概念教学中培养数学抽象素养的途径——以“任意角的三角函数”教学设计为例

邢高楠 邵 利

(四川师范大学数学科学学院，610068)

随着课程改革的不断推进，培养学生的核心素养成为课堂教学的重要目标，但对于一线教师来说，如何将核心素养落实到课堂教学中是一个重要的课题.本文以“任意角的三角函数”的课程教学为例，以“数学抽象”为切入点，就概念教学中如何发展学生的数学抽象素养进行探究.

一、教学设计

1.概念引入阶段

问题1播放有关摩天轮的图片(如图1)和视频，提出问题:观察图片和视频，结合之前课程所学想一想这个摩天轮在动的过程中，有什么样的现象?

问题2如果把摩天轮的这个周期运动现象，转译为数学语言，就得到这样一个问题：已知点P在半径为1的圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，角速度为θrad/s，如何描述ts时点P所在的位置.

设计意图数学概念的引入方式多种多样，但不论哪种形式，情境创设都是数学教学的重要环节，也是在进行教学设计时需着力解决的问题.贴近学生实际来创设情境自然引出课题，本设计从已有的生活经验出发让学生经历“数学化”的过程[1].

2.概念建构阶段

探究2点P的纵坐标y是α的函数吗?为什么?

探究3尝试给出角α的正弦的定义.请小组合作探究协作交流(提示:在探究1中的表格旁写出sinα，根据初中学过的在直角三角形中三角函数的定义，填写sinα).

探究4当α为锐角时，对应纵坐标y的取值与按照锐角三角函数定义求得的α的正弦值相等吗?说明理由.

探究5类比上述过程，点P的横坐标x是角α的函数吗?如果是，应该如何定义?

解决模型(见问题2)已知点P在半径为1的圆上按逆时针作匀速圆周运动，角速度为θrad/s，如何描述ts时点P所在的位置.

设计意图数学概念的建构阶段，不仅需要教师严谨的表达能力，还需要学生的抽象概括能力.这里给出的五个探究，同时利用多媒体辅助教学来引导学生对概念进行建构与验证.

3.概念巩固应用阶段

巩固2已知角α的终边经过点P，求α的三个三角函数值.

提升1已知角α的终边经过点P，求α的正弦、余弦和正切值.

提升2设角α的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)它与原点的距离为r，猜想sinα，cosα,tanα与x,y,r的关系并证明.

设计意图在生成概念后为使概念的内涵与外延更加清晰，清除学生的疑问，提高学生的辨析能力，并在应用阶段将概念灵活地运用到具体数学问题中，探寻捷径，发展学生的数学抽象素养，故设计两个巩固与两个提升，采取分组汇报、合作学习的方式，通过鉴别熟悉情境中的错误，引发认知冲突，从而让学生深化对概念的理解.

二、教学反思

1.数学抽象的萌芽:创设情境

“任意角的三角函数”是概念课，需要学生经历数学抽象的思维过程；而抽象化的数学语言枯燥难懂，选择让学生以现实生活中实例为载体感受周期现象，不仅可以帮助学生建立一个相对熟悉的情境，而且能够激活学生的学习兴趣，使学生能较快地融入新概念的学习.在教学过程中，引导学生思考摩天轮在转动过程中的现象，将其转化为数学问题，让学生会用数学的思维来分析世界.通过创设情境、引入数学概念，突出研究问题的特点，培养学生的思辨能力，同时更直观感受数学源于生活，服务于生活，是数学抽象的萌芽.

2.数学抽象的发展:归纳类比

设计“探究1至探究5”.在探究与发现中不停地设问、追问，挖本质，引导学生构建数学概念，首先利用具体角度位置与单位圆上坐标的对应，体会角度大小引起坐标改变的规律;其次利用几何画板演示周期引起的变化规律，同时让学生感受变化过程，进一步体会角度大小与坐标的对应关系;最后利用初中锐角三角形函数的概念和高中的函数的概念，归纳类比单位圆完成新函数的定义.综上所述，在获得概念的过程中，学生归纳类比、抽象概括，亲自参与数学抽象过程、亲自经历数学抽象思维，提升了数学核心素养.因此，归纳类比、抽象概括是生成概念的重要手段，是数学抽象素养的发展点.

3.数学抽象的助力:引用技术

数学教学的重要目标是帮助学生发展数学思维，而相当一部分学生没有养成良好的数学思维品质，此时可以引用现代信息技术，帮助学生将抽象的数学理论更加直观和形象地呈现出来，以便学生去理解数学知识和内化抽象.在“任意角的三角函数”一课教学设计中，利用几何画板操作画图、直观示意，让学生感受变化的过程.同时，让学生在操作的过程中经历、比较、抽象、概括的思维过程，提升数学抽象素养.可见，引用技术是提升学生数学抽象素养的助力点.

4.数学抽象的生长:设计活动

数学抽象是一种高水平的思维，需要学生的独立思考.教师不能直接告知抽象的结果，而应让学生靠自己的力量、用自己的思考，深度参与数学抽象的过程，最终形成抽象的结果[2].因此，设计多样的数学活动，有助于学生提升数学抽象素养.在活动的过程中，让学生进行自然语言、图形语言和符号语言的转换表达，加深思考，让学生在观察、猜想、验证、推理、讨论、互动等活动中体验数学.尽管有的学生在交流探究过程中，走了“弯路”，但这就是学生在进行抽象思维过程中碰撞的体现.在经历这样的碰撞后，学生的数学抽象素养就会得到一定的提升.可见，数学活动是数学抽象的生长点.

抽象是数学的本质特征之一，数学抽象素养是数学学科核心素养之首，而概念教学又是培养学生数学抽象思维的重要途经之一，是落实数学抽象素养的良好载体.所以，可以通过概念教学，以教学的内容为载体，把数学抽象贯穿于数学概念引入、构建、巩固、运用的全过程，从而让学生经历并体会数学抽象的过程.在概念学习的过程中，让学生在数学问题情境中感触数学抽象的萌芽，在归纳类比、抽象概括的过程中探究数学抽象的发展，在借用多媒体技术的过程中助力数学抽象的发展，在各类学习活动中提升数学抽象的生长.