基于一类新的Picture模糊距离的VIKOR多属性决策方法

王 磊, 姚星娜

(1.辽宁工程技术大学 基础教学部，辽宁 葫芦岛 125105; 2.辽宁工程技术大学 理学院,辽宁 阜新 123000)

0 引言

为了使直觉模糊集(IFS)更加贴近实际决策问题， Guong[1]提出了Picture模糊集(PFS)概念，定义了隶属度、中立度、非隶属度和弃权度。PFS是IFS的一种有效扩展，因此在多属性决策领域受到了学者们广泛关注。基于PFS，Son等[2]提出了一种新型模糊推理系统。为了刻画区间值PFS间的差异，马强[3]构造了区间Picture模糊交叉熵。Son[4]利用PFS研究了图像模糊聚类问题。Shahzaib等[5]提出了Picture模糊加权几何聚合算子及广义形式，并利用这些算子求解多属性决策问题(MADM)。文献[6,7]提出了一系列新的Picture模糊聚合算子，讨论这些聚合算子的特征并应用到MADM中。

VIKOR是一种基于理想解的折衷排序决策方法，首次由Opricovic[8]提出。通过和TOPSIS法[9]、ELECTRE法[10]以及PROMETHEE法[11]的对比，VIKOR方法具有更大的优势，即决策过程同时兼顾群体效用最大化和个体遗憾最小化，以及决策者的偏好。在理论和应用方面，一些学者对经典的VIKOR方法[8]进行了拓展，尤筱玥等[12]构建了供应商企业社会责任评估的VIKOR决策模型。范建平等[13]根据参照系数的变动，讨论了VIKOR中不同标准对排序结果及最佳妥协解的影响。龚日朝和刘玥[14]提出了概率语言VIKOR多属性决策方法，避免了聚合算子和TOPSIS法在决策机制上的缺点。Liang等[15]构造了勾股模糊VIKOR决策方法，并研究了网络银行网站质量评价问题。Liao和Xu[16]将VIKOR方法应用到犹豫模糊集，研究了犹豫模糊MADM。

距离是多属性决策方法研究中的一个核心问题，在Picture模糊环境下一些距离[1,17]已被提出。Dutta[17]指出在医疗诊断中，大多数情况下中立度在IFS中未被考虑，而PFS可以有效克服此不足，为此构建了PFS间的一些距离测度，并应用于医疗诊断。Guong[1]将IFS之间的Hamming距离和Euclidean距离拓展到了PFS上。

然而上述的距离[1,17]依然存在不足：

(1)文献[1]中距离未考虑弃权度，因此存在信息缺失。虽然文献[17]的距离考虑了犹豫度的影响，但某些情况下，也无法对备选方案进行排序择优。

(2)两种距离[1,17]将4个隶属度都视为同等重要，未能反映决策者的心理偏好。而现实决策中，决策者往往对于赞同、中立、弃权和犹豫4个信息的倾向程度是不一样的。

(3)由于PFS能够反映出犹豫程度这个特点。因此，Picture模糊距离的构造也应该具有该特点。而文献[1,17]中距离是固定的，故本文构建一种含有参数的距离，可以在不同心态范围内变化，进而所得到的排序结果也有所改变。

鉴于此，针对现有距离[1,17]的缺点，借鉴IFS距离[18]的思想，本文构建了一种新的含有参数的Picture模糊距离，并将其与VIKOR法结合，提出新的Picture模糊VIKOR决策模型。最后，通过算例分析表明本文所提决策模型的有效性和优点。

1 基本概念

1.1 Picture模糊集及相关概念

定义1[1]设Y为一个非空集合，则称

P={(y,uP(y),ηP(y),vP(y),πP(y))|y∈Y}

(1)

为Picture模糊集(PFS)。其中uP(y),ηP(y),vP(y)∈[0,1]分别为隶属度、中立度和非隶属度，πP(y)=1-uP(y)-ηP(Y)-vP(Y)为弃权度，为方便称为a=(y,ua(y),ηa(y),va(y),πa(y))Picture模糊数(PFN)，简记a=(ua,ηa,va,πa)。

Guong构造了如下两种PFS间的距离[1]。

定义2[1]设A={(yj,uA(yj),ηA(yj),vA(yj),πA(yj))|yj∈Y},B={(yj,uB(yj),ηB(yj),vB(yj),πB(yj))|yj∈Y}为两个PFS，则

(1)Hamming距离:

ηB(yj)|+|vA(yj)-vB(yj)|)

(2)

(2)Euclidean距离:

(3)

Dutta[17]通过对IFS距离的扩展，提出了另一种PFS间的距离。

定义3[17]称

(4)

为PFS间的距离。其中A,B含义同定义2。

下面通过例1来说明文献[1,17]中距离的不足。

例1令a=(0.34,0.12,0.24,0.3),β=(0.24,0.12,0.34,0.3),γ=(0.34,0.02,0.34,0.3)为三个PFNs，则文献[1,17]计算距离结果如下：

Hamming距离[1]结果：d(a,β)=0.0667,d(a,γ)=0.0667。

Euclidean距离[1]结果：d(a,β)=0.0816,d(a,γ)=0.0816。

Dutta[17]提出距离结果：d(a,β)=0.1,d(a,γ)=0.1。

说明文献[1,17]都无法对Picture模糊数a与β、a与γ进行区分。下面构造一种新的Picture模糊距离。

2 新的Picture模糊距离

例1运算结果说明距离[1,17]存在不足。下面，本文提出新的距离来弥补该不足，且引入参数来反映决策者关于不同隶属度的倾向程度，刻画新距离的区分度高。

定义4称如下表达式

(5)

定理1公式(5)为Picture模糊数间的距离。

注1非负性、对称性和三角不等式为验证距离的充要条件[19,20]。模糊集之间距离[18～20]还要满足一些其他特殊条件。

下面分析距离(5)中赋值不同时的含义。

情况1当ρ1,ρ2,ρ4的取值均小于ρ3时，决策者表现为风险回避或者悲观型，其中

(i)当ρ1=0时，为强风险回避型或强悲观型；

(ii)当ρ2ρ4ρ1ρ3时，为弱风险回避型或弱悲观型；

(iii)其余情况均为中风险回避型或中悲观型。

情况2当ρ2,ρ3,ρ4的取值均小于ρ1时，决策者表现为风险追求型或乐观型，其中

(i)当ρ3=0时，为强风险追求型或强乐观型；

(ii)当ρ2ρ4ρ3ρ1时，为弱风险追求型或弱乐观型；

(iii)其余情况均为中风险追求型或中乐观型。

情况3其余情况都表示决策者表现为风险中立或者平和型。

接下来，对ρi(i=1,2,3,4)作进一步解释：

(1)赞同、中立、反对的信息重要程度相同且兼顾弃权：ρ1=ρ2=ρ3=ρ,ρ4=1-3ρ；

(2)仅考虑赞同与反对信息的重要程度，不考虑中立与弃权：ρ1+ρ3=1,ρ4=ρ2=0；

(3)仅考虑赞同信息的重要程度，而不考虑反对：ρ1+ρ2+ρ4=1,ρ3=0；

(4)仅考虑反对信息的重要程度，而不考虑赞同：ρ2+ρ3+ρ4=1,ρ1=0。

新距离中参数ρi(i=1,2,3,4)的变化影响方案的排序结果，这也为决策者的选择提供了弹性的空间，下面通过例2简要说明新距离的优点。

例2仍采用例1的数据，本文新距离分别计算d(a,β),d(a,γ)结果如下：

(1)令ρ1:ρ2:ρ3:ρ4=1∶2∶3∶4。则d(a,β)=0.07,d(a,γ)=0.075。

(2)令ρ1:ρ2:ρ3:ρ4=4∶3∶2∶1。则d(a,β)=0.08,d(a,γ)=0.075。

由例1和例2结果反映出新距离具有可分性，说明了本文所提新距离的优点： 4个信息的倾向程度不同，可以获得不同的结果。

3 基于新距离的VIKOR多属性决策方法

步骤1建立Picture模糊决策矩阵D=(dij)m×n，决策者以PFN的形式表达方案Ai关于属性Zj的评价信息dij=(uij,ηij,vij,πij)。

步骤2确定正理想方案A+和负理想方案A-，其中

(6)

步骤3确定群体效益值Si和个体遗憾值Ri

(7)

(8)

步骤4利用Si和Ri确定备选方案Ai的折衷值Qi，其中

(9)

δ∈[0,1]表示决策机制系数，δ>0.5表示决策者采用大多数人的观点，δ<0.5表示反对情况，δ=0.5而表示决策过程同时考虑群体效益和个体遗憾，本文选取δ=0.5。

步骤5计算妥协解，并对候选方案进行排序：

(1)如果同时满足下面两个条件，方案A(1)为最优妥协解。其中Q(A(1))表示依据Qi排序，排序在第一位的方案(最小值)，Q(A(2))表示依据Qi排在第二位的方案。

条件2决策过程可接受的稳定性，当按照Si和Ri排序，A(1)依然排第一位时(排序中最小的)，满足稳定性要求。

(2)如果上述两个条件其中一个不满足，则获得一组折衷解:

(a)若只有条件2不满足，则A(1)和A(2)都为折衷解；

4 算例分析

例3某风险投资公司准备对5个企业Ai(i=1,2,…,5)进行投资，考虑如下3个指标：经济效益Z1，未来前景Z2，环境污染Z3，相应的权重为ω=(ω1,ω2,ω3)=(0.3,0.4,0.3)。决策者依据3个属性对5个企业评估，评估矩阵D=(dij)5×3如表1所示。

表1 Picture模糊决策矩阵D

4.1 求解过程

步骤1决策矩阵见表1。

步骤2正、负理想方案结果如下：A+={(1,0,0,0),(1,0,0,0),(1,0,0,0)},A-={(0,0,1,0),(0,0,1,0),(0,0,1,0)}。

步骤3依据公式(7～8)获得Si和Ri(令ρ1∶ρ2∶ρ4∶ρ3=1∶1∶1∶1) 的结果：Si={0.2457,0.3683,0.3577,0.386,0.35},Ri={0.104,0.1493,0.1627,0.16,0.152}。

步骤4由公式(9)计算备选方案的折衷值Qi结果如下:Qi={0,0.8213,0.8967,0.977,0.7775}。

4.2 有效性分析

下面采用文献[1,17]的距离和本文新距离对最佳候选方案的确定进行对比，结果见表2。

表2 不同距离下的排序结果

由表2可以看出本文距离与文献[1,17]中的距离关于最佳候选方案的确定一致。说明本文决策方法是有效的。

4.3 优点分析

在本节，分别将文献[1,17]的距离和本文新距离与VIKOR方法结合处理决策问题，进而体现本文新距离的优点。

由方法[1,17]和本文方法(ρ1∶ρ2∶ρ3∶ρ4=1∶1∶1∶1∶)所得结果如表3所示。(限于篇幅，仅列出折衷解)

表3 4种距离下的折衷解

表3反映本文决策方法确定最佳方案为A1，而方法[1,17]未能对候选方案进行择优。验证了本文决策方法优于文献[1,17]中的决策方法。

4.4 参数的灵敏度分析

为讨论新距离中ρi(i=1,2,3,4)赋值不同对排序结果的影响，下面将分4种情况进行分析。

(1)若赞同、中立、反对同等重要且考虑弃权时ρ1=ρ2=ρ3=ρ,ρ4=1-3ρ,候选方案结果如表4所示。

表4 情况(1)时不同ρ值下的折衷解

若决策者为风险中立型，则随ρ1,ρ2,ρ3增大，而ρ4减小，最佳方案由A4变为A1。

(2)若仅考虑赞同和反对信息的重要程度，而不考虑中立与弃权时ρ1+ρ3=1,ρ2=ρ4=0，候选方案结果如表5所示。

表5 情况(2)时不同ρ值下的折衷解

表5反映当决策者表现为：弱风险回避型转变为弱风险追求型时，最佳候选方案均为A1

(3)若仅考虑赞同信息的重要程度，而不考虑反对信息时ρ1+ρ2+ρ4=1,ρ3=0。

(a)若固定ρ1而改变ρ2,ρ4值时，候选方案结果见表6。

表6 情况(3)-(a)时不同ρ值下的折衷解

当决策者表现为风险中立型时，固定ρ1，随ρ2的增大而ρ4减小，最佳候选方案A4由变为A1。

(b)若固定ρ2，改变ρ1,ρ4的值，即决策者表现为风险中立型转变为强风险追求型时，若固定ρ2，随ρ1增大而ρ4减小，最佳候选方案由A4逐渐变成A1。

(c)若固定ρ4，改变ρ1,ρ2的值，即决策者表现为风险中立型转变为强风险追求型时，若固定ρ4，随ρ1增大而ρ2减小，最佳候选方案由A1,A5变成A1。

(4)若仅考虑反对信息的重要程度，而不考虑赞同时ρ2+ρ3+ρ4=1,ρ1=0。

(a)若固定ρ2，改变ρ3,ρ4的值，候选方案结果见表7。

表7 情况(4)-(a)时不同ρ值下的折衷解

当决策者表现为风险中立型转变为强风险回避型时，固定ρ2，随ρ3增大而ρ4减小，最佳候选方案由A1,A4转变为A1且保持稳定。

(b)若固定ρ3，改变ρ2,ρ4的值，即决策者表现为风险中立型，固定ρ3，随ρ2增大而ρ4减小，最佳候选方案由A4变为A1。

(c)固定若ρ4，改变ρ2,ρ3的值，即决策者表现为强风险回避型转变风险中立型时，固定ρ4，随ρ2增大而ρ3减小，最佳候选方案始终为A1。

综合分析表明：参数赋值的不同，使得信息的倾向程度发生变化，进而影响决策结果。在灵敏度分析时，限于篇幅仅列举了4种情况，实际上决策者可以根据不同的偏好对参数赋值，如ρ1,ρ2,ρ4的赋值均小于ρ3，决策者表现出风险回避型；若ρ2,ρ3,ρ4的赋值均小于ρ1，决策者表现出风险追求型；其余情况均表现出风险中立型。因此，决策者可以依据自身的偏好确定各个信息倾向程度，进而获得决策结果。

5 结论

与传统的Picture模糊距离对比，本文所构建的新距离不仅避免了信息的缺失，而且考虑了决策者的心理偏好。通过将新距离推广到了VIKOR方法中提出了新的决策模型，并与文献[1,17]的方法对比体现出本文决策模型的优点是能够体现决策者针对不同隶属度的倾向性。灵敏度分析体现新决策模型的灵活性，即参数的不同赋值使得候选方案的择优也有所不同。对于参数值的确定决策者可以依据实际情况以及自身心理偏好，为决策者提供了灵活的选择空间。