基于深度学习的单元整体设计的实践与思考

许雷波 金佳美

[摘  要] 文章在对文[1]所述测试题和测试结果进行深入反思的基础上，提出要实现激发学生兴趣、促进学生发展的目标，在单元整体设计的基础上尝试深度学习是一条有效路径. 文章结合高中数学“中点弦问题”的教学案例，指出了平时教学中存在的问题，提出了具体可操作的建议和实施方案.

[关键词] 整体设计;深度学习;素养提升

[?]缘由

文[1]指出：2017届厦门市高三第一次质检数学（理科）选择题第12题的得分率极低（全市平均分不到0.1分），由于命题专家给出的只是答案，没有给出具体的解答过程，使得不少教师都束手无策，直到试卷讲评时都不知道该如何进行解答. 为此，作者回归教材，从命题角度阐述了此题由来，剖析了得分率极低的原因. 文[1]娓娓道来，一气呵成，读后深受启发，被作者深厚的数学功底与文学素养所折服. 同时也促使笔者进行了思考，教学中应做出怎样的改变，才能从容面对并突破此类问题，提高学习成绩，培养学生的学习兴趣，进而形成学生的数学核心素养呢？带着这样的疑问，笔者开始了探索. 在实践中发现，教育部基础教育课程教材发展中心、课程教材研究所于2019年12月12日联合举办的“第六届全国基础教育课程教学改革研讨会暨深度学习教学改进项目成果交流会”中倡导的深度学习是一个很好的思路;首都师范大学刘晓玫老师于2020年在浙江省教育厅举办的“新课程关键问题解决”培训中作的《数学深度学习与单元教学设计案例分析》报告给我们指明了方向：开展基于深度学习的单元整体教学. 文章现以高中解析几何中的“中点弦问题”为例，谈谈笔者的一些想法.

[?]教学分析

高中解析几何中，圆、椭圆、双曲线、抛物线均有涉及与中点弦有关的问题，在历年高考与模拟考中这一类试题也为数不少. 文[1]所说的测试题归根结底也是与中点弦有关的问题，之所以会出现如文[1]提到的测试结果，其中一个方面的原因就是在教学中没有对中点弦问题进行单元整体设计，缺乏深度学习. 那么在中点弦问题的教学中，具体该怎么做呢？笔者以为，在圆的教学中，涉及与中点弦有关的问题时就应着重引导学生学会解题的基本方法，如待定系数法、点差法，感悟运用几何性质在解题中的便捷性;在椭圆、双曲线、抛物线的教学中涉及与中点弦有关的问题时可以类比圆的处理方法，着重让学生体会类比思想方法;而在章节复习课中，对中点弦问题的处理就不能仅仅着眼于基本方法的复习，而要在回顾基本方法的同时通过重点挖掘圆锥曲线之间的联系，在教师的引导下自主探究发现知识间内在的联系与规律，发现在椭圆、双曲线中也有如圆的垂径定理，形成新的知识结构，实现思维图式的重构，促进学生对数学知识的深度理解. 下面以中点弦问题的章节复习为例，进行具体阐述.

[?]教学设计

1. 创设情境，复习回顾

引例 已知AB为圆x2+y2=16的一条弦，P（1，-1）为AB的中点，求弦AB所在直线的方程. 若P的坐标为（0，1）呢？

设计意图：通过引例回顾处理中点弦问题的具体方法：方法1——待定系数法，设弦AB所在的直线方程为y+1=k（x-1），然后联立直线方程与圆方程，利用P（1，-1）为AB的中点求解. 方法2——点差法，设A（x，y），B（x，y），将A，B的坐标代入圆方程x2+y2=16后相减求解. 方法3——利用垂径定理代数化表示为k·k=-1求解，注意事项：考虑斜率是否存在;基本思想：数形结合.

2. 适时变式，引导探究

师：如果把圆方程x2+y2=16变为椭圆方程x2+4y2=16，其余条件不变，如何求解？得到：

例1 已知AB为椭圆x2+4y2=16的一条弦，P（1，-1）为AB的中点，求弦AB所在直线的方程和椭圆的离心率.

设计意图：通过变式求解，让学生熟悉并掌握解题的基本方法，达到“知一题会一类”的效果. 同时，让学生在解题中回顾并发现引例中的方法1和方法2是可以用来解决例1的，方法3则不行，为接下来的探究打下铺垫. 例1中离心率的计算可以起到两个作用，一是回顾复习，二是让学生的思维能够自然地进行过渡，然后思考以下两个问题：椭圆离心率的范围是多少？离心率与椭圆的形状有什么关系？在学生思考回答的基础上通过几何画板进行演示，让学生直观感受到离心率变小到0时，椭圆就成了圆，由此想到椭圆与圆存在着一定的联系. 在教师的引导下主动思考：方法1、方法2、方法3在解决与圆相关的中点弦问题时，方法3最简单，但这个最简单的方法却不能用于解决椭圆的中点弦问题. 原因是圆有垂径定理可以代数化表示为k·k=-1，可椭圆却没有，若有就可以使用方法3了，这样就简单多了. 联想到刚才几何画板的直观演示，猜想椭圆可能也有类似于圆的垂径定理的代数化表示，而且与离心率相关，从而激发学生心中强烈的探究欲望.

3. 探索实践，发现结论

师：圆的垂径定理可以代数化表示为k·k=-1，如果椭圆中也有类似的结论，那么结论应是怎样的呢？

從而得到要探索的问题：

例2 如图1所示，已知AB为椭圆+=1（a>0，b>0）的一条弦，M为AB的中点，O为坐标原点，求k·k的值.

受上述的启示，学生应用方法1或方法2进行解答. 经初步尝试，发现方法2比方法1简单.

解：（方法2）设A（x，y），B（x，y），AB的中点M（x，y），所以

x

=，

y

=，由①-②得+=0，所以k==-，k=，所以k·k=-==e2-1.

设计意图：教学中，对“四基四能”的培养是学生形成数学核心素养的重要途径，而上述内容是培养学生提出问题、探索结论的好素材. 我们应该抓住这个契机，引导学生猜想椭圆中k·k也是一个定值，而且是一个与离心率有关的式子，从中激发学生的探索兴趣，积极运用分析、推理、证明等高阶思维进行深度学习.08AA3884-264E-415B-A096-A806850E2679

师：类似的，雙曲线、抛物线中有无类似的结论呢？

练习1：已知AB为双曲线-=1（a>0，b>0）的一条弦，M为AB的中点，O为坐标原点，求k·k的值.

练习2：已知AB为抛物线y2=2px（p>0）的一条弦，M为AB的中点，O为坐标原点，求k·k的值.

师：从刚才的探索中发现，无论是椭圆还是双曲线都有类似于圆的垂径定理的代数化表示，即k·k=e2-1. 从几何画板的演示中发现，e变成0时椭圆成了圆，而上述式子中e=0时得到的k·k=-1正是圆的垂径定理的代数化表示，数学真奇妙、真美！

设计意图：从整体的角度去探索发现圆锥曲线中统一的结论与规律，让学生形成新的认知结构，形成类意识，能更好地掌握知识，为下一步的运用打下基础. 同时体会数学联系之美、简洁之美，体会学习数学的价值，激发学生学好数学的兴趣与信心.

4. 尝试应用，体验成功

师：下面请大家尝试用方法3解决例3.

例3 过椭圆x2+4y2=16内一点P（1，1）作一直线m，求：（1）若直线m被椭圆截得的线段恰好被点P平分，求直线m的方程;（2）求直线m被椭圆截得的线段中点的轨迹方程.

（此处解略）

师：通过练习，我们发现刚才探索到的结论很有用，应用这一结论，解题就方便快捷了许多. 下面请大家继续尝试用方法3解决下面的问题.

例4 （文[1]所指“2017届厦门市高三第一次质检数学（理科）试题第12题”）已知双曲线-=1（a>0，b>0），过x轴上点P的直线l与双曲线右支相交于M，N（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于Q（O为坐标原点），连接QN. 若∠MPO=60°，∠MNQ=30°，则双曲线的离心率e为（  ）

A.  B.  C. 2 D. 4

解：如图3所示，取弦MN的中点R，连接OR，显然OR为△MNQ的中位线，则有∠MRO=∠MNQ=30°，注意到∠MPO=60°，可得∠POR=30°，所以直线OR的倾斜角为150°. 又弦MN所在直线的倾斜角为120°，所以由k·k=e2-1得tan120°·tan150°=e2-1，即1=e2-1，所以e=.

设计意图：让学生在解题实践中去享受成功，激发学习兴趣与积极性，树立应用意识，同时提高学生的解题能力，提升其数学素养. 尤其是例4，在学生解决问题得到答案后，教师及时指出这一题在厦门市高三第一次质检中的结果——得分率极低，全市平均分不到0.1分，说明此题有一定难度，但他们自己独立做出来了，真不简单.

笔者曾经尝试，让两位高三学生来解此题. 一位来自省一级重点中学且数学成绩位于班级前10，解题时不加提示，结果她没有解出来. 另一位来自一般中学，平时的数学成绩在80分左右（总分为150分），但在其做题前做了如上所示的铺垫，结果这位学生做出来了，使其感到了数学的神奇，重新树立了学好数学的自信.

5. 总结归纳，梳理提升

师：这节课你学会了什么？如何学的？学习中运用了哪些思想与策略？圆中还有什么性质？椭圆中是否也有相应的性质呢？

设计意图：通过对学习过程与方法的回顾，达到以下几个目标.

（1）从知识角度来看，形成一个新的知识结构：圆、椭圆、双曲线有一个统一的结论（焦点均在x轴上时）：k·k=e2-1. 圆正是e=0时的情形.

（2）从方法层面来看，能从知识间的联系角度去思考并提出问题、解决问题. 体会观察、类比、猜想、数形结合等思想方法， 提高推理和解决问题的能力.

（3）拓展. 通过最后两问：“圆中还有什么性质？椭圆中是否也有相应的性质呢？”让学生举一反三，学会并应用本节课的研究方法，进一步完善已有的知识结构，猜想并指出如下的结论，满足学生的好奇心和探究的欲望，形成更完备的知识体系.

结论1：如图5所示，若AB为圆x2+y2=r2的一条直径，P为此圆上一个点，则k·k=-1;类似的，若AB为椭圆+=1（a>0，b>0）的一条直径，P为椭圆上一点，则k·k=e2-1.

结论2：如图6所示，若O为圆x2+y2=r2的圆心，l为过圆上一点P的切线，则k·kl=-1;类似的，若O为椭圆+=1（a>0，b>0）的中心，l为过椭圆上一点P的切线，则k·kl=e2-1.

[?]实践感悟

《普通高中数学课程标准（2007年版）》指出：高中数学课程以学生发展为本，以落实立德树人为根本任务. 在实践中，我们发现，要实施这一理念，整体设计是前提，深度学习是路径，素养提升是目标.

1. 整体设计是前提

我们知道，现在要成为一名教师，至少要大学本科毕业，需要经过层层选拔与考试，优胜者才可以. 至于高中的新教师，许多人的学历是硕士及以上. 进入教师队伍后，还要参加新教师试用期培训、教师专业发展培训等. 目的就是要让教师有系统的学科知识、完整的教育理论，能根据教材与学生的实际情况进行整体设计与教学. 因此，教师教学源于自身对教材与学生的理解，能对知识的逻辑体系、层次、学生的学情进行有效的重组，能更有效地在学生思维的最近发展区开展教学，激发其兴趣，培养其理性精神与思维. 在以前的教学中，教材由于篇幅限制没有介绍椭圆、双曲线中类似圆的垂径定理，许多人（包括笔者自己）并不知道有这样一个定理，教学中照本宣科，没有进行整体的设计与思考. 不仅失去了一个很好培养学生发现问题、解决问题、提升理性思维的机会，而且使学生陷入了“题海战术”之中，不利于解题能力提升. 因此，教师掌握系统的专业知识，对教材进行整体设计，是实施有效教学、提升学生学科素养的前提，具有很强的必要性.08AA3884-264E-415B-A096-A806850E2679

2. 深度学习是路径

所谓深度学习，指在教师的引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心地积极参与体验成功、获得发展的有意义的学习过程. 在这个过程中，帮助学生掌握学科的核心知识，理解学习过程，把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、高级的社会性情感、积极的态度、正确的价值观. 而数学是培养学生理性精神与思维能力的学科，要达到预期的目标，教学中不能仅仅依靠记忆、理解，而是需要观察、分析、推理、探究等高阶思维的介入，需要教师在教学中根据学生的学情和教材创设合适的情境，激发和满足学生内在探究与发现问题的欲望，从中体验成功，形成正确的价值观. 所以深度学习是实现预期目标的有效途径. 在本节课的教学中，教材是没有现成内容的，需要教师根据自己丰富的专业知识，合理地进行组织与设计，从中去训练学生的思维，上述做法就较好地体现了这一点：在优化意识的主导下，针对圆的垂径定理的代数化表示，能较好地解决圆的中点弦问题的事实，及时联想到椭圆与圆之间的关系——当椭圆的离心率变成0时，椭圆就变成了圆. 说明圆是椭圆的特殊形状，圆有垂径定理的代数化表示，椭圆很可能也有，而且与离心率相关. 由此进行探索与思考，过程中充分展开了分析、推理等高阶思维活动，有效地进行了深度学习. 通过推导得出结论后，教师及时引导学生进行了应用，让学生体验到了探索的价值，不仅提高了学生的解题能力，而且提高了学生的学习兴趣，提高了学生发现问题的意识与能力，不知不觉中也提高了学生的素养.

3. 素养提升是目标

在实践中，针对此课例，存在着不同程度的两大教学误区：一是教师自身业务水平的限制，知识面不广，专业素养不精，不知道椭圆与双曲线中也有类似圆的垂径定理的代数化表示，由此在教学中照本宣科. 二是教师知道有这样的一个结论，却因教学时间的限制和担心学生的基础知识不足，教学中放弃引导学生去探究、发现，直接告诉学生结论，然后应用结论，当前社会上的一些培训班就是如此. 在第一种教学中，教师对知识没有进行有效拓展，教学深度不够，教学中缺少有效的探索过程和成功的体验，学生没能形成系统的知识结构. 由于学习中缺少高阶思维的思考過程，培养不出优秀的学生. 第二种教学的目的完全是应试，具有很强的功利性，把学生当作了一个工具，几年过去后，学生就会遗忘这种知识，而教学中能力与方法又没有形成，等于是误人子弟. 我们知道，教育的目的是育人，从小的方面来讲，是为了让学生获得技能，能胜任一份工作;从大的方面来讲，是为了促进学生能终生发展. 要达到这一目标，依靠的是学生素养的提升，而不仅是考试成绩. 针对教学中的误区，国务院办公厅在2019年印发了《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》，明确提出教育的根本任务是落实立德树人，要深化考试命题改革，坚决扭转片面应试教育倾向，切实提高育人水平，促进学生发展，提高学生素养，为学生适应社会生活、接受高等教育和未来职业发展打好基础. 教育部考试中心于2020年1月发布的《中国高考评价体系》和《中国高考评价体系说明》进一步对考试评价这一层面进行了规范，提出了要求，使学生的发展、素养的提升、最终实现立德树人的目标变得更加现实和可能.

参考文献：

[1]  王淼生，吴卫军. 一道得分很低的质检题引发的思考[J]. 数学通讯，2017（18）：50-53.08AA3884-264E-415B-A096-A806850E2679