高考不等式恒成立问题研究

杨小兵

不等式恒成立问题是高考的重点、热点、难点，它具有知识、逻辑、思维、心理上的难度，涉及不等式、函数、导数、方程等主干知识，是对数学知识的综合考查，在每年的高考试题命制当中备受命题人的青睐，不等式恒成立问题对学生的基本知识、基本技能、数学思维要求较高，既需要良好的基本功又需要一定的数学思维，在解题过程中渗透着对数学思想方法的考查.本文对近年高考试题进行研究，筛选了一些典型的试题，总结出不等式恒成立问题四种常见类型和八种解决方法.

评注 先进行等价转换，再从图像变换的角度理解f（x+1）=2f（x），再结合函数解析式画出函数图像，进而求解不等式.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数与形是数学最基本的研究对象，在一定条件下可以相互转换，“数”具有抽象性，“形”具有直观性，数形结合将抽象思维和形象思维相结合，使研究的问题得到简化，

评注 分类讨论法是处理含参不等式恒成立问题的常用方法，分类时首先应该选择分类的对象（即对什么量进行分类）.其次确定分类的标准（即怎样分类），再次深化分类的层次（即是否二级分类、三级分类等），然后用所选级标准进行检验筛选.最后总结概括结论，分类讨论的关键是如何找到分类的标准，做到不重不漏，并力求最简.

评注 换元法是高中数学常用方法，其实质是转化和等量代换，同时是将一个复杂的式子看作整体进行换元，可以起到简化问题结构使问题清晰明了，特别是函数式中出现了指数函数式、对数函数式、三角函数式等可以考虑利用换元法，需要注意的是“换元必换限”，即进行换元后，定义域也随之改变，

評注 分离参数法可以使所得函数不含参数，进而将其转化为求函数最值问题，其缺点是有时函数结构较为复杂，可能含有超越函数式、需要多次求导、极值点不好确定、不存在极值等问题.

评注 先进行等价转换，构造一个新的函数，那么可以将所证不等式转化为-6≤f（x）-x≤0，再令g（x）=f（x）-x，进而对g（x）进行求导，通过g’（x）的正负，判断g（x）在给定区间的单调性和极值即可得证

评注 求解参数范围的不等式恒成立问题是高考的重点也是难点.赋值法分为两步：首先确定不等式在所给区间成立的必要条件，其次再证明充分性，在确定必要条件时可以在所给区间取一个特殊值求出参数范围，所取特殊值一般为端点、零点、极值点、或隐含于所给区间，处理解析式中含有多个超越函数（三角函数、对数函数等）、参数不易于分离、不易求最值的参数不等式等能够减少不必要的讨论，使问题简洁明了.

评注 首先需要有整体的思维将不等式两端分别看成两个函数，其次进行等价转换，再次根据切线斜率求出k的值，最后讨论构造函数单调性求得函数最小值、最大值进而得到答案.

数学知识体系中的各个知识点并不是孤立存在的，各个知识之间存在一定的关联，正是因为这种知识之间的联系，对于同一个问题可以从不同的角度采取不同的方法进行解决.本文从四个角度、八种方法对不等式恒成立问题进行了解析，但是不等式恒成立问题的类型远不止这四种，近年高考对双量词的不等式恒成立问题考查较少，但是这个大类型是不等式恒成立问题的难点，希望有兴趣的读者自行研究.