例析求数列通项公式的几种思路

李君宪

一般地，数列{a}的通项公式可用数列的第n项a来表示，而第n项a与项数n之间存在一定的联系，因此求数列的通项公式，关键是找出第n项a与项数n之间的联系，求得第n项a的表达式.求数列的通项公式问题的难度一般不大，但命题形式多种多样，其解法也各不相同.下面结合实例，谈一谈求数列通项公式的几种思路.

一、采用观察法

有些问题中会直接给出数列的某些项，要求数列的通项公式，需仔细观察分析给出的这些项，明确：①分式中分子与分母的特征;②相邻项之间的差异;③各项符号的特征，以便总结出规律，确定第n项a與项数n之间的联系.这样就能快速求得第n项a的表达式.

例1.求下列数列的通项公式.

（1）3，5，9，17，33，…;

（2）1，3，6，10，15，21，…;

（5）8，88，888，8888，….

解析（1）仔细观察数列中的各项，可发现，将每一项减去1，可得2，4，8，16，32，…，即数列{2}，据此可得到数列的通项公式为a=2+1.

求数列的通项公式，应注意观察数列中各项之间的相同和不同之处，明确其变化规律，以确定第n项a与项数n之间的联系.特别要注意前后项之间的差异、奇数项和偶数项的符号之间的差异.

二、根据等差、等比数列的定义

例2.已知数列{a}的各项均为正数，S为其前n项和，且对任意n∈N，均有a，S，a成等差数列，求数列{a}的通项公式.

解：∵a，S，a成等差数列，∴2S=a+a.

当n=1时，2S=2a=a+a.

又a>0，∴a=1.

当n≥2时，2a=2（S-S）=a+a-a-a-1，

∴（a-a）-（a+a）=0.

∴（a+a）（a-a）-（a+a）=0，

∴（a+a）（a-a-1）=0，

∵a+a>0，∴a-a=1，

∴{a}是以1为首项，1为公差的等差数列，

∴a=n（n∈N）.

解答本题，需根据已知条件求得a、a的关系式：a-a=1，便可根据等差数列的定义求得数列的公差，再根据等差、等比数列的通项公式求得问题的答案.

三、利用a与S之间的关系

例3.已知数列{a}的前n项和为S=3-1，求该数列的通项公式.

解：当n=1时，a=S=2;

当n≥2时，a=S-S=3-1-（3-1）=2·3，

经检验，a=2满足a=2·3.

故数列{a}的通项公式为a=2·3.

在利用a与S之间的关系求数列的通项公式时，很多同学经常会忽略讨论当n=1时的情形，导致解题出错.同学们在解题时，需注意这一点.

四、叠加、叠乘

例4.（1）在数列{a}中，a=2，a=a+2n-1（n≥2），求数列{a}的通项公式.

（2）已知S为数列{a}的前n项和，a=1，S=n·a，求数列{a}的通项公式.

解：（1）∵a=2，a=a+2n-1（n≥2），

∴a-a=2n-1，

∴a=（a-a）+（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+a

=（2n-1）+（2n-3）+（2n-5）+…+（2×2-1）+1+

1=n+1;

（2）∵a=1，S=n·a;

∴當n≥2时，S=（n-1）·a，

∴a=S-S=n·a-（n-1）·a_n-1，

在采用叠加法、叠乘法求数列的通项公式时，要明确：（1）递推式与a之间的关系;（2）在叠加、叠乘的过程中相消的是哪些项、剩余的是哪些项.

五、构造辅助数列

有些递推式较为复杂，我们很难快速求得数列的通项公式，此时，可通过引入待定系数、在递推式的左右同时取倒数、取对数等方式，将递推式进行变形，以便构造出辅助数列，利用等差、等比数列的通项公式，或通过叠加、叠乘求得数列的通项公式.

在求数列的通项公式时，需首先仔细观察数列的各项、递推式、关系式，并对其进行适当的变形，以便明确第n项a与项数n之间的联系，求得a的表达式.求数列通项公式的方法很多，在解题时，我们需根据数列的各项、递推式、关系式的特征，选择与之相应的方法进行求解.