以图形的特征为切入点，解答有关直线与圆的问题

顾文佳

一般地，有关直线与圆问题的运算量较大.为了减少运算量，在解答有关直线与圆的问题时，常常需借助图形来分析问题，以图形的特征为切入点，根据图形的特征、性质来寻找解题的思路.下面结合实例，谈一谈如何借助图形来求解直线与圆问题.

一、从角平分线的特征入手

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线.那么角平分线上任意一点到角两边的距离相等.这是角平分线的一个重要性质.有些直线与圆问题中涉及了角的平分线，此时可根据题意画出图形，从角平分线的特征入手，根据角平分线的性质建立有关角、距离的等量关系，求得问题的答案.

例1.已知在△ABC中，点A（-1，5），∠B和∠C的平分线所在直线的方程分别为x-y+2=0和y=2，求△ABC的面积.

解：由图1可知点A关于直线x-y+2=0的对称点A′必在直线BC上，点A关于直线y=2的对称点A″也必在直线BC上.

设点A″（x₂，y₂），则x₂=-1，y₂=-1

所以点A″（-1，-1）.

又直线BC经过点A′（3，1）

所以直线BC的方程为x-2y-1=0.

所以点B（-5，-3）;

所以点C（5，2）.

三条内角平分线的交点是三角形的内心（即内切圆的圆心），由角平分线的性质可知该交点到三角形三边的距离相等，所以可以断定点A关于∠B的平分线的对称点必在直线BC上，点A关于∠C的平分线的对称点也必在直线BC上，据此建立方程组，便可求得B、C的坐标和三角形的面积.

二、从圆的特征入手

在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为半径旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆.圆的性质很多，如圆是轴对称、中心对称图形;等弦所对的圆周角相等或相补;直径所对的圆周角为直角;切点与圆心的连线与切线垂直;圆心到切线的距离等于半径;等等.在解答有关直线与圆的问题时，可从圆的特征入手，结合图形明确圆心、切点、切线、直径等及其位置关系，根据圆的性质建立关系式，再灵活运用圆的方程、直线的方程、点到直线的距离公式、勾股定理等来解题.

例2.已知点B（1，1）是圆O：x²+y²=4内一点，P，Q为圆O上的动点，且∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.

解：根据题意画出如图2所示的图形，连接BN， ON， OQ.

因为N是线段PQ的中点，

因为∠PBQ=90°，且N是线段PQ的中点，

设点N（x，y），则x²+y²+（x-1）²+（y-1）²=4

化简得x²+y²-x-y-1=0.

故线段PQ的中点N的轨迹方程为x²+y²-x-y-1=0.

一般地，若已知点A，B在圆C上，弦AB的中点为M（如图3），由圆的性质：切点与圆心的连线与切线垂直可得AB⊥CM，所以△AMC和△BMC都是直角三角形. 从圆的性质入手，找出图形中的直角三角形，运用勾股定理建立关系式，即可得到动点N的轨迹方程.

三、从中垂线的特征入手

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”.中垂线的性质主要有：（1）中垂线垂直且平分其所在的线段;（2）中垂线上的任意一点到线段两端点的距离相等.在解答两圆相交问题或者圆中弦问题时，可从两圆公共弦的中垂线入手，根据中垂线的性质，找到垂直关系或等量关系，便可快速解题.

例3.求圆心在直线3x+4y-1=0上，且经过两圆x²+y²-x+y-2=0与x²+y²=5的交点的圆的方程.

解：记圆C₁：x²+y²-x+y-2=0，

设两圆相交于点A，B，根据两圆的方程可知直线AB的方程为x-y-3=0，

易知公共弦AB的中垂线为C₁C₂，

所以公共弦AB的中垂线方程为y=-x.

设所求圆的圆心为C，根据题意可知圆心C就是直线3x+4y-1=0与y=-x的交点.

所以圆心C的坐标为（-1，1）.

故圆的方程为（x+1）²+（y-1）²=13.

由于直線与圆问题都与平面图形有关，所以在分析、解答问题时，应将数形结合起来，借助图形来分析问题，这样有利于提升解题的效率.从“形”入手，便于挖掘图形的特征;然后根据图形的特征、性质建立关系式，即可通过“数”获得问题的答案.6D5550D2-61F0-48AE-954F-357FF8B98DB2