纤维丛、规范场和杨-米尔斯方程之间的类比——学科融合研究的一条途径

赵松年,路 博,陈 肯，黄 旭

(1. 中国科学院 大气物理研究所，北京 100029：2. 北京邮电大学 理学院，北京 100876)

(1)

其实，对于场量，施加某种变换，并使其场方程保持不变，这个附加的变换必须满足一定条件，也就是符合规范：变换后能使原系统的数学形式不变.可见，规范是借助适当的规范函数研究场论整体特性的一种方法，另一种方法便是通过场与粒子的相互作用来研究其动力学特性.

这里使人们不禁想起，爱因斯坦1905年提出：物理方程的数学形式，在所有惯性参照系中应保持不变(相对性原理).就是说，在笛卡儿空间，低速运动的物体，牛顿第二定律符合伽利略变换；高速运动的物体，在闵科夫斯基时空中，与洛伦兹变换相适应；进一步(1915年)，爱因斯坦又根据惯性质量和引力质量相等提出的等效原理，也就是他的广义协变思想，在黎曼弯曲空间里，将引力场方程(也包括狭义相对论)用张量表示，数学表示式已经脱离了坐标系，显示了完全的协变形式.

类似地，在这里，规范不变性就是指，不同的场有不同的规范函数，在规范函数作用下，场变量按规范函数变换，但其数学表示应当不变，由于不变性等价于对称性，而对称性支配粒子间的相互作用，因此，从宏观系统的时空变换(即对于洛伦兹群变换，物理方程在时空平移之下的数学形式应保持不变)到微观系统的规范变换(也就是说，电磁场与粒子相互作用的耦合形式——协变导数及其相应的拉格朗日密度，在转动群的变换即空间转动下具有不变性)，物理思想是继承和发展的，并不是突如其来的.

虽然对于规范场、纤维丛、杨-米尔斯方程之间关联的探讨，始于1975年，但仍然局限于很小的范围.纤维丛对于许多物理学者，规范场、特别是杨-米尔斯方程对于许多数学研究人员，都是不常涉及的基础领域，可能并不很熟悉.因此，为了使更多的非专业化读者关注甚至参与这一新领域，除了我们初步的研究结果之外，以下的论述着重讨论了这几个概念的形成、发展和彼此之间的关联，特别强调了基础概念的清晰，数学表示的物理含义的明确，尽量使本文具有可读性，阅读之后对读者有启发价值.

2 研究规范场的意义

若矢势A和标势φ以如下形式引入电磁场：

(2)

(3)

这就是矢势A和标势φ的来源，它的引入，的确会使电磁场方程的计算简化，显然，用一个方程代替麦克斯韦的4个方程，对理论研究更加有利.可以构成拉格朗日函数，还可以说，这样引入的变换，就是规范变换，它形成规范场，不仅与原来的电磁场方程等价，而且，在量子场论的研究中具有极为重要的意义.

不过，这里要说明的是，规范不变性是针对式(2)而言，设φ是坐标与时间的任意函数φ(x,t)，作如下变换：

(3)

代入式(2)，得

规范不变性体现出自然界的基本规律应该具有普适性，因为，大自然馈赠给人类的规律，一是普适性；二是不变性，它包含的物理意义是能量、动量、角动量、电荷等等的守恒；三是对称性，在进行某种变换之后，要求对称性不变，这正是研究规范场的意义所在，它的另一个重要意义是：薛定谔方程在U(1)群作用下的相位规范不变性，显示电荷守恒，可以重新建立电磁场理论，表明电磁场是U(1)规范场，在本文的后面将会阐明，这种不变性包含了深刻的空间属性和微分几何结构，自然地与纤维丛理论联系起来，成为学科融合研究基础.

3 纤维丛、联络和对称性之间的关联与类比

前面曾经提到，“杨振宁先生在纽约大学石溪分校一次广义相对论的授课之后，无意间将杨-米尔斯方程和引力场方程的曲率张量的数学表达式进行了比较，惊奇地发现它们有许多相似之处”，这就说明，当时的比较，是两种不同的物理概念和数学描述的比较.现在，当进一步介绍和论述这种类比时，自然需要首先给出对张量场、纤维和联络的物理概念和微分几何涵义的准确、清晰的说明，下面将在尽量少用数学公式的情况下，使论述保持一定的深刻性.

(4)

我们已经说明了“丛”的几何涵义，如果在无限小概念的基础上更深层次地思考，那么，弯曲空间中在一点的曲面与过该点的切平面，在极限过程中可以看成等同，在该点可以设置一个笛卡儿坐标系(标架)，不同的点有不同的笛卡儿坐标系，称之为活动标架，这是“丛”的另一个涵义.可是，这种方法还很复杂，不便于理解和应用，正如微分几何大师陈省身先生指出的，数学家“干”了一件重要的事，就是将切空间竖起来[5]，这是什么意思？就是过这些点作切平面的垂线，过一点的切平面上有无数条切线通过该点，而垂线只有一条，是不是更简单了呢？这些垂线的集合就是“纤维丛”，在无限小的意义下，微分运算使彼此联系起来，形成所谓的“联络”.实际上，一个无限小的闭合曲线的线积分与它所包围的面积分按如下的斯托克斯定理计算：

(5)

读者自然会有疑问，这里在无限小意义下得出的结果，与大尺度的引力场方程有什么关系？同样，又和杨-米尔斯方程有何联系？如果从几何学的观点来看，数学处理是在微分流形的框架中进行的，是对每一点的曲率进行描述，和尺度无关.正是这一点，纤维丛才能成为规范场、引力场和量子场论的理论基础，我们在此处是分别介绍这些不同学科的概念，后面将把它们用杨-米尔斯方程连接起来，就能看出它们之间的共同点.

4 同位旋和杨-米尔斯方程

在宏观尺度的力学中，地球绕太阳旋转，用轨道角动量L=r×p描述；地球绕自身的极轴旋转，用自旋角动量S=Iω描述，这是力学中的常识，二者并没有本质的区别.正因为如此，在量子力学初创时，从玻尔的氢原子轨道模型延伸到其它粒子的行为，就很自然地出现了与地球转动类似的概念，1922年德国的施特恩和盖拉赫进行了一个重要实验(SG实验)，实验结果无法由已知的理论解释，为此科隆尼克提出了电子有自旋的主张，不过，泡利和海森伯指出，电子是点粒子，没有内部结构，如果具有自旋，其旋转速度会超过光速(洛伦兹也得出同样的计算结果)，进而强烈反对并否定了科隆尼克提出电子有自旋的主张.然而，3年后埃伦费斯特的研究生乌隆贝克、古兹米特也提出了电子具有自旋的观点，论文由埃伦费斯特送交“Nature”杂志发表，自旋的概念迅速得到物理学界的承认，更奇特的是，粒子的自旋是成对出现的，一为上旋，一为下旋，即±ћ/2.自旋概念的进一步引申，产生了同位旋，就是把原子核的中子和质子看成同一种粒子，即核子的两个状态(质子的质量是1.672×10-27kg，中子的质量是1.674×10-27kg，二者的差值完全可以忽略)，是同位旋不变量，而且，总同位旋守恒，因而可以用电荷自旋来描述.当时，杨振宁和米尔斯以极大的兴趣投入到对同位旋的研究中，试图探讨在局部同位旋转动下具有不变性的可能性，这一研究最终导致同位旋规范不变性原理的建立.

(6)

为了对规范场的几何图形和相应的物理含义有一个直观的了解，图1给出了矢量势、纤维丛和联络之间的对比：图1中，M是光滑流形，p是流形M上的点，p∈M；U是p的邻域，映射π-1(UP)U×n使纤维垂直于过p点的切平面，q点与p点的情况相同，不再赘述.在粒子绕定轴沿闭合曲线的同位旋，与纤维丛上的联络沿闭合曲线的平行移动，形成环移群，二者都会产生相位的改变.这里为了能够对纤维丛获得一个直观清晰的物理解释，可以给出一个容易理解的实例：如果在一块地面上竖立许多个有一定长度的直杆，当正午的阳光从上部垂直照下时，地面上会形成相应的点状投影，将地面上部的空间称作全空间E，这块地面称作底空间M，阳光的垂直照射称作(垂直)投影π，那么就有如下关系: 对于x∈M，π:E→M，π-1:M→E；π-1(x)即x的逆投影(从x点向上看)，相当于点x处的直杆，就是M上的纤维，而表示地面上所有点状投影对应的直杆，则称作纤维丛.其中，复合投影s:ππ-1(x)=x，就称为x点纤维的截面，相当于场的强度Fμν，数学上将(E,π,M)称作纤维丛的拓扑.为了便于理解，还可以再举一个直观形象的例子，就是想象熟悉的灌木丛，根部生长在底流形上，众多根部形成一个截面s，决定了纤维的状态，明显属于底空间M,灌木从底流形向上生长，它可以看成是纤维，用F表示，即F=π-1(x)，它自然处于全空间E之中，而灌木之间的横向交错的枝杈就相当于纤维丛上的联络如图1(c)所示，这种复合对象一般简称作(E,M,π,F).

规范场(矢量势的同位旋)

由于纤维丛上的联络，主要是指主纤维丛(简称主丛)上的联络，因此，这里也就顺便对什么是主丛做一简单说明，以图1(c)中的点q和它的邻域V为例，映射π-1(Vq)→V×n使纤维垂直过q点的切平面；主丛的最简单、直观的定义就是对纤维[例如π-1(q)]附上(黏合上)一个光滑的结构群G，其实就是李群，例如U(1)、O(3)、SU(2)、SO(n)群，等等.对纤维附上这样一个结构群，相当于同胚映射F=π-1(V)→V×G，其目的就是将该纤维成为可微流形，以便进行某些微分运算和变换.图1(c)中还包括了流形(底空间、丛空间、全空间)、拓扑空间(豪斯道夫空间)；映射π-1(p)、π-1(q)；切空间Tp(M)、Tq(M)和联络之间的空间关系.此外，尽管图1对纤维丛的截面已经给出解释，考虑到它的重要性，在这里仍需作一些补充说明：上面提到，复合投影s:ππ-1(x)=x就是纤维丛的截面，这里的意思暗含着点x与其邻域的映射，V上的截面就等同于在V上定义了m个可微函数f1、f2、…、fm的集合，这样得到的截面分为关联截面、正则截面(标准截面)、可微截面、诱导截面和局部截面等，目前它们主要是对微分几何本身的应用，也在张量场的分析中有所应用.值得提及的是，陈省身先生证明，在局部上即邻域V上，联络是由一组一次微分式给定的，并形成一个局部标架场，利用可微截面构成张量场的基底，从而证明了联络(方阵)在局部标架场改变时的变换公式[5]，它是现代微分几何中的重要公式，也是量子场论论中的规范变换的重要公式，就是: Γ′=dS·S-1+SΓ·S-1，下面将会给出其他几种推导方法.

(7)

方程乘以m，可得

显然有

表1 数学结构上的相似

那么，对于同位旋粒子(如质子和中子)，杨-米尔斯方程有什么意义呢？虽然，量子力学摈弃了“力”的概念，仍然还可以用“相互作用”代替“力”的效果，比如，用质子和中子的相互作用表示它们是如何形成“核”的，相互“吸引”或“排斥”是一种什么样的物理过程？杨-米尔斯方程就是为了回答这个问题，当然是遵从由电磁场理论形成“场”的概念，不过电磁场是可交换的规范场，用对称群U(1)表示(也称作李群)；而杨-米尔斯场则是非交换的规范场(值得提及的是，在弱相互作用中，宇称也不守恒)，用SU(2)群表示，在规范粒子的作用下，才能实现相位的变换即转动，以及矢量势的改变，二者互补的结果，维持了对称性不变或规范不变性，其物理意义深远.一是它揭示了“场”就是纤维丛上的联络，这样“规范场”就有了统一的基础；二是非交换群包含了相互作用的因素；三是“场”用对称群表示，说明对称性支配相互作用；四是量子力学中要求必须有场粒子传递相互作用， 1984年发现的带正电的W+、带负电的W-和中性的Z0粒子(1973年发现)，恰好就是杨-米尔斯规范场所需要的3种场粒子,它们的质量通过Higgs对称破缺机制获得，也是在规范场基础上做出预言的粒子，杨-米尔斯1954的论文做出了这一预测，与其后格拉肖-温贝格-萨拉姆的预测一致.

如何能写出杨-米尔斯方程，除了必备的专业知识外，还需要有多次失败积累的经验，从中寻找出新的途径.在构建场方程时，考虑到电磁场中的洛伦兹力对粒子的影响，应当从自由粒子的动量p中扣除与洛伦兹力对应的附加动量，替换过程如下式所示:

(8)

此处，Bμ替换Aμ表示非阿贝尔场， 就是杨-米尔斯场的矢量势，相当于：Bμ=σ·Aμ,σ是简单的泡利二阶矩阵，由于σ的作用相当于旋转群，正是它与群SU(2)联系起来.为了方便起见，常采用自然单位，使得ћ=c=1.

通过协变导数或协变微分确定规范函数的方法是通用的，因协变微分的分量可写成如下形式[6]：

(9)

假定所求的规范函数记为q(x)，它作用于变量ψ，即q(x)ψ(x)=φ(x)，若φ(x)与ψ(x)具有相同的数学表达式：

(10)

那么，就有如下的规范变换函数：

(11)

这个变换函数无论是在量子场论中还是在微分几何、纤维丛、张量分析中都是非常重要的.

其实，对“联络”概念最直观、最容易理解的诠释就是回到克里斯托费的原初定义，即：曲线坐标系是局域的，基矢量gk或gi随着坐标xj点位置的不同而变化，二者的增量有如下关系:

i,j=1,2,…,n;k=1,2,…,m

(12)

dg′=dS·g+S·dg=dS·g+S·Γg=

(13)

显然，规范变换的规律即为下式所示:

Γ′=dS·S-1+SΓ·S-1

(14)

与前面不同方法所得结果完全一样[7].

这里不得不提及的一个科学史的插曲，就是泡利严苛的质疑，1954年，当杨振宁和米尔斯提出他们的方程时，实验已经证实，只有电磁场是通过光量子传递长程作用，因为光量子无质量，电磁场是规范不变的；天然放射性衰变、原子的核力，都是短程相互作用，如果杨-米尔斯方程合理地描述了短程相互作用，那传递该作用的量子一定具有质量，使得按照量子场论(关于重整化、正则化、规范化的理论)的通用方法，对拉格朗日量进行对称性检验的结果，该场将失去对称性，场不再具有规范不变性.因此，泡利质问当时在普林斯顿高等研究院作学术报告的杨振宁，传递相互作用的量子的质量是多少？也就是式(8)中的Bμ场的规范粒子的质量.根据上述，无质量不对，有质量也不对，使杨振宁处于两难境地，但是，他与米尔斯经过反复思考，认为整个研究合理，具有前瞻性和科学美，决定发表，将质量问题放在论文最后一节作了详细论述，成为此后研究的前沿课题.

在得出式(6)，即杨-米尔斯方程之后，还必须经过拉格朗日作用量的检验，由此给出对应的场量参数，将电磁场扩展到非阿贝尔规范场时，这一步非常重要，此处即使不宜深入讨论，大致作一轮廓说明也实属必要，就量子场论而言，主要涉及正则化、重整化和规范化，使用的数学工具就是拉格朗日量L，如下所示：

(15)

因为任何动力系统都有一个以L为积分的作用量S，它的变分δS取极小值或零，这是自然界的一个客观事实，表示系统(包括各分系统及其相互作用)耗能具有最低值，将它用于粒子在电磁场中的情形，以狄拉克方程描述的粒子为例，在阿贝尔对称性之下，则有

L=L粒子能量场+L电磁能量场+L相互作用能量场=

(16)

(17)

式中，杨-米尔斯场的协变导数：

i=1,2,3;μ=0,1,2,3

(18)

其中，Dμ共有12个分量，g=2是耦合强度，而泡利矩阵σ和置换算符εijk为描述同位旋的二分量状态引入的，对应的场张量是

(19)

杨-米尔斯场的LYang-Mills既满足整体规范不变性，也满足局域规范不变性，是电磁场、弱相互作用场与强相互作用场统一的基础，因此，在量子场论中具有极端重要性，也就不言而喻了.

现在，可以看出拉格朗日量L的重要意义：规范变换是空间均匀性和各向同性的体现，也是能量守恒的体现，如果拉格朗日量L没有局域对称性(局域规范不变性)，即表示相应的理论框架存在问题，需要改进，使其完善.

当前，规范场理论的研究非常活跃，微分几何由于研究纤维丛而备受数学家的青睐，二者的结合可能是物理数学的一个新方向.

从事后看问题，似乎建立规范场方程也并不是难题，熟悉麦克斯韦电磁场方程的人不在少数，为什么很少有科学家想到将它推广到量子力学中去呢？这里自然涉及研究者的洞察力、眼光、目标和从事科研的动力，有时，复杂的问题，本质上是很简单的，比如，电磁场是对易的，用U(1)群表示，而原理上，量子力学的场不对易，用SU(2)群表示，既如此，为什么不试一试呢？在这里，有无创新的思路，就成为问题的关键之点.至于将规范场与纤维丛上的联络联系起来，看出二者的相似，则带有随机的成分，就不在此细说了.

(20)

(21)

或

(22)

(23)

式中ei单位正交基矢量，而εijk是Levi-Civita替换算符:

(24)

式(14)的数学形式更加简洁优美，它的物理含义自然更加丰富，值得进一步探讨.

6 结论

本文得出杨-米尔斯场的旋度表示式，为研究它的空间属性提供了一种思路，也为探讨粒子纠缠的空间特性提供了一条线索.

当前，规范场理论的研究非常活跃，微分几何由于研究纤维丛而备受数学家的青睐，二者的结合可能是物理数学的一个新方向[6].狄拉克方程和薛定谔方程，都是时空坐标系中能量的动态平衡，前者是哈密顿形式,后者是狭义相对论形式,正如式(4)和(5)所示，不能作类似的替代处理,它们之所以具有相位不变性，是因为粒子波函数包含e-iα项，用群U(1)表示；而杨-米尔斯方程是空间运算的关系，微观粒子的转动和自旋是在有心力场中的基本存在方式和运动模态, 用群SU(2)表示；本文利用旋度运算给出了杨-米尔斯方程或规范场张量的,突出旋度模态的新表达式(23),对于从物理特性方面探讨纤维丛与规范场之间的深层次关系,具有重要价值, 不同学科的整合存在很多困难，特别是前沿领域的规范场属于量子场论,而纤维丛属于微分几何学的前沿主题；通常涉及不同学科中的基本概念,如微分几何、拓扑、张量分析、量子场论和群论等等，如果能将这两种学科进行交融研究，无疑会加深对规范场和纤维丛上的联络之间物理含义的发掘，因此，是值得进一步思索与研究的问题.