对一道立体几何动点问题的思考

刘海涛

一、问题的提出

数学解题的目的是什么？是求出问题的答案吗？是，但不全是！解题的目的是巩固数学基础知识、落实数学基本技能、感悟数学思想方法、提升数学思维活动经验，因此，在平时的学习中不能为了解题而解题，而应该在解完一些典型问题后，及时予以反思，问题蕴含的数学背景是什么？问题包含的命题的逆命题是否成立？能否予以变式拓展？等等！

二、试题呈现与分析

题目 如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC.∠ADC= 90°，AD =2BC =2CD =2.P为四边形ABCD所在平面外一动点，且PA= PB，∠APB= 90°.设M为PD的中点，则CM的值为_____，

分析 该题是笔者所在学校高三的一道模考填空题，试题结构简单明了.形式上为求线段的长度问题，主要考查了空间中的平行与垂直关系，解三角形等知识，体现了逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养.但笔者发现该题内涵丰富，题中并未说明平面PAB与平面ABCD所夹角的大小，即P为空间中一动点，于是M亦为动点，但为何线段CM长度却为定值呢？遂笔者对该题深入剖析，现与读者分享交流，

三、解法的探究与评注

思考1 由题意知线段CM的长度为定值，因为不知二面角P-AB -D的大小，所以无法得到线段PC，PD的长度，因此难以在△PCD中解出线段CM长度，而由题设条件可以确定等腰直角△PAB的各边长度，故考虑利用平行关系转化到△PAB中求解.

解法1 如图2所示，取PA，AD中点分别为Q，，N，连结QB，QM，NC.易知△DCN中，DN⊥DC，且DN= DC=1.则NC=√2.由AN∥BC，且AN= BC=1.得四边形ABCN为平行四边形，则AB=√2，又P=PB，且∠APB= 90°，得PA= PB=1.

评注 解答该题的关键是将长度为定值的线段CM，平移到一确定△PAB内求解，在解一些有关动点的立体几何问题时，常用的解题策略即为将动直线放入一确定的平面内，将一动线段放入一确定的平面多边形中，这样就能达到“以静制动”的解题效果.如2021年全国甲卷立体几何题的第（1）问.

评注 解法2实为对解法l的优化，将长度为定值的线段CM构造为一确定三角形的一条边，直观展示出线段CM的長度不受二面角P-AB-D大小的影响.实际上，立体几何中有很多这样的例子，如下面这道问题.

如图5所示，已知矩形ABCD中，AB= 4/3 BC =8，△BAC沿AC翻折，使B到达P点的位置，连接PD，得到三棱锥P-ACD，则其外接球的体积为_____，

分析 题中并未说明二面角P-AC -D的大小，也就是三棱锥P -ACD是一个不定三棱锥，而由题目的设问可以确定该三棱锥的外接球半径为定值，这是为何呢？如图5，在矩形ABCD中，连结BD，交AC于点O，则OA=OB=OC=OD =5.而随着△BAC的翻折，注意到O为定点，且其到三棱锥P -ACD四个顶点长度保持不变，因此O为三棱锥尸-ACD的外接球的球心，5为半径，所以外接球体积为4/3π×5 3：500π/3.

思考3 利用空间向量解决立体几何问题，可以大大降低空间思维难度，因此考虑建立空间直角坐标系来分析点P.从而分析出点M的情况.

评注 引入空间向量解决立体几何问题，避开了传统方法中对平行、垂直、角、距离等问题所进行的大量繁琐的“定性分析”，只需建立空间直角坐标系进行“定量分析”.使得立体几何问题得到很大的优化，降低了对空间想象能力的要求，如下面这道问题

分析 该题要想做出点M的轨迹，难度很大，一来不知道其轨迹为何种曲线，二来纯粹的几何方法对学生的空间想象思维能力要求很高，因此考虑利用建立空间直角坐标系的方法，利用向量对问题进行分析.由题设不难

五、反思总结

本文所探究的立体几何题，虽然学生的得分率很高，从考试的角度来说是一道中等难度的题，甚至说一道简单题，但是从教学的角度来说它又是一道难题，一道难得的好题，其包含的背景丰富，变化中包含着不变，动点M的轨迹实为圆锥底面的圆.笔者认为，广大一线教师在教学中，要教会学生挖掘问题所蕴含的背景，看透问题的本质，弄清问题底层的逻辑，甚至教会学生对问题进行变式，这样学生才能跳出题海，学会总结归纳的学习方法.通过做一道题达到会一类题的学习效果，从而减轻学业负担，提高学习效率和解题能力，增强数学关键能力和核心素养.

（收稿日期：2022 -03 - 11）