=-2”吗？

（3）在本节课的学习中，你还存在什么数学问题呢？

评注 通过第（1）题的设计，教师引导学生回顾探究内容、探索过程、运用的数学思想方法以及积累的经验，帮助学生构建新知体系，形成新的认知经验.通过第（2）题的设计，在一定程度上解释了有理数除法的实际意义，同时也培养了学生的发散思维、应用意识.通过第（3）题的设计，让学生从数学的角度提出问题，培养学生提出问题的能力，也为学生课后探究问题提供参考.5 教学反思

5.1 摸清学生原有经验

数学知识并非孤立存在的，任何新知都是在学生已有旧知的基础上建构起来的.在有理数除法的教学中，学生已经经历了有理数加减乘三种运算法则的学习，拥有了丰富的经验可供模仿.因此，教师更应立足整体，利用复习回顾、思维导图等形式激活学生原有经验，让经验驱动学生从“毫无头绪”转向“敢于尝试”.

5.2 引导学生自主构建

在课堂教学中，教师应关注学生自主构建的过程，积极启发学生思考.例如，在“如何将除法转化为乘法”的探究中，教师并没有着急给出“（-14）×17”，而是组织学生小组讨论.学生原有认知中存在正数除法法则以及倒数的概念，通过讨论交流与计算验证，让学生在一定思维范式的引导下，实现经验的对接与思维的联结，深化了学生对于法则的理解.同时，由于经验的指引，学生自主构建的过程相对较顺利，这也增强了学生数学学习的信心.

5.3 重视学生经验总结

学生的认知经验并非只包含知识经验，还涉及生活经验和数学活动经验.在本节课中，存在着归纳、类比、从特殊到一般的数学思想方法，这些非知识性的经验对于学生而言是他们未来学习中的“无价之宝”.甚至对于法则的学习过程、探索思路中蕴藏的经验也能成为后续有理数的乘方、代数式的运算等内容学习的重要参考.因此，在课堂教学的尾声，教师应设计总结提纲，引导学生总结课堂学习的经验，形成自己的认知经验体系，最终指向学生能力与素养的发展.

参考文献

[1]丁益民.基于学生经验的数学教学理解与实践——以2019年人教A版“函数y=Asin（ωx+φ）”为例[J].中小学课堂教学研究，2021（06）：64-67.

作者简介 黄贤明（1999—），男，江苏苏州人，中学二级教师;主要研究初中数学教学.