一类具反馈控制的偏利模型平衡点的稳定性

吴丽萍

(闽江学院 数学与数据科学学院(软件学院)， 福州 350108)

0 引言

近年来，许多学者对两种群之间偏利共生作用的模型进行了研究，并取得了一些良好的研究结果[1-4];但这些文献所研究的模型都是基于传统的Logistic模型，且模型中的种群出生率都为常数(不受种群的密度制约).研究[5]显示，在某些情形下建立出生率具有密度制约的种群更为合理.2018年，Chen[6]提出了如下出生率具有密度制约的偏利共生模型:

(1)

(2)

其中：系统中所有参数均为正数，x(t)和y(t)分别是两个种群在t时刻的密度，ui(i=1,2)是控制变量.

1 平衡点的存在性

首先考虑系统(2)的正平衡点.系统(2)的正平衡点(x*,y*,u*1,u*2)满足如下方程组：

(3)

引理1如果b11>b12b14,b21>b22b24， 则系统(2)有唯一的正平衡点(x*,y*,u*1,u*2).

下面考虑系统(2)的边界平衡点.易知点(0,0,0,0)是系统(2)的一个边界平衡点.记Δ3=(η1b13b14+η1a11b12+α1a1b12)2-4η1b13(η1a11+α1a1)(b12b14-b11)， 于是类似于上面的讨论可得以下引理：

引理2如果b11>b12b14， 则系统(2)有边界平衡点(x**,0,u**1,0)， 其中

引理3如果b21>b22b24， 则系统(2)有边界平衡点(0,y*,0,u*2).

2 平衡点的稳定性

定理1设(x,y,u1,u2)是系统(2)的任意正解.若b11>b12b14,b21>b22b24, 则系统(2)的正平衡点(x*,y*,u*1,u*2)是全局稳定的.

证明构造Lyapunov函数:

其中δi(i=1,2,3,4)是待定的正常数.注意到系统(2)的正平衡点(x*,y*,u*1,u*2)满足方程组(3)，因此沿着系统(2)的正解计算V(t)的右上导数可得:

2δ3(u1-u*1)(-η1u1+a1x)+2δ4(u2-u*2)(-η2u2+a2y)=

(-η1u1+a1x+η1u*1-a1x*)+2δ4(u2-u*2)(-η2u2+a2y+η2u*2-a2y*)=

[δ1a11(x-x*)2-δ1a12(x-x*)(y-y*)+δ2a22(y-y*)2]-

(2δ3a1-δ1α1)(x-x*)(u1-u*1)+(2δ4a2-δ2α2)(u2-u*2)(y-y*).

定理2设(x,y,u1,u2)是系统(2)的任意正解.若b11>b12b14,b22b24>b21, 则系统(2)的边界平衡点(x**,0,u**1,0)是全局稳定的.

证明构造Lyapunov函数：

当且仅当x=x**,y=0,u1=u**1,u2=0时取等号.由Lyapunov稳定性定理[7]可知，系统(2)的边界平衡点(x**,0,u**1,0)是全局稳定的.证毕.

2γ3(u2-u*2)(-η2u2+a2y+η2u*2-a2y*)≤

当且仅当x=0,y=y*,u1=0,u2=u*2时取等号.于是由Lyapunov稳定性定理[7]可知，系统(2)的边界平衡点(0,y*,0,u*2)是全局稳定的.证毕.

定理4设(x,y,u1,u2)是系统(2)的任意正解.若b12b14>b11,b22b24>b21, 则系统(2)的边界平衡点(0,0,0,0)是全局稳定的.

注1如果定理1—定理4的条件成立，则文献[6]中定理2.1的条件也成立，由此可知加入反馈控制变量(系统(2))并未改变原系统(1)的稳定性.

3 数值模拟

例1考虑如下系统：

(4)

其中b21=2>b22b24=1,b11=2>b12b14=1， 即系统(4)满足定理1的条件.由引理1和定理1知，系统(4)存在唯一的全局稳定的正平衡点(0.476,0.299 5,0.595,0.479 2).图1是系统(3)具有初值(1,0.3,0.1,0.2),(0.4,2,0.3,0.7),(0.02,2,1,0.5),(1,2,0.2,1.5)的解的数值模拟图.

例2考虑如下系统：

(5)

其中b11=2>b12b14=1,b22b24=2>b21=1， 即系统(5)满足定理2的条件.由引理2和定理2知，系统(4)的边界平衡点(0.356 1,0,0.593 5,0)是全局稳定的.图2是系统(5)具有初值(1,0.3,0.1,0.2),(0.4,1.1,0.3,0.7),(0.02,0.8,1,0.5),(1,0.6,0.2,0.2)的解的数值模拟图.

图1 系统(4)的数值模拟图 图2 系统(5)的数值模拟图

例3考虑如下系统:

(6)

例4考虑如下系统：

(7)

其中b12b14=2>b11=1,b22b24=2>b21=1， 即系统(7)满足定理4的条件.由定理4知，系统(7)的边界平衡点(0,0,0,0)是全局稳定的.图4是系统(7)具有初值(1,0.3,0.1,0.2),(0.4,1.1,0.3,0.7),(0.02,0.8,1,0.5),(1,0.6,0.2,0.2)的解的数值模拟图.

图3 系统(6)的数值模拟图 图4 系统(7)的数值模拟图

注2由文献[6]中例3.1— 例3.4可知，在系统(4)—系统(7)中未加入反馈控制变量时系统的相应平衡点是全局稳定的.由图1— 图4可知,在系统(4)—系统(7)中加入反馈控制变量不会改变原系统平衡点的稳定性.