我国中小学数学推理研究的回顾与展望

任利平　徐文彬　潘禹辰

【摘 要】基于CNKI数据库的检索，对177篇数学推理研究文献进行分析，发现我国中小学数学推理研究在近年来发展明显，并逐步关注合情推理.研究内容主要包括：对数学推理本身内涵方面的分析;通过划分数学推理能力水平来调查学习状况、可能影响因素;分析教材中有关数学推理的内容呈现情况;从教师、教学以及课程等方面提出促进数学推理能力培养的策略.然而，当前研究的理论分析中尚且存在定义模糊、理解片面等问题，进而影响实证研究的开展效果，所以未来研究还需要厘清数学推理的基本问题，关注数学推理本身及其在全学段教学落实的整体性.

【关键词】数学推理;中小学;核心素养;合情推理;演绎推理

1 问题提出

推理是指直接或间接地从已知判断得到新判断，存在于生活和学校教学的各个学科之中.但是在学校教学科目中，推理更多在数学中被提及，数学对于学生推理能力（尤其是逻辑推理）培养的意义受到普遍认同，数学推理是数学学科的核心能力之一.

《义务教育数学课程标准（2011版）》的颁布与高中数学核心素养的提出，使得数学推理尤其是合情推理的地位凸显.但在实际教学中，学生数学推理能力的培养仍然面临着很多问题.在小学阶段，教师虽关注到合情推理，但教学更多停留在合情推理的表层.数学推理不能仅仅停留在操作、观察、尝试、画图等简单的推理阶段，要引发学生通过归纳、类比等方法进行猜想、证明.数学推理既包括演绎推理，又包括合情推理，这两种推理都应当贯穿于整个数学学习过程中.数学推理对学生思维训练、创新能力培养具有重要意义，但推理教学还面临诸多问题和挑战，学生推理能力水平有待提高.针对这些现实问题，本研究希望从我国中小学数学推理研究的已有成果中，获得启发.

2 研究概貌

以CNKI中国知网为检索源，以“数学推理”为主题词，分别对期刊文献和硕博士论文进行检索，其中，文献学科选取教育学类、心理学类、社会学类、数学、逻辑类期刊以剔除工农医科等无关文献.截止2021年7月15日，得到期刊文献记录438条，硕博士论文记录226条.经筛选以及阅读补充，最终得到文献共177篇，时间跨度为1997—2021年，其中，期刊论文109篇，会议论文4篇，学位论文64篇（含博士论文7篇）.

下面从年度分布、关键词分布、来源分布三个方面对取样论文进行概貌分析.

2.1 年度分析

将177篇文献按照发表年份整理，得到图1所示的我国中小学数学推理研究的年度分布情况.可以看出，尤其近六年来，数学推理受到越来越多研究者的关注，研究数量总体呈上升趋势.2014年以前，文献数量呈波动状态，而此后则出现了几次明显的增幅，这可能也与中小学数学课程改革有关.具体而言，研究文献的类型以期刊论文为主，学位论文仅在2020年有明显居多的情况，而博士论文始终占了少数.

2.2 关键词分析

如图2所示，在研究出现的高频关键词中，“合情推理”居于首位，这与本世纪中小学数学课程改革中对合情推理能力重要性的明确有关.研究中，合情推理或归纳推理是最受关注的推理类型，尤其在针对小学数学推理的研究中，这种倾向更加明显.同时，关注到“数学素养”“核心素养”等关键词的频繁出现，近年来，不少研究者将数学推理基于此种视角下开展研究，而核心素养中的推理主要是逻辑推理，即演绎推理.

2.3 来源分布

从期刊论文所发表的期刊情况和学位论文所来自的高校情况来看，期刊论文集中在（数学）教育类核心及以上级别的期刊，学位论文主要产自师范类院校（具体参见图3）.具体而言，（数学）教育研究界比较权威的《数学教育学报》《课程·教材·教法》上发表了较多的研究成果，而学位论文主要由设有教育学重点学科的高校产出.总的来说，无论是期刊论文还是学位论文，其研究质量从来源上看都有一定可靠性，具有较好的学术参考价值.

3 主要研究成果

目前，我国中小学数学推理的研究内容主要可分为四个方面：对数学推理本身的理论分析;对学生数学推理能力现状的调查分析;教材中数学推理的内容设置;数学推理能力的培养策略.

3.1 数学推理的理论分析

研究者主要分析了数学推理的内涵与特点、分类、功能和过程.

3.1.1 数学推理的内涵与特点

对于数学推理的概念界定主要立足于心理学和逻辑学.在心理学上，数学推理被看作是一种思维过程.徐斌艳认为，数学推理是指人们在数学观念系统作用下，由若干数学条件，結合一定的数学知识、方法，对数学对象形成某种判断的思维操作过程[1].在逻辑学上，数学推理被界定为一种思维形式[2].吕世虎认为，数学推理是由一个或几个数学命题推导出另一个未知命题的思维形式[3].

数学推理不同于日常生活中的一般推理，也与解决其他学科问题时进行的推理不同.首先，数学推理的对象是表示数量关系和空间形式的数学符号[4]，如代数表达式、几何元素符号等，这一般都与日常生活经验无关.其次，数学推理的依据来自问题所在的数学系统.最后，数学推理具有逻辑性，其中的“前提”“结论”往往会随着推理的进行而相互转化，推理的准确性则依赖于灵活运用已有的条件、公理定理等[5].数学推理的特点正体现了数学的科学性、严谨性.

3.1.2 数学推理的分类

研究者对数学推理的分类大多与课程标准的思路一致，即分为合情推理和演绎推理.合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳、类比、联想、数据分析等方式推断出某些新结论的思维过程.演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则进行证明和计算，也可称为命题推理和运算推理[6].至于合情推理中所包括的归纳和类比两种具体推理方式，其关系尚存争议.史宁中认为，可以将类比推理归入到归纳推理.归纳推理是命题范围由小到大的推理，类比推理是已知一类事物的属性对另一个类中的事物的相似属性进行推断[7]，是特殊的归纳推理.5831760F-8CE3-4ADD-9B8A-586364E6592E

此外，还存在一些不同的分类方法.譬如，依思维分为归纳推理、演绎推理、类比推理;依知识领域分为代数推理、几何推理、统计推理[8];依所得结论的可信度分为论证推理（演绎推理）与合情推理（似真推理）[9];依推理形式正确与否分为形式正确或者结构正确的逻辑推理（包括归纳、类比、演绎）和形式不正确或者结构不正确的不合逻辑的推理[10].史宁中从思维方法的角度分析，将数学推理分为两种：演绎推理和归纳推理[7].

总的来说，数学推理的本质在于演绎推理[11]，但演绎推理的结论通常又需要归纳推理、类比推理来证明，数学教学应立足于演绎推理，同时发展学生的归纳推理和类比推理能力.

3.1.3 数学推理的功能

数学推理对思维发展、命题的理解与阐述、猜想的验证，以及知识域的扩展都起着重要作用.其中，又以在思维和理解上的功能为主[11]，这尤其在演绎推理与合情推理中彰显.

在数学推理中，演绎推理与合情推理具有同等重要的作用，二者不可分割、相互联系.课标指出，合情推理帮助寻找思路，获得初步猜想，为后续的研究提供了一个可能的结论，期间，大胆做出猜测的精神很重要;而演绎推理注重运用事实和逻辑进行严格论证，为的是确证猜想的正确与准确，这则依赖于理性精神[9].但合情推理与演绎推理都存在一定的局限，合情推理是为了猜想、推断，它的结论是或然性的，不一定为真，必须通过演绎推理进行证明;演绎推理只能验证真理，一般不能发现真理，通过演绎推理很难获得创新性的成果.只有将演绎推理与合情推理结合起来，才能经历推理的全过程，促进学生推理能力的全面、深入的发展.

3.1.4 数学推理的过程

数学推理不是一个一蹴而就的过程，体现为学生在解决问题中经历的有逻辑的思维过程.对数学推理过程的研究分为两个方面.一是从数学推理自身出发，经历猜想—进行归纳—加以论证的重复过程[12].这也体现了合情推理与演绎推理在问题解决中相辅相成、循环往复的过程关系.闫龙敏认为，数学合情推理的过程是：基于经验的观察;已有经验的整理;猜想并得出结论[13].二是从数学推理的认知过程出发，李兴贵等人认为，数学归纳推理需经历5个层层递进的认知阶段——“归纳五看”：个别的看、重复的看、想象的看、抽象的看和一般的看[14].也有研究者认为，不同结构成分的数学推理有着共同的认知过程特征：确定问题类型、表述解决问题的策略、对问题信息进行心理表征、分配解题策略、检验和评估问题解决过程与结果[5].

已有研究对数学推理过程的理解实际隐含着把合情推理和演绎推理视为一个完整的推理过程，但很少明确提出.在实际教学中，存在认为某一教学阶段就教某一推理的错误倾向，如小学就只适合教合情推理，初中才开始教给学生演绎推理.明确数学推理是一个完整连贯的从合情到演绎推理的过程，对于推理教学具有启发意义.

3.2 数学推理的学习研究

数学推理能力是学生在数学推理活动中表现出来的思维能力，了解学生数学推理能力的现状以及数学推理学习的困难，有助于进一步探讨教学干预方法.

3.2.1 数学推理能力的水平划分

对于数学推理水平的研究多借鉴国外研究成果，根据学生思维由形象到抽象螺旋上升的认知过程划分能力等级.PISA将推理能力分为三个水平：再现水平、联系水平和反思水平[15].基于此，徐斌艳等人将数学推理能力分为：记忆与再现;联系与变式;反思与拓展[16].王小宁提出了对数学推理能力层级划分的理论构想：由高到低分为程序化水平、自动化水平、直觉水平三个层级.王骧业等人的划分方式则考虑到了推理本身的过程与性质，得到的五个水平为：不会推理;单纯重复前提;自由联想;推理基本正确，但概念不周延;推理出合乎逻辑的正确结论.这种观点也在其他对小学生逻辑推理能力的研究中得以体现[17].从具体内容领域上看，范希尔理论中的几何学习思维水平包括五个等级：水平0——直观;水平1——分析;水平2——抽象;水平3——演绎;水平4——严密[18].

鉴于对数学推理水平的划分多是参考国外，对学生推理能力的测试也主要是运用国外的一些测量工具，因而对数学推理认知水平的理解还停留在经验借鉴上，需要进一步的本土化.

3.2.2 数学推理能力的影响因素

儿童推理水平存在个体差异，在不同的推理能力、同一推理能力的不同方面处在不同的层级，这受到了很多复杂的因素影响.已有研究对儿童数学推理能力影响因素的分析主要包括三个方面.一是学生自身因素，包括性别、年级、地区、认知水平、动机与态度、学业成就等.二是教师方面的因素，包括教师角色、教学态度、教学方式等.三是课程方面的因素，包括课程设置[19]（新授课、练习课、复习课所占比重）、课程内容（教材推理能力的占重、偏重）等.不过，这些研究大多触及表面，对某一因素进行具体深入探讨的研究较少，故而对于能够在一定程度上通过教学或其他干预来减少影响的措施还没有较成熟的结论.

3.3 教材中的数学推理

教材中有关推理内容的编排与设置，可以体现其在教学中的地位与价值导向，又鉴于教材是教学和学习的主要依据，这也能在一定程度上反映实际的数学推理教学状况.研究主要从三个方面来分析教材中的推理内容.

一是不同推理在教材中的分布.有研究发现，推理贯穿于整个小学阶段，而且归纳推理居于主导地位，类比推理次之[12].王雪晶对苏教版小学教材的研究就验证了这种观点，并且发现，统计推断这一不确定性更强的推理方式出现的更少[20].

二是推理在不同知识领域的体现.譬如，教材中关于推理内容的分布可能不均匀，人教版教材就集中于“数与代数”[12].王秋歌研究了合情推理在人教版小學数学教材各个知识领域中的呈现，发现在“数与代数”中主要涉及到整数、小数、分数、百分数、负数等知识点;“图形与几何”中主要涉及到图形的认识、图形的测量、图形的运动、图形的位置等知识点;而“统计与概率”并没有成为推理教学的重点[21].5831760F-8CE3-4ADD-9B8A-586364E6592E

三是推理在不同教学活动的体现.譬如，新授知识教学时，合情推理体现在例题情境或问题串中，而解决问题的教学活动则是在课后习题、整理与复习中需要用到合情推理[20].

教科书中蕴含着丰富的数学推理思想，但已有研究对其挖掘不够.针对小学阶段的研究，主要探究合情推理在教材中的体现，而没有关注到演绎推理.对合情推理的研究也较为简单，多是量化的比重分析或片段的内容分析.

3.4 数学推理能力的培养策略

已有研究对数学推理能力的培养十分关注，从教师、教学和教材三方面提出了策略.就教师而言，首先，在教师素养上，教师要充分学习各种不同的推理，提高自身的推理能力[22].其次，教师要树立以推理为核心的数学教学观，有意识地在教学中向学生传授推理的思想[23]，要关注学生，注重培养学生的创造思维能力意识[24].此外，教师要培养学生对自己的思考与结论进行反思的意识[25];在教学中兼顾多种推理形式，并给学生自己进行“推理”的机会[26].教师在学生数学推理中所扮演的角色是情境创设者、引导鼓励者、倾听交流者、监控促进者[27].钱学锋认为，精心设计的教学活动、从猜想到证明的完整探究过程，以及充分的说理与适当的教师总结，将有助于学生推理能力的提升[28].

就教学而言，研究者论及教学内容、模式、活动和实施等方面.尹淑英认为，要在数学的四大板块教学中全面渗透合情推理能力的培养，拓宽培养渠道，并创建一套适合小学生合情推理能力培养的实践模式，让学生经历经验—猜想（最初的猜想）—猜想（更可靠的猜想）—猜想（几乎可靠的猜想）[22].林晓峰提出创设情境—观察、实验—猜想—验证/反驳—证明—应用的合情推理课堂教学模式[29].王世宝认为，可在课堂教学，包括概念教学、命题教学或者证明教学等教学活动中，发展学生的推理能力[30].李全香认为小学数学教学中实施归纳推理可以例子为指引[31].

在教材方面，鉴于数学本身的学科特性，且推理又是一种蕴涵了逻辑性的教学内容，其系统性应当与学生的认知发展规律结合起来，作为教材编写的依据[32].王晓辉、赫晓玲建议在教材修订中能体现“创设情境—进行探究—归纳猜想—建立数学模型—推理论证—应用”的模式，使形式与内容统一[33].具体来说，现在的教材大多是采取演绎的方式讲解数学概念，还需要用归纳的方法呈现一些定义、公式、定理[7].但是，课程内容的删减与添加应确保演绎推理占据足够的份额[11].根据学生逻辑思维能力层级发展的特点，对于小学低年段的学生来说，观察、猜测等直觉性或直观性的活动应当作为重点，使推理思想萌芽其中，而对于小学高年级和初中生则有必要将更多的严格证明渗入其中[20].4 研究结论与展望

基于上述对文献的概貌分析和内容分析，可以发现数学推理的关注度逐渐上升，研究兼及理论与实践两方面，不过也有值得继续探究的问题.

4.1 进一步明晰数学推理的内涵与外延，深化理论研究

已有研究较为关注数学推理的价值与功能，对其整体上的把握较为准确，但是多从逻辑学和心理学上进行阐述，对于推理在数学教学中的具体意义阐述不清，尤其中小学教师可能没有认识或片面认识推理的价值.需要进一步明确数学推理的内涵和外延，增加数学角度的理解，可以给出数学推理的操作性定义，从而帮助指导教学.在数学推理的分类上，普遍分为合情推理和演绎推理，但对其内涵，尤其是二者关系理解不清，需要明确不同类别下的数学推理在具体教学中的体现.这些对数学推理本身的基本探讨将成为后续实证研究以及教师教学实践的基础.

4.2 系统全面地研究整体的数学推理，关注从合情到演绎的过渡

随着新课标对合情推理的强调，越来越多的研究关注合情推理，提出降低演绎论证推理的难度，甚至认为在小学阶段没有演绎推理的教学.实际上，合情推理并不停留在猜想、操作;演绎推理也并不仅仅是三段论格式的证明，二者是一个统一的整体.在教学中要把握好二者的关系，在不同阶段，应以不同的方式让学生经历完整的推理过程.研究尤其要关注，如何实现从合情推理到演绎推理的过渡，以及如何借助合情推理的手段辅助演绎推理的证明，以便在教学具体实施中合理把握推理的层次和教学方式.

4.3 淡化不同学段的研究重点倾向，促进数学推理教学与研究的连贯性

目前，小学阶段数学推理的研究多是对合情推理、类比推理、归纳推理单一的研究，初高中阶段数学推理的研究主要是对演绎推理的研究，研究内容在学段上表现出差异.同时，整体的研究倾向于中学生，这表现出研究者对数学推理认识的片面性.为此，从合情到演绎的完整过程来看待数学推理，那么从小学（甚至学前）到高中（再到高等教育）都将纳入研究之中，在不同学段中都会涉及不同的推理培养，只是可能在推理类型上会有所侧重.此外，教学研究还应避免经验总结，依据行动研究甚至实验研究来提供可行且可靠的建议.

总之，当前我国中小学数学推理研究已触及对数学推理本身的分析，以及对学习、教学、课程等现实情况的探讨，未来研究有必要重点关注从全阶段的教育过程中实现学生数学推理能力的层级式发展.

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作者简介 任利平（1993—），女，河南驻马店人，南京师范大学教育学硕士，小学教师;主要从事数学教育研究.徐文彬（通讯作者）（1966—），男，安徽宣城人，教授，博士生导师;主要从事数学教育研究.潘禹辰（1998—），女，江苏苏州人，南京师范大学教育学硕士研究生;主要从事数学教育研究.

基金项目 全国教育科学“十三五”规划2018年度国家一般项目“中小学STEM教育基本理论与本土实践问题研究”（编号：BHA180126）.5831760F-8CE3-4ADD-9B8A-586364E6592E