深入题目本质，避免题海战术系列谈之一——垂径定理及其推论的应用小妙招

◎姜秀敏 (吉林省白山市第九中学，吉林 白山 134300)

我常常思考这样的问题：学数学一定要多做题才能学好吗？如何让学生不采用“题海战术”也能学好数学？我认为，弄清楚题目的本质是不搞“题海战术”也能学好数学的途径.下面，我以垂径定理及其推论的相关应用题的解题规律为例，浅谈上述问题.

简单说，此类题大多数需要作辅助线来解决，学生只需要作辅助线构造“一个那样的直角三角形”，再应用垂径定理及其推论和勾股定理，就可解题了.因此，学生只要记住如何作出“一个那样的直角三角形”，就能解决大部分此类问题，达到事半功倍的效果.

下面举两个例子说明.

例1 (人教版教材九上90页12题)，如图1，一条公路的转弯处是一段圆弧(图1中的弧ACB)，点O是这段弧所在圆的圆心，AB=300 m，C是这段弧上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=45 m，求这段弯路的半径.

图1

详解：∵OC⊥AB，

由垂径定理得

设这段弯路的半径为xm，

则OA=OC=xm，OD=OC-CD=(x-45)m，

在Rt△AOD中，

由勾股定理得

OD2+AD2=OA2，

∴(x-45)2+1502=x2，

解得x=272.5，

答：这段弯路的半径是272.5 m.

点拨：此题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识.在作出辅助线(本题的辅助线书中已给)构造“一个那样的直角三角形”后，利用勾股定理列式计算即可解决问题.

“一个那样的直角三角形”究竟是什么三角形？下面具体阐述.结合图1可以看到，“一个那样的直角三角形”是由以下三条边构成的：斜边是圆的半径，一条直角边是弦长的一半，另一条直角边是弦心距.本例启发我们，今后遇到有关垂径定理及其推论的题目时，可以优先尝试采用作辅助线构造“一个那样的直角三角形”的方法，通过垂径定理及勾股定理解决问题.

例2 (人教版教材九上91页15题改编)求证：弦越长，弦所对的弦心距越短，反之也成立.

简析：大家都知道，此类题目要结合问题叙述作出符合要求的图形，先根据命题的题设和结论写出已知和求证，然后进行证明.

详解：

已知：如图2，在⊙O中，有两条弦AB，CD，且AB>CD，过O点分别作OM丄AB于M，ON⊥CD于N.

求证：OM

图2

证明：分别连接OA，OC，设⊙O的半径为r，如图3.

∵OM丄AB，ON⊥CD，

由垂径定理得

又∵AB>CD，

∴AM>CN，

∴AM2>CN2.

在Rt△OAM和Rt△OCN中，

由勾股定理得

又∵AM2>CN2.

∴OM

显然，逆推回去也成立.

图3

点拨：本题作辅助线构造了“一个那样的直角三角形”，再利用垂径定理和勾股定理进行OM与ON长度的比较，使问题最终得到解决.

下面给出教材中的7个练习题，均可采用上文介绍的解题方法解决.

练习题1.(人教版教材九上83页1题)如图4，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，求⊙O的半径.

图4

(答案：5 cm)

练习题2.(人教版教材九上89页2题)如图5，在半径为50 mm的⊙O中，弦AB的长为50 mm，

图5

(1)求∠AOB的度数；

(2)求点O到AB的距离.

练习题3.(人教版教材九上89页3题)如图6是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=4 m，EM=6 m，求⊙O的半径.

图6

练习题4.(人教版教材九上90页10题)已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，求AB和CD之间的距离.

(答案：AB与CD之间的距离为7 cm或17 cm.)

练习题5.(人教版教材九上122页1题)如图7，⊙O的直径CD=10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC=3∶5，则AB的长为( ).

图7

C.6 cm D.4 cm

(答案：B)

练习题6.(人教版教材九上123页3题)如图8，AB是⊙O的弦，半径OA=20 cm，∠AOB=120°，求△AOB的面积.

图8

练习题7.(人教版教材九上124页10题)在直径为650 mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图9所示，若油面宽AB=600 mm，求油的最大深度.

图9

(答案：200 mm)

从以上的例题和练习题可以看出，垂径定理及其推论在解某一类型题时十分有效，这一解题方法揭示了问题的本质.

如图10，已知，⊙O的半径为r，弦AB=a，弦心距OD=d，拱高CD=h.在r、a、d、h这四个量中，任意知道两个量就可以引辅助线构造“一个那样的直角三角形”，然后利用垂径定理及其推论，结合勾股定理求出另外两个量，即“知二求二”，现分述如下.

图10

d=r-h.

以上六个结论不需要死记硬背，只需要记住解题思路即可.可以肯定地讲，如果学生将本文列举的这些例题、练习题都理解、会做，那么再遇到这类题时，就完全有能力快速解决了.