基于马尔可夫更新过程的多阶段冲击退化系统可靠性分析

徐 东, 贾旭杰, 姚兆胜, 王 琦

(1.中央民族大学 理学院统计学系,北京 100081; 2.北京理工大学 管理与经济学院,北京 100081)

0 引言

系统损害过程通常可以抽象为退化过程(例如磨损、腐蚀)或者冲击过程(例如机械冲击、电流负载冲击)，并且系统生命周期内二者常会同时存在，例如发动机、机床、滚动轴承、微机电系统等。因此在系统可靠性建模时同时考虑退化和冲击损害以及它们间的相互依赖关系是很有必要的，这也成为了目前可靠性工程领域的研究热点。早前的冲击、退化过程依赖关系被简单地假设为冲击的发生会导致退化损害累积量的突增，这一假设被后来学者广泛采用，却又渐渐无法满足日益复杂的系统可靠性建模，因此更多更加严格、复杂的相互依赖关系陆续被学者们提出。Che et al.[1]假设冲击发生强度为退化损害累积量和当前系统已发生冲击数目的函数，以此描述冲击过程对退化过程的依赖关系，但忽略了退化过程的参数往往也会随着系统损害的累积而改变[4]。Wang et al.[2]提出的模型中，给出了退化路径对当前非致命冲击发生的数量和冲击损害总和的函数关系，但没有分析冲击过程会随着系统损害的累积而变化。

冲击过程中还存在着依赖性，系统处于更健康的状态下对冲击损害具有更高的耐性[3]。一方面，同样大小的冲击损害往往对更健康的系统有着较小的损害，而对损害较严重的系统甚至可能是致命的；另一方面，系统处于较为健康的状态时，某些较小的冲击属于无效冲击，它对系统的退化损害累积过程无贡献，这等价于此时冲击发生过程的强度更小。

许多学者逐渐揭露了系统退化中所存在的多阶段现象，例如描述轴承退化的二阶段跳跃退化模型[8]中阶段转换点被假设为一个固定或随机的时间点，阶段转换伴随着损害突增，且不同阶段下退化过程的参数不同[4～8]。另一方面，类似折线逼近曲线，描述复杂非线性退化的变退化率退化模型[5,9]也可以用多阶段模型来处理。

引起冲击和退化过程参数连续或阶段性改变的因素有很多，但当前的研究主要研究其中的某一个或几个特征，缺少对复杂的冲击、退化参数间依赖关系和呈现出的多阶段特征的广义的模型，本文提出一种广义的冲击和退化过程具有依赖关系的多阶段模型，模型的特征关系如图1。

图1 冲击、退化间依赖关系

1 模型建立与假设

系统的工作环境同时存在冲击和退化两种损害机制，系统的损害程度由退化累积过程来度量，冲击发生会对退化过程产生贡献，造成退化过程中的损害突增。单纯的退化过程是连续的，设系统退化损害累积过程存在常数阈值记为c，达到c视为系统失效，系统进入吸收态。为了构建离散状态空间[0,c]将损害区间均分K-1份，利用离散系统状态空间S={1,2,…,K}划分系统的K个阶段，其中各个系统状态分别对应如下退化损害量级，{[0,c/(K-1)],(c/(K-1),2c/(K-1)],…,((K-2)c/(K-1),c],(c,∞)}。

当i,j∈S且i

Xi(t)=αi+βit

(1)

式(1)表示系统在状态i中持续时长t所累积的退化损害量，其中退化率βi为正值随机变量用来描述随机波动，常数αi为阶段i的初始损害。系统在状态i∈SW中持续时长t累积的损害总量等于退化累积量加上冲击损害对退化过程的贡献量，即

(2)

对于系统阶段转换点，当系统在某个状态i∈SW中累积的退化总量Di(t)首次达到阈值c/(K-1)时，系统发生状态转换进入更差的状态。由于存在冲击造成的损害突增，系统存在一步跃升多个状态的可能。将c/(K-1)记为C，系统在状态i的持续时长记为τi，从系统进入状态i开始计时，显然τi也就是阶段i下阈值C的首达时间(FPT)。因此系统从状态i∈SW转入状态j=i+ω∈SW当且仅当Di(t)满足如下两个事件的交，

(3)

前一个事件意味着系统在工作状态i∈SW下持续时长小于τi时累积的损害量始终小于C，后一个事件表示系统在状态i下经历时长τi所累积的损害量Di(τi)达到下一个状态j=i+ω∈SW对应的损害量级从而进入工作状态j。另一方面，系统从工作状态i∈SW转入吸收态K当且仅当Di(t)满足如下两个事件的交，

(4)

2 马尔可夫更新过程建模

记Ti(i=1,2,…)为第i次状态转移时刻，T0=0，显然Ti,i=1,2,…为具有马尔可夫性的再生点。记Zn为系统在时刻Tn,n=0,1,…进入的状态，则时齐马尔可夫更新过程{(Zn,Tn),n=0,1,…}可以用来描述本文中的系统状态演化过程。记{Qi,j(t),i,j∈S}为{(Zn,Tn),n=0,1,…}对应的半马尔可夫核，接下来分类讨论半马尔可夫核Qi,j(t)的具体形式。

半马尔可夫核Qi,j(t)=P{Zn+1=j,Tn+1-Tn≤t|Zn=i}过程齐次，若系统在第n步进入状态i，则此时系统在状态i下的持续时长τi=Tn+1-Tn。由冲击和退化构成的复合过程Di(t)知，本文系统损害累积的过程为单调递增，因此当j≤i,i∈SW时

Qi,j(t)=P{Zn+1=j,Tn+1-Tn≤t|Zn=i}=0,j≤i,i∈SW

(5)

当j=i+ω,ω>1;i,j∈SW，将Ni(τi)记为状态i下系统在时间区间(Tn,Tn+1]内发生的冲击次数，系统在状态i下是(Tn,Tn+1]内的最后一次冲击，即第Ni(τi)次冲击，使得系统累积损害总量从小于C跳跃到损害区间[ωC,(ω+1)C]。结合状态转换规则式(3)，利用全概率公式，此时的半马尔可夫核可以表示为

Qi,j+ω(t)=P{Zn+1=i+ω,Tn+1-Tn≤t|Zn=i},j=i+ω,ω>1;i,j∈SW

(6)

由假设知(从系统进入状态i后开始计时)状态i下第m次冲击发生的时刻被记为ti,m，此时若状态i下的第m次冲击导致了系统状态转移，则系统在状态i的持续时间τi=ti,m，因此Ni(τi)=Ni(ti,m)=m，上式可以化简为，

Qi,i+ω(t)j=i+ω,ω>1;i,j∈SW

(7)

fi,m-1|u(η|u)=fαi(η)*fβiu(η)*

fYi,1(η)*…*fYi,m-1(η)

号代表卷积运算

式(7)中fti,m(u)为ti,m的概率密度函数，由假设知ti,m服从伽马分布如下

(8)

将式(8)代入(7)得

Qi,i+ω(t)j=i+ω,ω>1;i,j∈SW

(9)

当i∈SW,i≠K-1,j=K，即系统从某个不为K-1的工作状态直接转入吸收态，前后状态不相邻，根据假设的状态转换规则式(4)，

Qi,K(t)=P{Zn+1=K,Tn+1-Tn≤t|Zn=i},i∈SW,i≠K-1,j=K

(10)

当i∈SW,j=i+1时，即系统在退化和冲击环境共同作用下转入下一个相邻的状态，状态转移既可能是退化导致的也可能是冲击导致的，

Qi,i+1(t)=P{Zn+1=i+1,Tn+1-Tn≤t|Zn=i},i∈SW,j=i+1

(11)

P{Tn+1-Tn≤t|Zn=i}

(12)

将(5)(9)(10)(12)代入(11)即得，

(13)

3 可靠度分析

马尔可夫更新过程对应的半马尔可夫核Qi,j(t)为可靠度求解的基础，将时齐马尔可夫更新过程{(Zn,Tn),n=0,1,…}所对应的半马尔可夫过程记为{H(t),t≥0}，H(t)为时刻t系统所处的状态。K为吸收态，将系统寿命记为TL，它满足TL=inf{t≥0,H(t)=K}，假设系统在时刻0进入工作状态i∈SW，此时系统可靠度记为Ri(t)，系统失效当且仅当系统发生状态转移进入吸收态，因此系统寿命TL必然不小于首次状态转移时刻T1，此时P{TL>t,T1>t}=p{T1>t}，则

Ri(t)=P{TL>t|Z0=i}

=P{TL>t,T1≤t|Z0=i}+P{TL>t,T1>t|Z0=i}

=P{TLt|Z0=i}

=P{TL>t,T1≤t|Z0=i}+1-P{T1≤t|Z0=i}

(14)

其中P{TL>t|Z1=j,T1=u,Z0=i}=P{TL>t-u|Z0=j}=Rj(t-u)。式(14)中得到的马尔可夫更新方程可以表示为，

(15)

对上式做Laplace(L)变换和Laplace-Stieltjes(L-S)变换得，

(16)

其中“～”代表L变换，“^”表示L-S变换。解线性方程组(16)，再拉普拉斯逆变换得到系统可靠度。

4 总结

论文建立了多阶段冲击和退化过程的复合模型，提出了一种更加广义的冲击和退化过程依赖关系模型，每个阶段下冲击过程和退化过程同时对系统损害累积过程产生贡献，系统损害累积到一定程度从而导致系统状态的转移也即阶段改变，状态转移又反馈性地改变冲击和退化过程所服从的各种参数。该模型可用来分析冲击和退化具有依赖关系的多阶段可靠性系统。