“齐次化”思想在求解数学问题中的应用

杨玉坡

在许多问题解决的过程中，经常利用一些定理、公式等本身有“比值”这一基本特征来构造相关数学元素的“齐次”结构解答问题，这就是数学解题中的“齐次化思想”，运用“齐次化”思想，可以较快地寻找到解決问题的思路或使问题得到较好地解答，

点评由题意化简所给的三角函数式，然后利用关于sinθ，cosθ的“齐二次”式后，利用同角的“商数关系”分子、分母同时除以cos2θ转化为tanθ的式子代人求值.齐次化思想在求解本题中得到了很好地体现.

点评 本题（ I）首先利用正弦定理将条件3csinB= 4asinC化为关于边长a、b的“齐一次”式，进而得到a，b，c的比例关系，然后利用余弦定理得到关于a，b，c的“齐二次”式，代入求得cosB的值，充分体现了“齐次化”思想的应用.

点评 本题（I）直接利用余弦定理的“齐二次”结构建立边c的方程求解;（Ⅱ）利用正弦定理的“齐一次”结构变形后，利用三角恒等变换和诱导

点评该解法首先进行“1”的代换：1 =2a +b.化为关于a，b的二次齐次分式后变形为基本不等式的结构形式，利用基本不等式求得最值.

通过以上几个方面的应用可以看到，这些可以借助“齐次化”解决的问题的一个共同背景是：某个目标值的取值并不依赖于哪个变量，而是依赖于这些变量的“比值”，这样，构造齐次式以后，可以让这些比值“显现”出来，从而解决问题.

（收稿日期：2022 -03 -03）