开展跨学科STEM教学，培养对数学的好奇心

唐依婷 袁智强 戴飒英

摘要：立足数学学科开展跨学科STEM教学，可以培养学生对数学的好奇心。《翻转的数学》一课主要带领学生探究四面体翻转环，可以安排在初二下学期教完“平行四边形”一章之后。本节课采用“6E”教学模式，教学过程包括情境引入、折纸探究、折纸工程、原理解释、模型精致和总结评价6个环节，通过开展以学生为主体的基于问题、基于探究、基于设计、基于协作的学习，彰显数学学科的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。

关键词：STEM教育;好奇心;折纸;四面体翻转环;“6E”教学模式

本文系教育部人文社会科学研究青年基金项目“创新型STEM教师培养的探索性研究”（批准号：18YJC880115）的阶段性研究成果，也系本刊连载的袁智强副教授团队开发的第6个具有STEM教育特征或跨学科背景的中学数学课例。近年来，交叉融合的STEM教育理念在国内外盛行。其中，跨学科STEM教育往往基于问题，采用STEM相关课程整合模式。也就是说，把科学（Science）、技术（Technology）、工程（Engineer）和数学（Mathematics）等STEM学科分别看作单独的学科，在学习过程中独立运用，以实现学科交叉融合，但各科教学内容的安排会注重彼此之间的联系。袁智强.交叉融合的STEM教育：背景、内涵与展望[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（3）：35。《义务教育数学课程标准（2022年版）》顺应国际潮流，多处强调了“跨学科主题学习”“跨学科的应用意识与实践能力”和“跨学科背景”。我们认为，立足数学学科开展跨学科STEM教学，有助于学生认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值，从而培养对数学的好奇心。《义务教育数学课程标准（2022年版）》第一次把“对数学具有好奇心和求知欲”列为课程总目标之一。

基于这样的想法，我们设计并实施了《翻转的数学》一课，引导学生探究四面体翻转环。

一、设计思路

因为教学内容主要涉及四面体及其展开图、三角形全等、特殊三角形、勾股定理、镶嵌等数学知识，STEM情境主要涉及气体密度、浮力、重力等科学知识，根据人教版数学教材和物理教材的内容，本节课安排在初二下学期教完“平行四边形”一章之后最为合适。

本节课采用“6E”教学模式，教学过程包含以下6个环节：情境引入（Engage）、折纸探究（Explore）、折纸工程（Engineer）、原理解释（Explain）、模型精致（Elaborate）和总结评价（Evaluate）。李雪琴，袁智强，戴飒英.基于STEM教育理念的初中数学“综合与实践”一例——《飞翔的数学》教学及启示[J].教育研究与评论（中学教育教學），2020（6）：3439。各个环节的总体设计如下：

第一个环节：教师通过一个专注于仿生技术和气动自动化的公司研发的智能翻转飞行器创设情境，将STEM相关学科知识融入飞行器模型的呈现和原理的讲解中，展示充满未来感的科技产品，从而激发学生的好奇心和求知欲，提高学生的学习主动性;引导学生聚焦并探索飞行器特殊的飞行模式及其背后的几何特征，培养学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界的意识。

第二个环节：教师通过折纸工艺呈现飞行器迷你模型，引导学生观察、分析并总结模型的几何特征，通过拆解折纸模型了解折叠步骤，得到模型展开图，理解“拆解”和“制作”是两个互逆的过程，培养学生的观察能力和动手能力，增强学生的体验感;引导学生以学习小组为单位，探究展开图中的三角形与立体模型中的三角形的对应关系，并通过拆解和展开四面体的实践操作，简单、直观地呈现出单个四面体展开图与整体展开图之间的联系，让学生关注和感受从平面图纸向立体模型转化的过程。

第三个环节：教师带领学生制作折纸模型，请完成的学生上台分享作品，未完成的学生上台分析问题。通过作品对比，培养学生观察、分析和归纳推理的能力;让学生在“玩”中学，在感受折纸魅力的同时，思考翻转中蕴含的数学知识;通过“失败”的作品，培养学生直面困难的勇气，激发学生探究原因的好奇心，提高学生主动思考的积极性。

第四个环节：教师引导学生以学习小组为单位，探究四面体翻转环实现翻转的关键。先让学生自主观察、相互提问、交流解答、记录过程并整理结论，再对学生的总结进行评价和补充;使用动态数学软件GeoGebra进行3D建模，使学生能直观形象地看到翻转的临界位置，并细致地观察和分析，培养学生的直观想象核心素养;同时，关注学生受挫时的心理状态，强调“失败是成功之母”，对学生进行挫折教育，并给予及时的鼓励。

第五个环节：让学生自主绘制图纸、设计具有万花筒效果的四面体翻转环，引导学生深度认识翻转环中每个面与平面图纸中每个三角形的对应关系，让学生在动手实践中再次感悟平面图形与立体图形之间的联系;以四面体翻转环为钥匙，开启折纸领域的大门，开拓学生视野，发散学生思维，促进学生自主学习折纸艺术并探究其中的数学奥秘，从而寓教于乐，既完成知识的迁移与应用，又激发学生的好奇心，同时培养学生自主学习的能力。

第六个环节：以提问的形式带领学生回顾课堂学习过程，帮助学生梳理学习内容，总结思想方法，方便学生对课堂知识进行迁移应用和自主探究。

二、教学流程

（一）情境引入：根据现实应用，抽象几何模型

师今天，老师要向大家介绍一个很特别的飞行器，请大家仔细观察视频中飞行器的飞行方式，看看到底“特别”在哪里。（播放视频）大家观察到特别的地方了吗？

生和我们一般见到的飞机的飞行方式不同，它是翻转飞行的，而且好像没有发动机。

师这位同学的观察非常到位。视频中的智能翻转飞行器是一个专注于仿生技术和气动自动化的公司生产的面向未来的科技产品。（出示图1、图2）飞行器采用的极轻量化材料内部充满了氦气，由于氦气的密度比空气小，所以飞行器受到的浮力比重力大，以此实现悬浮。通过电动驱动元件和智能控制面板的组合装置，实现对飞行器飞行状态的调控。再结合其特殊的几何结构，实现翻转飞行。大家想学习制作这个飞行器的模型吗？

生想！

师想要完整地复制出这个飞行器，我们需要丰富的跨学科知识。今天，我们主要用数学的眼光观察和分析它的几何特征，并用折纸工艺完成模型的制作。

（二）折纸探究：观察几何特征，探索折叠步骤

师（出示模型，如图3所示）老师利用折纸工艺，制作出了这个飞行器的迷你模型。

（教师提出问题1：请同学们仔细观察折纸模型，你发现它具有哪些几何特征？）

生我观察到它的几何特征有：①具有对称性;②是由6个完全相同的四面体组成的环状几何体;③相邻2个四面体有且仅有1条公共棱;④可以实现360°翻转。

师这位同学总结得非常到位。根据以上特征，我们称这样的几何体为“四面体翻转环”。要想知道这个四面体翻转环的折纸模型是如何制作的，首先要解密它的设计图纸，也就是画出它的展开图。而拆解模型是最直接的方式。下面，我们一起将它拆开看看。

（教师用折纸模型向学生展示拆解过程：解开固定层—逐层外推—得到直筒—剪开粘合处—得到如图4所示的展开图。）

师通过刚刚的拆解，同学们知道大致的折叠步骤了吗？

生就是拆解的逆过程。

（教师提出问题2：请同学们仔细观察模型展开图，图中的三角形有什么特征？与折纸模型中的三角形有怎样的对应关系？）

师请大家带着问题，以学习小组为单位，先自主观察，再相互提问交流想法。请每组的组长安排一位成员记录，最后老师将请一些代表上台，分享小组交流的成果。

生图纸的正反面因为折叠有明显的凹陷和凸起，这些痕迹是折叠的关键。图纸中最基本的图形是直角三角形和等腰三角形。直角三角形两直角边的比为2∶1，等腰三角形底边和底边上的高的比为1∶1，兩个直角三角形可以拼成一个等腰三角形。

师知道了这些基本信息，同学们就可以自己画出图纸了。我们可以清晰地看到，图纸被分为6列，每列有4个等腰三角形，共24个。这是从平面图纸中得出的结论，是否能通过其他方法得出等腰三角形的数量？

生从折纸模型中可以看出，一个四面体翻转环中含有6个四面体，四面体的每个面都是等腰三角形，所以有24个等腰三角形。

师观察得非常到位，这位同学已经脱离平面的束缚，能从立体的角度思考问题了。由此可知，这张图纸中包含了6个四面体的展开图。

（教师提出问题3：四面体展开图与整体展开图有怎样的对应关系？然后使用动态数学软件GeoGebra展示四面体展开过程，如图5所示。）

师这是大家容易想到的一种展开方式，底面不动，侧面展开，状如开花。大家觉得这种展开方式是不是就是我们这个四面体翻转环中每个四面体的展开方式呢？为什么？

生不是，6个这样的展开图无法拼接成图纸的形状。

师那它的展开方式到底是怎样的呢？实践出真知。我们请一位同学上台，从四面体翻转环中剪下一个四面体，并将它展开。

（学生操作，得到如图6所示的展开图。）

师我们可以看到，单个四面体的展开图为4个等腰三角形加上2个起固定作用的直角三角形共同组成的一个小矩形。6个这样的小矩形就构成了四面体翻转环的展开图。

（三）折纸工程：制作折纸模型，展示交流作品

师知道了折纸模型及其展开图的基本几何特征和对应关系，我们就可以开始制作四面体翻转环的折纸模型了。请大家拿起新的图纸，跟着老师一起来制作。

（教师展示制作步骤，同步进行制作——①图纸预折：将图纸中每一条描线折成统一的山形折痕，如下页图7所示;②粘合成筒：将图纸顺着竖直的折痕方向围成筒状并用透明胶粘合，注意上下对齐，如图8所示;③内折成形：轻按纸筒一端相间的三点，向内折叠压下，并重复以上过程直至成形，注意始终从同一端向内折叠，如图9所示。学生跟着制作。）

师请完成的同学上台展示一下你们的作品，未完成的同学分析一下自己遇到的问题。

（教师展示三个学生的作品，如图10所示。）

（教师提出问题4：请同学们仔细观察，并说一说成功的作品有什么不同？没成功的作品出现了什么状况？）

生我的是2号作品，我们小组另一位同学的是1号作品。我发现，1号作品可以翻转，但中间始终留有空隙;2号作品也可以翻转，且中间没有空隙。

生我的是3号作品。我遇到的问题是，纸在折叠过程中因为挤压而变形，导致难以继续折叠。

（四）原理解释：对比模型差异，探究翻转原理

（教师提出问题5：四面体翻转环满足什么条件时可以实现翻转？具体来说，到底是什么原因导致1、2号作品的差别？又是什么原因使得3号作品无法顺利折叠？）

师（展示三种图纸，如图11所示）老师给每个小组都发放了三种图纸，所以才会有这三种作品。请大家以小组为单位，对比图纸与图纸、作品与作品、图纸与作品之间的差异和联系，一起寻找背后的原因。

师哪一组同学愿意分享一下你们的发现？

生我们发现，2号图纸中等腰三角形的底边∶底边上的高=4∶4，而1号图纸中相应的比是4∶4.5，3号图纸中相应的比是5∶4。所以，我们猜测：当这个比值小于或等于1时，可以完成折叠并实现翻转。

师这一组同学有一个很重要的发现，他们对比测量了图纸中等腰三角形的数据，发现造成差异的原因是等腰三角形的底边与高的比值不同。其他组同学有不同的发现吗？

生我们对比作品发现，1号作品在翻转过程中一直留有空隙;2号作品在翻转到侧棱与桌面垂直时，6个四面体的顶点重合，缝隙恰好消失;3号作品在折叠过程中，6个四面体的顶点重合过早，导致继续折叠下压就会发生变形。所以，我们猜测：2号作品中6个四面体顶点重合的位置和缝隙的有无是实现翻转的关键。

师这一组同学是从立体的视角来探究问题的。那么，我们怎么把两组同学的发现联系到一起？平面图纸中等腰三角形的底边与底边上的高的比值是怎样影响立体模型的翻转的？下面，我们一起利用动态数学软件GeoGebra做进一步的探究。（同步操作GeoGebra，展示图12）这是2号作品的3D模型，显示的就是刚才这位同学所描述的关键位置。（展示图13）从正视图来看，四面体最外侧的棱EF与桌面是垂直关系;（展示图14）从俯视图来看，四面体内侧的6个顶点重合于点D，6个四面体无缝衔接。作平行于桌面的动平面α，请问：当α过点D时，它截四面体翻转环形成的截面是什么形状？

生六边形。

生正六边形，因为三角形是全等的。

师这位同学观察得非常细致。（展示图12）因此，我们可以知道，2号作品中心的横截面是由6个边长为4的正三角形组成的正六边形，它们是无缝拼接的，我们称这样的拼图方式为平面镶嵌或密铺。镶嵌的关键点是：在公共顶点处，各角的和是360°，6个正三角形的底角之和正好是360°。（稍停）△ACD是等边三角形，所以CD=CA。而CD是等腰△EDC的底边，CA是等腰△CEF的高，△EDC和△CEF全等，因此，△CEF的底边∶高=1∶1。所以，平面展开图中等腰三角形底边与高的比值是控制横截面三角形能否镶嵌的关键。老师给出了2号作品的截面，有同学能类比2号作品，对1号作品作出相应的分析吗？

生1号作品截面的三角形没有镶嵌。因为截面中三角形底边与腰长的比值为4∶45，根据“大边对大角”，三角形底角大于60°，所以底角之和大于360°，因此无法镶嵌;但因为留有缝隙，所以可以翻转。

师很好！（展示图15）我们来对比一下1号作品和2号作品的截面。（稍停）那么，3号作品呢？

生3号作品在点D的上方就会实现镶嵌，因此，若再强行下压，就会发生形变。

师总结得非常到位！我们通过截面将平面图纸中等腰三角形底边与高的比值与立体模型的翻转情况联系起来，发现了控制模型空隙和实现翻转的关键：最大横截面处6个三角形中指向中心的内角和要大于或等于360°，图纸中等腰三角形底边与高的比值要小于或等于1。有了这个发现，大家就可以自己去绘制图纸，制作出各种各样的四面体翻转环了。拿到3号图纸的同学课后可以来领取1号、2号图纸，重新制作模型。虽然我们没有顺利完成折叠，但在科学试验中，失败往往是成功之母。制作过程中出现的阻碍，可以激发我们的好奇心，激励我们进一步思考，从而解决问题。

（五）模型精致：迁移课堂知识，自主设计模型

（教师布置如下课后学习任务。）

任务1四面体翻转环的英文名称为kaleidocycle，灵感来自“kaleidoscopic cycle”（万花筒一般的环）。请大家以小组为单位，自己绘制图纸，设计具有万花筒视觉效果的四面体翻转环作品。

任务2折纸艺术起源于中国，其历史可追溯到公元583年。折纸艺术不仅具有审美价值，还蕴含数学运算和空间几何原理。请同学们寻找或制作其他具有特殊几何特征的折纸作品，自主探索其中的数学奥秘，并撰写一份学习报告。

师我们一起来观看一个折纸工程的科普视频。（播放视频）从这个视频中，我们可以了解到，折纸不仅是生活中常见的手工艺品，它在生物学、建筑学、航空航天、机械工程、服装设计等诸多领域都有很高的应用价值。一个小小的折纸作品尚且蕴含如此多的数学知识，更不用说我们所处的大千世界。生活处处皆数学，希望大家都会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。

（六）总结评价：梳理课堂脉络，升华活动主题

师本节课，我们主要学习了什么内容？完成了哪些任务？

（教师引导学生总结学习内容：认识了智能翻转飞行器，观察、拆解、分析、制作了飞行器的折纸模型;知道了四面体展开图与整体展开图的关系;通过对比三类作品及其图纸，知道了四面体翻转环实现翻转的条件;在折纸过程中感受了平面图形与立体图形之间的转换关系;了解了折纸工艺在诸多领域的重要作用。）

师你认为本节课体现了哪些数学思想方法？

（教师引导学生总结数学思想方法：数形结合、化归与转化、分类与整合、特殊与一般等。）

三、总结与启示

（一）彰显数学的四个价值

关注学科价值的课程内容设计有助于激发学生的学习兴趣，培养学生的好奇心。在数学课中开展跨学科STEM教育，要彰显数学学科的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。例如，本节课基于智能翻转飞行器的STEM情境，从数学视角抽象几何模型、探究翻转原理，剖析前沿科技中蕴含的数学知识，体现数学的科学价值;在此基础上，开展数学和折纸在生物学、建筑学、航空航天、机械工程、服装设计等诸多领域中应用价值的科普，拓宽了学生的视野，有助于学生的职业生涯规划。本节课的文化价值主要体现在激发兴趣和数学育人两个方面：学生高度参与的数学活动探究课有助于打破学生对数学枯燥无味的刻板印象，即使无法完全扭转学生的态度，也可以在一定程度上激发学生的好奇心;在折纸过程中，教师将学生面临的挫折与失败转化为学生思考与探究的动力，激起学生直面困难的勇气。此外，飞行器及其模型展現的简洁、对称、和谐的数学美，有助于学生体会从感性美到理性美的转变。

（二）突出课程的五个特征

培养学生对数学的好奇心的活动课以跨学科STEM教育理念为支撑，开展以学生为主体的基于问题、基于探究、基于设计、基于协作的学习。本节课中，问题的提出源于真实的情境，并产生问题串和相关追问。基于问题的学习强调以学生为中心，引导学生在问题的提出、探究和解答过程中完成知识的自主建构。探究是对科学性问题的探究，即学生围绕提出的问题开展有针对性的探究活动，寻找解释问题的依据或解决问题的方法，并对讨论结果进行阐述和论证。基于设计的学习关注学生在探究过程中为解决问题而设计的方案或产品，方案或产品的设计和实施过程蕴含着对问题的分析与探索，为创造性地解决问题提供了可能。问题探究过程中，协作是主要的探究形式，也是STEM教育理念和活动理论共同强调的特征。丰富多样的协作互动形式促进了活动的顺利进行，提升了学生的协作探究能力和集体荣誉感。

（三）紧扣教学的六个环节

紧扣“6E”教学模式的六个环节设计教学，有利于激发学生的好奇心。情境引入环节的作用是创设情境，产生刺激，唤醒学生的状态好奇心②张馨雯.好奇心理论研究综述[J].时代人物，2020（22）：205。。它是活动课堂的序幕，是后续探究问题、活动内容和活动任务的发源。情境的创设应基于学情分析和现实背景，以便引导学生将面对知识缺口时的积极情绪转换为解决现有知识缺口的强烈意愿，将好奇心转化为实际的探究。折纸探究、折纸工程和原理解释环节的作用是开展干预，维持体验，呵护学生的特质好奇心②。教师要结合具体的情境提供必要的学习支架，帮助学生明确探究方向，确定探究问题，掌握探究方法;让学生在沉浸式的活动中开展有方向的自主或合作探究，在实践操作和可视化的成果中寻找问题的答案;给予学生充分表达的机会，倾听学生的探究成果，在学生给出解答的基础上进行必要的纠错、追问、补充、说明、完善和梳理。模型精致和总结评价环节的作用是迁移拓展、培养习惯，形成特质好奇心。E.G.Peterson，J.Cohen.A case for domainspecific curiosity in mathematics[J].Educational Psychology Review，2019（31）：807832。教师引导学生进行新旧知识的融合，让学生在新的问题情境中实现对知识的学以致用。教师的评价与反馈渗透在每个环节之中，最后的总结评价既是对重要内容的强调和梳理，更是对思想方法的明确。培养学生对数学的好奇心是一个长期的过程，开展跨学科STEM教学，有利于营造一种培养好奇心的学习环境。