关于《有限长带电导体直线的电荷分布》的商榷

周群益，周丽丽，莫云飞，侯兆阳

(1. 广州理工学院 通识教育学院，广东 广州 510540；2. 赣南医学院 医学信息工程学院，江西 赣州 341000；3. 长沙学院电子信息与电气工程学院，湖南 长沙 410022；4. 长安大学 理学院应用物理系，陕西 西安 710064)

文献[1]研究了有限长带电导体直线的电荷分布规律.作者首先利用带电导体椭球面的面电荷分布公式，将其转化为旋转椭球面的面电荷公式，再在直线上用投影的方法证明了电荷线密度公式：

(1)

其中，Q是所带电量(默认Q>0)，a是带电线段的半长，x是导体上的点到中心的距离.第2种方法就是利用带电椭圆面的电荷在直线上投影推导第2个电荷线密度公式：

(2)

第3种方法就是用圆环带电导线在直线上的投影推导出第3个电荷线密度公式：

(3)

3个公式都在分母中出现根函数，可称之为根式分布规律.但是各式系数不同，说明推导过程有瑕疵.有文献[2]证明：圆形导体薄板的电荷遵守根函数分布规律.我们也证明：无限长导体薄板的电荷也遵守根函数分布规律[3].我们曾经猜想：导线线段还是遵守根函数分布规律的.后来证明，这种猜想是错误的.通过等势线和电场线图形说明式(1)是错误的，因而式(2)和(3)也是错误的.

本文用多种方法推导了同一个线密度公式，证明了带电导体线段的电荷是均匀分布的.有文献[4]推导了均匀带电线段的等势线是椭圆，电场线是双曲线，但是过程不详细，也没有说明均匀带电线段是导体.本文详细地推导了等势线的方程和电场线的方程，通过等势线方程的极限情况，证明了均匀带电线段是等势线.通过电场线与线段垂直，证明了均匀带电线段就是导体.文本最后说明了电荷之外拉普拉斯方程成立，进而证明了均匀带电线段是导体.

1 用导体椭球面电荷分布公式求导体线段的电荷分布

带电导体椭球面电荷分布的面密度公式为[5-6]

(4)

其中，上标E表示椭球面，a、b和c分别是椭球面的3个半轴.椭球面方程为

(5)

设b=c=R，则椭球面变成旋转椭球面，电荷面密度为

(6)

上标R表示旋转椭球面.将旋转椭球面的方程变

形为

将其代入式(6)可得

(7)

文献[1]根据电荷等量关系认为λdx=σ2πRdx，σ=σ(R)，当R→0时求得式(1).这种关系将y误作R，就是将旋转椭球面变成了旋转圆柱面，因而推导出错误的结果.严格说来，dx应该改为孤元ds，只是当R→0时，ds→dx.

旋转椭球面在Oxy平面的截面如图1所示，R是椭圆纵半轴，椭圆的参变量方程是

图1 旋转椭球面在Oxy平面的截面

x=acosθ，y=Rsinθ

(8)

微分为

dx=-asinθdθ，dy=Rcosθdθ

(9)

弧元是

(10)

弧元ds绕x轴旋转一周的面积元是

(11)

其所带的电荷量为

dq=σ(R)dS=

(12)

当R→0时，旋转椭球面退化为一条长为2a的线段，电荷投影在线段上，其线密度为

(13)

可见带电导体线段的电荷分布是均匀的.

2 用导体平面电荷分布公式求导体线段的电荷分布

2.1 利用椭圆的面电荷公式

在式(4)中，当c→0时，三维椭球面就退化为二维椭圆面，由于一个椭圆面是一个椭球面上下两部分重叠的结果，所以电荷的面密度为

(14)

上标P表示平面.将椭球面方程变形为

将上式代入式(14)可得

(15)

文献[1] 根据电荷等量关系认为λdx= 2σbdx，σ=σ(P)/2，从而求得式(2).这种关系将y误作b，就是将椭圆变成了矩形，因而推导出错误的结果.

椭圆面如图2所示，上半椭圆的方程为

图2 椭圆面上的面积元

(16)

由式(15)可得电荷的面密度为

(17)

在椭圆面中取一个面积元dxdy，其所带的电荷量为

d2q=σ(P)dxdy

宽为dx的条形面积元所带的电荷量为

(18)

这些电荷投影在x轴上，电荷的线密度为

(19)

结果与式(13)的结果完全相同.

2.2 利用圆的面电荷公式

在式(15)中，令b=a，椭圆就变成了圆，利用圆的方程x2+y2=ρ2，可得导体圆面电荷分布公式:

(20)

上标C表示圆面.这是圆形导体薄板电荷面密度的根式分布规律，与均匀球面电荷在平面上投影的面密度公式是完全相同的[2].

利用式(20)也能证明式(19).上半圆的方程为

(21)

式(20)可化为

(22)

在圆面中取一个面积元dxdy，其所带的电荷量为

d2q=σ(C)dxdy

宽为dx的条形面积元所带的电荷量为

这个积分的形式和结果与式(18)相同，因而电荷的线密度就是式(19).

3 用导体球面电荷分布公式求导体线段的电荷分布

由于均匀带电圆环不是封闭的等势面，所以不能用文献[1]的第3种方法通过投影法求得导体线段的电荷分布公式.

设导体球面半径为a，带电荷量为Q，均匀分布在球面上，电荷的面密度为

(23)

上标S表示球面.在式(2)中，令b=c=a，并利用球面方程x2+y2+z2=a2也可以得到上式.

球面在Oxy平面的截面如图3所示，圆的参变量方程为

图3 球面在Oxy平面的截面

x=acosθ，y=asinθ

(24)

弧元ds=adθ绕x轴旋转一周的面积元是

dS=2πyds=2πyadθ

其所带电荷量为

结果完全相同而方法更简单.再次证明：带电导体线段的电荷分布是均匀的.

其实，作者最初就是用这种方法证明了均匀带电线段是导体，因而对文献[1]的结果提出了质疑，进而发现了错误，从而得出正确的结论.当然，这个结论还需要通过多方面验证.

4 电荷线密度根式分布的电势和场强以及可视化

4.1 电势和场强的表达式

用(x,y)表示二维空间场点的坐标，电荷线密度根式分布式(1)可表示为

(25)

如图4所示，建立坐标系，在线段上取一线元dl，其所带电荷量为dq=λdl，线元到场点P的距

图4 带电线段的电势

(26)

产生电势为

其中k为静电力常数.取无穷远处为电势零点，线电荷产生的电势为

注意：上式是收敛的瑕积分.设l=asinθ，则dl=acosθdθ，上式化为

(27)

当y=0时，可得

(28)

在|x|

E(x,y)=-U(x,y)

(29)

(30)

场强也可以求数值解.

4.2 电势和场强的无量纲化和可视化

取U0=kλ0为电势单位，则根式分布电荷的无量纲电势为

其中x*=x/a，y*=y/a是无量纲的坐标.

设E0=U0/a=kλ0/a，取E0为电场强度单位，则无量纲的电场强度为

E*(x*,y*)=-*U(x*,y*)

根据数值电势可以求数值电场强度.

将公式无量纲化之后即可用MATLAB梯形求和函数trapz求电势的数值积分之值，用梯度函数gradient求电场的两个分量，用等高线指令contour画等势线，用流线指令streamline画电场线[7].

1) 当电荷线密度按式(1)分布时，其电势U(x,y)的曲面和三维等势线如图5所示，电势在线段端点有两个尖锐的“峰”，这是因为两个端点的电势为无穷大.当电势比较低时，三维等势线是同时包围两个“峰”的对称的封闭曲线；当电势比较高时，三维等势线是分别包围两个“峰”的两条封闭曲线.两“峰”之间电势的变化十分显著.三维等势线在Oxy平面上的投影就是二维等势线.

图5 根式分布线电荷的电势面和三维等势线

2) 当电荷线密度按式(1)分布时，二维等势线和电场线如图6所示，当电势比较低时，等势线是包围线段的凸形曲线；当电势比较高时，等势线是靠近带电线段的凹形曲线；当电势很高时，等势线变成分别绕端点的曲线，这种曲线穿过了线段.后面两种情况是因为线段两端的电荷线密度比较大所造成的.电场线与等势线正交，但是明显不垂直于带电线段，说明线段不是导体，因此式(1)不可能是带电导体线段的线密度公式.由于式(2)和式(3)与式(1)只有系数不同，所以也是错误的.

图6 根式分布线电荷的等势线和电场线

5 电荷线密度均匀分布的电势和场强以及可视化

5.1 等势线方程

电磁学教材通常都会推导均匀带电线段的电势和电场强度的公式，有的教材还画出了电场线和等势线[7].如图4所示，当电荷线密度是均匀分布时，电荷元产生电势为

线电荷产生的电势为

(31)

无穷远处是电势零点.当|x|

当电势为常数时，设c=exp(U/kλ0)，c>1，则

两边平方后，化简可得

移项可得

再平方后，化简可得

(32)

这是椭圆方程，两个半轴分别为

(33)

(34)

其中，c是由电势决定的无量纲参数.当U→+∞时，可得c→+∞，因此A→a，B→0，这时，等势线的椭圆退化为一条长为2a的线段，可见：均匀带电线段就是一条等势线.

5.2 电场线方程

电场强度的两个分量分别为:

(35)

(36)

(37)

将式(35)和式(36)代入上式，用凑微分法可得微分方程为

积分可得电场线的代数方程为

再平方后化简可得

(38)

这是双曲线族.实半轴和虚半轴分别为

(39)

(40)

其中，c是由电场线的起点决定的参数.令c=0，则得x=0，双曲线退化为一条竖直线，这就是y轴；令c=±a，则得y=0，双曲线退化为x轴上除了带电线段之外的左右两条水平射线.

5.3 电场的可视化

取a为坐标单位，可以将椭圆的参变量方程无量纲化.在MATLAB中取无量纲的电势为向量，计算无量纲的常数c向量，将参变量θ也取为向量，用meshgrid函数化为矩阵，即可计算两个坐标，用plot指令画出椭圆曲线族.同理，取a为坐标单位，可以将双曲线的参变量方程无量纲化，c/a是无量纲的常数，用同样的方法绘制双曲线族.

均匀带电线段的等势线和电场线如图7所示，等势线是包围线段的闭合的对称曲线族，等势线的电势U从外到内依次取为(1,2,…,7)kλ0，电势越高，椭圆就越扁平，当电势U趋于无穷大时，等势线趋于线段.电场线是双曲线族，与椭圆等势线族处处正交，也垂直于带电线段，说明场强在线段表面只有垂直分量，带电线段就是导体.

图7 均匀带电线段的等势线和电场线

6 均匀带电线段电势的拉普拉斯方程证明

带电导体之外的电势应该满足拉普拉斯方程：

(41)

手工计算电势对坐标的二阶偏导数十分麻烦，借助于MATLAB的符号计算，可大大提高计算效率.

6.1 二维拉普拉斯方程问题

(42)

式(31)可化为

U(x,y)=kλ0[u1(x,y)-u2(x,y)]

(43)

其中

(44)

u1(x,y)对坐标的两个二阶偏导数分别为

(45)

(46)

同理可得

(47)

6.2 三维拉普拉斯方程问题

由于均匀带电线段是在三维空间激发电场的，电势应该表示为

(48)

(49)

式(48)可化为

U(x,y,z)=kλ0[u1(x,y,z)-u2(x,y,z)]

(50)

其中

(51)

u1(x,y,z)对x和y的二阶偏导数在形式上就是式(45)，u1(x,y,z)对z的二阶偏导数为

(52)

7 结束语

本文指出了文献[1]中的错误和发生错误的原因，用多种电荷投影法证明：导体线段所带的电荷是均匀的.本文求出了均匀带电线段的等势线方程和电场线方程，证明均匀带电线段是等势线，电场线与线段垂直，利用等势线和电场说明均匀带电线段是导体.

画图是检验公式正确与否的最直观的方法.通过电势曲面和等势线与电场线说明根式分布的电荷不可能是导体，也通过画图显示均匀带电线段是导体.掌握MATLAB的符号计算方法可以大大提高计算和研究效率.在这类问题中最好将电势公式分解为最简形式，然后计算二阶偏导数的和，最后化简.这种方法可以检验电势是否满足拉普拉斯方程，从而判断带电体是否导体.